Л1-Савельев, Овчинников - Конструирование ЭВМ и систем - 1984 год, страница 31

Функцию смещения упругого тела и можно разложить в ряд по координатным функциям: (7.29) п=- ч!,' р!!1. Координатные функции 71 должны составлять полную систему линейно независимых функций в области определения оператора Рл. Искомые собственные функции находим как линейные комбинации конечного числа координатных функций: )Р„= ~ ~1~1, 1 где а; — постоянные коэффициенты. Задача сводится к нахождению таких аь при которых достигается минимум энергетического произведения: (7.

30) (Аи и) = ~ч!', ~ч~~~ ааа,л (7а, 7„,) 4=!а=1 при условии нормировки Юл =- Хаь аы (7М 1ш) а=! м=!" Для нахождения условного экстремума составим функцию Лагранжа Ф (а„а„..., сс„) = (А )Р'„, )Р„) — Л ()Р„, )г' ). (7.31) Приравнивая к нулю дФ/да, получаем систему линейных уравнений: '~', а„((А!"ь,7 ) — Л(74, 7 ))=О, (т=1, 2, ..., л). (7.32) а=! 146 Для того чтобы существовало нетривиальное решение, определитель этой системы должен равняться нулю, а зто дает уравнение для определения собственных чисел.

Коэффициенты разложения собственных функций определяют из системы уравнений (7.32) при подстановке туда значения Л, $ УА. ПРИМЕР РАСЧЕТА ТИПОВОЙ ПЛАТЫ Применим аналитический метод для исследования платы, условно показанной иа рнс. 7.6. Здесь размер платы: 2а — по оси г; 2Ь вЂ” по оси у. Дифференциальное уравнение свободных колебаний н оператор А для этой платы уже указывались (7.26) и (7.27). Выберем систему координатных функций, удовлетворяющих граничным условиям. Поскольку область платы прямоугольна, то имеет смысл исходить из ортогональной в прямоугольнике тригонометрической системы: — ! Ьч — ( — 1тч —" ! У сов 1 о ! 51и ! Ь Из конструктивного решения крепления платы вытекают следующие граничные условия: 1) так как плата зажата в точках М! с координатами (-1-а, О); (-ь.а, -!-Ь); (О, -ь-, Ь); .(О, 0), то граничные условия для них будут: Ж'м! — — О; д)Рмддг = 0; д(ч'мг1ду =- 0; 2) остальная граница прямоугольника свободна.

Координатные функции можно не подчинять условию свободного края, если их энергетические нормы ограничены в совокупности. Чтобы удовлетворить первому условию, введем весовой мно- житель 5 В 7 ппи а па а пп и пп а пп ! в ппа ппп ппа пап ппа пи и иаа ВВ1ВН пппп пипи аппп папа аппа пипи аип 1П вп вп «и ва а ап вп вп 11 и «и нп ва мп п па пап а па ппи п па ппа пап пап а!Пипи а,и и и а п!Пп и и п'па пи а~!пап а п аппп 4- и и п и и и а и п и а п и и Ркс.

7.6. Плата с точечным креплением Я (г, у) = з(па (лг7а) + 5!па (лу!Ь), обращающийся в нуль вместе со своими первыми производными в точках М!. Тогда координатные функции будут иметь вид 7а (г, у)=!7(г, у)С» 1 — ) йл — ! — ! тл ~, ! в!и ! а!а!и ! Ь ! 'Ьа, тл-1 где С == — ~ — + — ) — множитель, обеспечивающий ограничение оа Ьа. ность энергетических норм координатных функций в совокупносги.

Например, Се а == аЫла. Решение уравнения свободных колебаний платы л (17(г, у) =Я(г, у) ~~~)' а„~ — ~ йл — ~ — ~ тл —" Ограничиваясь случаем О ~ й + т ( 2 и вычисляя энергетические и скалярные произведения координатных функций, получаем матрицы этих произведений, от которых можно перейти к определителю 14У После вычислений получаем: аеаа л а / О, 277' иге +474+3 774 лг 51П а +Ь/ =-а, Я (г, у) гг -Ь/2 , 1гг гае Ма 4М НП ггг 454 гы Мга щГч Рис. 7.В. Частотная характеристика точки У вЂ” 11 платы, показанной иа рис. 7.7 Рис.

7.7. Точки экстремума трех коордииатиых функций платы субблока с точечным крепле- иием 2оа у' те Р' 1974 = а, (2 (г, у) 5!п — 51п— лх . лу о Ь л (!+74) з а е Г /7 (п у+и)1 2 Ьз иге (7.33) !4$ 549 для вычисления собственных значений, т. е. квадрата собственных частот платы. Найдем собственные частоты и координатные функции для платы с размерами 2а == 230 мм, 2Ь =: 326 мм, Ь =-1,2 мм, на которой расположено 250 модулей, вес модуля около 1,5 Н, он распределен на площади 11 х 11 мм'. Эту нагрузку можно считать распределенной, а массу единицы площади вычислять по (7.24): и, =0,6 10-' кг/смз. Для материала этой платы модуль упругости Е = 3,78 10' Н/см', коэффициент Пуассона о = 0,173.

Тогда Р = Ейз/(12 (1 — ч)з) = 53,5 Н.см. / 0 /" З74 ! 4„*+27 лу = 233 Гц, /а = аз Я (г, у) 51п — ' а-2оа~( е. ~/ 774 Ь л ч /4 0 1,Г 2зу'+47'+а =252 Гц, /а=аз!."/(г, у)соз —; 2оа 1/ щ 1/ 974 Здесь Т = Ь/а. Таким образом, если плата с выбранным конструктивным решением по ее креплению не исследована в- теории тонких пластинок, то ее можно исследовать по вышеприведенной методике.

Для пластин с четырьмя точками крепления частота собственных колебаний (Гц) Для пластин с числом точек крепления и = 5, б первая собственная частота (Гц) гог=(л/2) (А+1/Ьз) 1/Р/и,, (7.34) где А = 4/(па + Ь') при и = 5 и А = 1/(4а') при л = б.

Способы крепления плат с точечным зажатием дают такие граничные условия для краевой задачи, которые не позволяют найти полную систему собственных функций и, следовательно, частотную характеристику этой парциальной системы и всей системы расчетным путем. Для них могут быть только оценены собственные значения и отдельные ,собственные формы. Однако частотные характеристики в сколь угодно сложной или не поддающейся расчету системе могут быть измерены. Наличие в этом случае даже неполной системы собственных функций парциальной упругой системы позволяет выявить наиболее опасные точки системы и выбрать минимальное число необходимых точек для экспериментального определения частотных характеристик. Если экспериментально получена частотная характеристика всей системы, то могут быть использованы почти все критерии для оценки и обеспечения надежности конструкции ЭВМ в смысле недопустимости отказов из-за заданных виброускорений.

При неполной системе собственных функций и соответствующих собственных значений можно применить такой критерий для оценки вибрационных свойств отдельных конструктивных решений, как совпадение резонансных частот конструктивных узлов. Следовательно, даже этот неполный расчет дает материал для введения конструктивных изменений с целью повышения надежности ЭВМ. Для отыскания наиболее опасных точек платы необходим только вид нормальных функций. Так как решение уравнения свободных колебаний платы периодическое, то точки, соответствующие максимальным перегрузкам, определяются равно как максимумом, так и минимумом координатных функций.

Таким образом, проблема локализации наиболее опасных точек платы сводится к нахождению экстремумов функций двух независимых переменных — координатных функций. Экстремум функции двух независимых переменных ищется по следующей схеме. Определяют первые частные производные координатной функции д!/дг и д//ду.

Решают систему уравнений д!/дг = 0; д!/ду = О. (7.35) Полученные системы решений (г,„у,), (г„у,) подставляют во вторые производные координатной функции: А = да//дгз! В =- дз/!дгду! С = дх!!дуз. (7.36) Затем составляют определитель д=) ) =ко — и' =) —,— „, — ( ) ) .

(т.зт~ р=р Если Л ) О, то фУнкциЯ 1 (г, 9) дла системы значений (гю и,) имеет максимум при ди11дга( 0 и минимум при диг(дга ) О. Если Л С О, то ) (г, у) не имеет ни максимума, ни минимума. Произведенное исследование координатных функций на экстремум дало следующие результаты. Например, точки экстремума координатных функций 1р (3), 7п (5) н )тр (5), собственные частоты которых равны 163, 233 и 254 Гц соответственно, имеют координаты (~ а12, ~ Ь12) (рнс. 7.7). По экспериментально полученной частотной характеристике (рис. 7.8» для точки 9 — 11 определены соответствующие данным резонансным частотам коэффициенты усиления: Резонансная частота, Гц . , 163 233 264 Коэффициент усиления .

. 30 26 13 ется при а — = Ь =- 7,2 см, это приводит к потере 48ай монтажной площади. Первая собственная частота платы с пятью точками крепления при а = Ь == 10 см, рассчитанная по (7.34), будет равна ю, = — 470 Гц, т. е. выше, чем у платы с двумя зажатыми и двумя свободными краями, а для платы с девятью точками крепления (см. рис. 7.6) ю,=- 1508 Гц при а =- Ь =-- 1О см, т. е. значительно выше, чем при зажатии по контуру.

Таким образом, для улучшения качества несущей конструкции с точки зрения передачи ею механических воздействий можно рекомендовать введение опорных поверхностей по контуру платы н в ее вну- Ф 5 5 7 й уек КОНСТРУИРОВАНИЕ НЕСУЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ МОДУЛЕЙ ЗВМ Одна из основных функций несущих элементов — защита устанавливаемых на них модулей от механических воздействий. Для микросхем, монтируемых в субблоке, несущей конструкцией служит печатная плата, для блока и самой нестацнонарной ЭВМ вЂ” литая рамка или каркас, обладающие большой жесткостью н, следовательно, высокой собственной частотой. Как уже отмечалось выше, основной вибрационной системой конструкции ЭВМ является плата.

Частотная характеристика платы зависит от ее материала, геометрических размеров и граничных условий, которые определяются способом крепления платы. Снижение коэффициента усиления и повышение собственных частот за счет изменения геометрических размеров платы и выбора материала с соответствующими физико-механическими свойствами весьма ограничено. Значительно больше возможностей у конструктора для изменения граничных условий. Оценим эффективность наиболее распространенных в практике конструирования ЭВМ способов крепления: зажатый край и точечное зажатие.

Важная характеристика элемента конструкции — первая собственная частота. Напомним, что если она не попадет в диапазон воздействующих виброускорений (будет больше верхней граничной частоты), то этот элемент можно считать абсолютно твердым телом. Пусть у печатной платы а == Ь =- 10 см, О =-- 60 Н.см, те =- 0,6.10-' кг1см'. Тогда для случая зажатого контура (см. табл. 7.1, схема 9) по (7.23) получим первую собственную частоту ю, = 582 Гц, для двух зажатых н двух свободных краев (схема 15) — ы, == 360 Гц и для крепления платы в четырех точках по (7.33) — ю, =- 314 Гц.

Из этих оценок видно, что точечное зажатие — менее жесткое граничное условие, чем зажатие по краю. Отметим, что при зажатии в четырех точках первая собственная частота оэ, == 582 Гц обеспечива- Рис. 7аь Конструицин субблока с креплением в четырех точках с пятью упорамнг à — иеаатиаа плита; я — микросхема; 3 — упор; а — пгариир; 3 — плаика: б — кабель гибкий Рнс.

7.!О. Пакет субблоков иннж- ной конструкции тренней области в виде накладок или рамок. Взаимное прилегание плат по опорным поверхностям при сборке их в пакет дает условие зажатого края. Большой эффект дает увеличение точек крепления по контуру платы н во внутренней области или введение дополнительных точечных упоров, которые обеспечивают точечное зажатие при контактировании упоров с корпусом. Эти же меры приводят к уменьшению коэффициентов усиления виброускорений. Координаты дополнительных точек крепления нлн опорных точек определяются в результате исследования иа экстремум координатных функций (см.