Унитарные пространства - Долгопрудный, страница 3

Если векторы u и v неколлинеарны, то они образуют базис в двумерном подпространстве hu, vi ⊂ V и неравенство Коши-Буняковского (7) (которое в этом случае строгое)превращается в условие положительности определителя матрицы Грама!|u|2 (u, v).(u, v) |v|2Согласно критерию Сильвестра, оно вместе с |u|2 > 0 равносильно положительной определенности ограничения эрмитова скалярного произведения на подпространство hu, vi ⊂ V .Следствие 1.16. Для любых двух непрерывных функций f, g : [0, 1] → C имеет место неравенство2 Z 1Z 1Z 12 ≤|f(t)|dt|g(t)|2 dt,f(t)g(t)dt000причем равенство достигается тогда и только тогда, когда f и g пропорциональны.Доказательство. Записать неравенство Коши-Буняковского (7) для примера 1.7.Следствие 1.17.

(Неравенство треугольника) Для любых векторов u, v унитарного пространства V имеет место неравенство |u + v| ≤ |u| + |v|.Доказательство следует из цепочки неравенств:(|u| + |v|)2 = |u|2 + 2|u||v| + |v|2 ≥ |u|2 + 2|(u, v)| + |v|2 ≥ |u|2 + 2Re (u, v) + |v|2 = |u + v|2 .Замечание 1.18. Если u, v — ненулевые векторы унитарного пространства V , то из неравенстваКоши-Буняковского следует, что|(u, v)|≤ 1.0≤|u||v|Таким образом, существует единственный угол ϕ, 0 ≤ ϕ ≤cos ϕ =π2такой, что|(u, v)|.|u||v|Он называется углом между векторами u и v.

В математической модели квантовой механикиcos2 ϕ имеет смысл вероятности.82Линейные преобразования унитарных пространствМы уже знаем, что в евклидовом пространстве V благодаря присутствию скалярного произведения каждому линейному оператору ϕ : V → V можно сопоставить его сопряженный ϕ∗ : V → V , и,соответственно, возникают понятия симметричного, или, что то же, самосопряженного (ϕ∗ = ϕ),кососимметричного (ϕ∗ = −ϕ) и ортогонального (ϕ−1 = ϕ∗ ) операторов. То же верно и для унитарного пространства, только несколько меняется терминология: самосопряженные называютсяеще эрмитовыми, аналоги кососимметричных — косоэрмитовыми, ортогональных — унитарнымиоператорами.2.1Сопряженное преобразованиеИтак, пусть V — унитарное пространство, а ϕ : V → V — линейный оператор на нем.Определение 2.1.

Преобразование ϕ∗ : V → V называется сопряженным к ϕ, если оно удовлетворяет тождеству(ϕ(u), v) = (u, ϕ∗ (v)) ∀u, v ∈ V(напомним, что (·, ·) обозначает эрмитово скалярное произведение в V ).Во-первых, заметим, что если сопряженное преобразование существует, то оно единственно.В самом деле, пусть ϕ1 , ϕ2 — два сопряженных к ϕ. Тогда (u, (ϕ1 − ϕ2 )(v)) = 0 ∀u, v ∈ V.Фиксируя v, из невырожденности эрмитова скалярного произведения получаем (ϕ1 − ϕ2 )(v) = 0;поскольку это выполнено для любого v, то ϕ1 = ϕ2 .Во-вторых, заметим, что сопряженное преобразование линейно.

В самом деле,(u, ϕ∗ (v1 + v2 )) = (ϕ(u), v1 + v2 ) = (ϕ(u), v1 ) + (ϕ(u), v2 ) =(u, ϕ∗ (v1 )) + (u, ϕ∗ (v2 )) = (u, ϕ∗ (v1 ) + ϕ∗ (v2 ));поскольку это выполнено для любого u ∈ V , то ϕ∗ (v1 + v2 ) = ϕ∗ (v1 ) + ϕ∗ (v2 ). Далее,(u, ϕ∗ (λv)) = (ϕ(u), λv) = λ(ϕ(u), v) = λ(u, ϕ∗ (v)) = (u, λϕ∗ (v))и снова, поскольку это выполнено для любого u ∈ V , то ϕ∗ (λv) = λϕ∗ (v).Существование сопряженного преобразования докажем, используя существование ортонормированных базисов в унитарном пространстве V . Пусть {e1 , . . .

, en } — такой базис. Пусть оператор ϕ имеет в нем матрицу A. Рассмотрим оператор ψ : V → V, который в этом базисе имеетTматрицу B := A . Тогда (ϕ(u), v) = (u, ψ(v)) ∀u, v ∈ V. Действительно, последнее равенство вбазисе имеет вид:T −−−−(A→u B→vu )T →v =→−−и в силу определения B верно для любых столбцов →u, →v . Таким образом, в качестве ϕ∗ нужноTвзять линейный оператор, который имеет матрицу A в базисе {e1 , . .

. , en }.Читателю предлагается проверить самостоятельно, что для базиса с матрицей Грама G матрица B сопряженного преобразования ϕ∗ выражается через матрицу A преобразования ϕ поTформуле B = G−1 A G.9Далее так же как в случае евклидова пространства доказываются тождества(ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ , (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ ∗ , id∗V = idVс единственным отличием (λϕ)∗ = λϕ∗ , для произвольного λ ∈ C. В самом деле,(u, (λϕ)∗ (v)) = (λϕ(u), v) = λ(ϕ(u), v) = λ(u, ϕ∗ (v)) = (u, λϕ∗ (v)).Предложение 2.2. Пусть V — унитарное пространство, ϕ : V → V — линейный операторна нем, U ⊂ V — инвариантное относительно ϕ подпространство. Тогда подпространствоU ⊥ ⊂ V инвариантно относительно ϕ∗ .Доказательство.

Для произвольных u ∈ U, v ∈ U ⊥0 = (ϕ(u), v) = (u, ϕ∗ (v))2.2⇒ ϕ∗ (v) ∈ U ⊥ .Самосопряженные преобразованияОпределение 2.3. Оператор ϕ : V → V на унитарном пространстве V называется самосопряженным или эрмитовым, если он равен своему сопряженному, ϕ = ϕ∗ .Из предыдущего следует такой результат:Предложение 2.4. Оператор на унитарном пространстве самосопряжен тогда и только тогда, когда его матрица в произвольном ортонормированном базисе эрмитова.Из Предложения 2.2 вытекает такое Следствие:Следствие 2.5. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству самосопряженного оператора инвариантно.Доказательство следующего Предложения в унитарном случае даже проще, чем в евклидовом.Предложение 2.6.

Все собственные значения самосопряженного оператора ϕ на унитарномпространстве V вещественны.Доказательство. Пусть λ ∈ C — собственное значение оператора ϕ. Тогда существует v 6= 0такой, что ϕ(v) = λv. Тогдаλ(v, v) = (λv, v) = (ϕ(v), v) = (v, ϕ(v)) = (v, λv) = λ(v, v).Так как (v, v) 6= 0, то λ = λ.Следствие 2.7.

Все корни характеристического многочлена χA (t) = det(tE − A) эрмитовойматрицы A вещественны.Заметим, что всякая симметричная вещественная матрица эрмитова. Поэтому все корни еехарактеристического многочлена вещественны. Тем самым мы получаем еще одно (третье в этомкурсе) доказательство теоремы о том, что самосопряженный оператор в евклидовом пространстве10имеет вещественный спектр.3 Напомним, что этот результат был сложной частью доказательстватеоремы о том, что всякий самосопряженный оператор в евклидовом пространстве диагонализируется в некотором ортонормированном базисе.Следующая теорема является аналогом соответствующей теоремы для евклидового случая.Теорема 2.8.

(Теорема о каноническом виде эрмитового оператора). Линейный оператор ϕ вунитарном пространстве V самосопряжен ⇔ он диагонализируется в некотором ортонормированном базисе и имеет вещественный спектр.Доказательство. Если оператор диагонализируется в ортонормированном базисе и имеет вещественный спектр, то его матрица в этом базисе диагональная с вещественными элементами надиагонали, значит она эрмитова.

Мы уже знаем, что если оператор имеет эрмитову матрицу внекотором ортонормированном базисе, то он самосопряжен.Обратно, пусть ϕ самосопряжен. Тогда, как мы уже выяснили, он имеет вещественный спектр.Существование ортонормированного базиса в V из его собственных векторов будем доказыватьиндукцией по dim V. Если dim V = 1, то существование ортонормированного базиса очевидно.Пусть теорема верна для пространств размерности, не превосходящей dim V − 1. Пусть v — произвольный собственный вектор оператора ϕ в V (любое линейное преобразование в комплексномпространстве имеет собственый вектор).

Без ограничения общности можно предположить, чтоего длина равна 1. Подпространство hvi ⊂ V инвариантно относительно ϕ. Значит, его ортогональное дополнение hvi⊥ ⊂ V тоже инвариантно. Заметим, что dim hvi⊥ = n − 1 и V = hvi ⊕ hvi⊥— разложение в ортогональную прямую сумму. Кроме того, hvi⊥ — унитарное пространство, аограничение ϕ|hvi⊥ оператора ϕ на него — самосопряженный оператор на hvi⊥ . По предположению индукции в hvi⊥ существует ортонормированный базис из собственных векторов оператораϕ|hvi⊥ .

Добавляя к нему нормированный вектор v, получаем искомый ортонормированный базисв V из собственных векторов оператора ϕ.Заметим, что если λ — некоторое собственное значение оператора ϕ, то соответствующее собственное подпространство Vλ является линейной оболочкой собственных векторов из построенного в предыдущей теореме ортонормированного базиса, которые отвечают собственному значениюλ. Таким образом, если λ1 , . . . , λk — все попарно различные собственные значения ϕ, то V раскладывается в ортогональную прямую сумму собственных подпространств, V = Vλ1 ⊕ . . . ⊕ Vλk .Ортогональность собственных векторов самосопряженного оператора, отвечающих разным собственным значениям, легко проверить непосредственно: пусть ϕ(u) = λu, ϕ(v) = µv, λ 6= µ;тогдаλ(u, v) = (ϕ(u), v) = (u, ϕ(v)) = µ(u, v);так как λ 6= µ, то (u, v) = 0.Из предыдущей теоремы получаем следующее следствие.Следствие 2.9.

Для любой эрмитовой матрицы A существует унитарная матрица U такая,что матрица A0 = U T AU диагональна с вещественными элементами на диагонали.3неявно мы при этом используем операцию комплексификации, о которой можно почитать в [6, 4].11Далее аналогично евклидовому случаю устанавливается биекция в унитарном пространствемежду эрмитовыми формами и эрмитовыми операторами. Используя доказанные теоремы обэрмитовых операторах, доказывается существование ортонормированного базиса, в котором данная эрмитова форма имеет диагональный вид с вещественными числами на главной диагонали.Далее аналогично евклидовому случаю рассматривается задача о паре эрмитовых форм, одна изкоторых знакоопределена.

Мы не будем делать это подробно, поскольку читатель, знакомый севклидовым случаем, легко восстановит детали.2.3Унитарные преобразованияПусть V — унитарное пространство с эрмитовым скалярным произведением (·, ·).Определение 2.10. Линейный оператор ϕ : V → V называется унитарным, если для любыхu, v ∈ V(ϕ(u), ϕ(v)) = (u, v).(9)Замечание 2.11. В силу (2) вместо (9) достаточно потребовать чтобы ϕ сохранял соответствующую эрмитову квадратичную форму.Из определения сразу следует, что унитарный оператор является линейным изоморфизмомпространства V на себя (изоморфизмы на себя называют еще автоморфизмами).