Л1-Савельев, Овчинников - Конструирование ЭВМ и систем - 1984 год, страница 30

7яи Модель консгрукцин нсстационарной ЭВМ как механической системы системы в 1цм главном колебании относительно ее недеформироваиного состояния; 71 (з, у) — форма Ьго главного колебания упругого тела (нормальная функция). Дифференциальное уравнение движения упругой системы составим, используя принцип Даламбера и начало возможных перемещений. При выводе применим метод приведения акад. Ю. А.

Шеманского. Так как главное колебание упругого тела в данном направлении может совершаться независимо от других его главных колебаний, та движение системы в каждом главном направлении можем рассматривать отдельно. Рассмотрим 1-е главное колебание системы. На перемещении (7.9) работа упругих сил (7.11) или т(пр и( (() + К1пр и б (() = Фбпр (7.12) (с + Ьб/а) сеем.пр = 2аба( иб (1) ~ П!в)1 (5) ((5б (7.13) Н(), в,5)— г" ! т,в. р — — и ! (1) в,' ) т, (Р (5) ((5. (7.14) 141 14В х1+ и(71 силы инерции упругой системы Р„,=.

— ')и, ~х! ф +й)(!)[1(5)]((5, где 5 = — (г, р); т, — масса элементарной площадки упругой системы. Сообщим системе бесконечно малое возможное перемещение биД в 1-м главном колебании и подсчитаем работу всех сил, действующих на упругую систему прн этом перемещении: работа сил инерции А „; = — ~ т, [х! (Г)+и! (г) 71 (5)~ би((1))! (5)115; (7.10) А „,р; = — ((й)17ди!) би( = — К;и ри( (1) би,. (1), где о, =- 0,5К;при,* — потенциальная энергия упругой системы, обусловленная деформациями ее в им главном колебании; К)„р — приведенный коэффициент жесткости упругой системы, соответствующий 1-му главному колебанию. Приравнивая нулю полную работу на возможном перемещении, получим дифференциальное уравнение движения упругой системы: ) т, [х! Я+ и; (1) )'1 (5) ~ 71 (5) Ю + К;и и, (1) = О, где т(пр — — ) т,((е (5) ((5 — приведенная масса упругой системы в 1-м главном колебании; Ф; р — — — [ т, х1 (1) 71 (5) о(5 — приведенная сила упругой системы при ее колебаниях по форме, определяемой нормальной функцией )1(5).

Предполагая, что затухание линейное и диссипатнвные связи между отдельными формами колебаний отсутствуют, можно ввести затухание в виде где е; — характеристики затухания отдельных форм собственных колебаний, равные логарифмическим декрементам затухания отдельных форм собственных колебаний, деленным на 2п; в( — частота, соответствующая 1-му главному колебанию. Можно показать, что упругая сила в 1-м главном колебании Тогда на основании (7.12) — (7.14) уравнение движения упругой системы в координатах по формам главных колебаний будет: и( (() ~ т,77 (5) ((5 + иб (1) во ') т, [г (5) ((5 + 5 5 +и(()2е( в, ~т,~7(5)д5= — ~т,х!(()~1(5)((5 (715) Реакция упругой системы (платы) Япр на корпус-основание будет равна геометрической сумме, а так как ойи имеют одинаковое направление, — алгебраической сумме отдельных реакций: Я = — х [ .

(вм(Р(л)!беем в(в(б)(11(б)бв)()дб) 1. 5 5 Следовательно, дифференциальное уравнение движения одномассовой системы с массой и, запишется в виде т, х!(1)+с!х!(1)+Ь, х((1) — ~~~~ и,) )1'(5) Х 1=! 5 Х.((5[и!(!)вб+ 25!а!й!(!)~=с!хо(б)+Ь!хо(Г). (7.17) С учетом (7.15) и (7.16) движение всей системы опишется следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений: ";(б...(о )еб*...',(б)= -'*',(б) )1(б)бб/1))(в)бб.

()(е т,х!(!)+с,х!(1)+ь,х((1) — ~ч т, ) 1(е(5)((5х 1=! 5 Х [и( (() ве + 2е,а, и, (!)~ = с, х, (1)+ Ь, хо(!). Решая систему (7.18), получаем частотную характеристику в виде аб~(1 (Я) 43 (+ )1 (5) Х (аб — ае —, :2)е((о; а) ) )те (Б)((Я 1= ! а7+2)е(в; (о — в! во+с,+Ь! )а — п(в вб У й (В) 45 сы ве — во+ 2)е(а! а 1 1 1 5 (7.19) Итак, мы получили частотную характеристику модели в предположении, что нам известны частоты и формы главных колебаний упругой системы — платы.

% Т 3. РАСЧЕТ ПЛАТЫ ТИПОВОГО ЭЛЕМЕНТА ЭВМ и зависит от длины, ширины, толщины, материала платы и способа ее крепления. Способ крепления платы определяет вид нормальных функций Га (г, у), а следовательно, и выражение для частотной характеристики. Получив выражения для нормальных функций и соответствукнцих им частот главных колебаний, можно решить вопрос о выборе геометрических размеров и материала платы, обеспечивающих надежную Работу модулей при данном способе крепления плат. Например, пусть задано широкополосное случайное возмущение, тогда среднеквадратичное значение реакции конструкции на это возмущение, т.е. узкополосное вибрационное воздействие на модуль, "=~ ((з~ )е ыа )~.

Ла (7.21) где т) (ао) — модуль частотной характеристики платы; при выбранном способе крепления он зависит только от геометрических размеров и материала платы. Для удовлетворения критерия виброустойчивости, ес- тах Ч асто корпус ЭВМ крепится к основанию без амортизаторов. В этом случае плата становится не только основной, но и единственной вибрационной системой, в которой может иметь место резонансное усиление виброускорений.

Если жесткость платы недостаточна, это усиление может оказаться настолько боль- а) шим, что надежность конструкции не ннйаамйй будет обеспечена. Жесткость платы за,л '. (к-~ — н) висит от ее геометрических размеров и СЭо~ — способа крепления — граничных усло— ~~-- Х " вий. На рис. 7.5 показаны различные г способы крепления плат — граничные ,г д ) С ~ условия. Зажатым краем можно считать крепРнс. 7.5. Способы крепления ления ячейки в разъеме. Условия опер- плат, допускающие (а) и не- того края имеют место, например, для — '" "'(б) получен"ее' боковых енок платы, которая вставстотноя характеристики аналитическим методом: лЯетсЯ по направлЯющим.

Обычно сно! в зажатый край; г — опертый соб крепления выбирают из конструккрай; г — сноеок мй край' а — " тинных соображений. Разрабатывая кончечнос зажатне струкцию платы, предназначенной для функционирования в условиях вибрации, надо иметь в виду, что от способа крепления платы зависит степень усилении ею виброускорений. Частотная характеристика платы имеет вид ~~)а (г, у) а(гду Н(1', со,Я) = 1+ т' ~ *" (а (г, У) (7.20) ~ а, оеар — от~+2)аа маю )')" )т (г у) дга(у г р (7.22) или с учетом распределенного веса микросхем ю, = 0,159 (К„!аг) )г Еа(т„ (7.23) где (7.24) (7.25) и, =- рй!д + б Лт)(58); И = Е)га)112 (1 — )); К вЂ” коэффициент, формулы для определения которого приведены в табл. 7.1; а — наибольшая из сторон платы, м; Е н т — модуль упругости (н/мг) и коэффициент Пуассона материала платы;  — жесткость изгиба платы, Н м; Ет — ускорение свободного падения; р— ельный вес материала платы, Н!ма; й — толщина платы, м; т,— уде распределенная по площади масса, кг!м; 6м — вес одного моду Лт — число модулей на плате;  — площадь платы, м'.

Для некоторых стеклотекстолитов, используемых для печатных плат, Е ==. (3 —; 3,8) 10е Нтма, о =0,17 —; 0,27, р=(1,9 —;2,4) 1Π— а Н/ма. Естественно, что изучены не все возможные конструктивные решения по способу крепления плат. Кроме того, желательно иметь выражения для определения всех частот и форм главных колебаний платы. Обратимся поэтому к методу исследования плат как упругих систем с распределенными параметрами. Колебания упругих систем с распредеенными параметрами описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Например, уравнение свободных коле баний изотропной платы имеет вид дга дга ду' ду' ! дг' или т ддаадт, д Е' даит Х Р ~ — +2 + >=и Л)))т, дга дгз дуа дуа г' если Ю'= (Асоз )тЛГ+Вз(п )т)а( ) )(У(г, у).

Решением этого уравнения являются формы и частоты собственных колебаний плат, которые должны удовлетворять конкретным краевым условиям. Например, для зажатого края граничные условия тйз ли время воздействия эксплуатационной вибрации и время испытаний одинаково, необходимо, чтобы пр к а„, где о„— среднеквадратичное значение узкополосной вибрации при испытаниях на виброустойчивость.

Исследование упругих тел составляет предмет теории пластин и об . Пл та считается тонкой пластинкой, если отношение ее олочек. . а е ИО. толщины к наименьшему из двух других ее размеров меньше Для различных сочетаний граничных условий первая собственная чатота тонких пластин (Гц) ао, = 0,159 (К ! аа) )т 0д,'(р(г), Таблица 7.1 получаются из условия равенства нулю прогиба и угла наклона касательной и запишутся в виде; Ю' = О; дйУ/дг = О; при г = О или г = а; Ю =- О; д)57ду: — О, при у =- О или у =- Ь.

Способ кРепления Способ крепления ка Ка 9.41 ГГЕЕ,566 Э~~ 44 8 Е' 22,37 1/0,1 аа~Ьа., +а 1Ь4 22,3 4оееЯее~~~ +0,19 ае!Ье 22,37 )/1-1-0,1 ая1ья 22,37 1/!+0,57 ае!ЬЯ+ +0,47 ае/Ье 22,37 ае!ЬЯ Ф )4 ~2 ! Т~ТБЗГЯ4 42, ~/4 Айг=- О. 22,37 Этот линейный дифференциальный оператор задан на функциях, удовлетворяющих некоторым граничным условиям, определяемым способом крепления тела: )7)р77 О, ДЬД 15,42 я1/1+0,95 ая7ья+ +0,41 ае!Ье 3,52 а41ЬЯ где К!7 — линейный дифференциальный оператор граничных условий; 7 — граница тела. Для платы с зажатыми краями А = — Е)о~ —,+2, + — ): (7 27) 14 !'у =. ~ 1; д 7 дг; д !ду ~ (7.28) Рассмотрим теперь класс функций йг", имеющих непрерывные производные тех порядков, которые встречаются в выражениях А йг и К)й' в точках рассматриваемой области и удовлетворяющих нашим краевым условиям.

Этот класс называется областью определения оператора А и обозначается 77л. Собственными функциями оператора А, соответствующими формам собственных колебаний упругого тела и отвечающими собственным значениям Ль называются ненулевые функции, удовлетворяющие уравнению 4л отеГаРо*е -! 2,44 а4154 3,52 3 52 1/1+5,97 ае!Ье+ .1-40,5 а4!'ье й 15,42 ая1ье 22,37 1/1+0,14 ае!ЬЯ+ +0,02 а4154 15,42 Ю 22,37 '1/1+0,61 ае!ЬЯ+ -!-ае!Ье 9,87 а4154 Таким образом, приходим к необходимости решения краевой задачи математической физики. Основным способом решения прикладных задач математической физики является вариационный метод.

Вариационные методы основаны на том, что во многих случаях задачу интегрирования дифференциальных уравнений можно заменить равносильной задачей об отыскании функции, сообщающей некоторому интегралу наименьшее значение. Рассмотрим линейный дифференциальный оператор А, при действии которого на некоторую функцию йг", характеризующую координаты смещения точек колеблющегося тела, получим левую часть дифференциального уравнения статики этого тела: 9,87 1/0,43 аЧЬЯ+а4154 С2Д 9,87 9,87 (1+ае7ЬЯ1 9,87 1/ 1+0,43 ая7ья где Яг Е Ол. Собственные значения Л пропорциональны квадрату собственных частот упругого тела. При решении прикладных задач обычно достаточно определить несколько первых собственных частот и соответствующих им собственных функций, так как-колебания, которые характеризуются собственными функциями, соответствующими большим собственным значениям, имеют очень малые амплитуды и не представляют интереса с физической точки зрения. В теории краевых задач математической физики показывается, что исходная задача иа собственные значения оператора А сводится к задаче отыскания минимума функционала Ьи =- (и, и'в'(и, и) = А (и, иУ(и, и) аи =- (Аи,и) или при условии нормировки (и, и) = 1, где (и, и) = — ) лис(5, (и, и) = = (Аи, и) =- )' иАиЮ.