В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ, страница 8

Таким образом, возможно, получить последовательность31элементарных дисперсий σ (ω k ) =2ka k2 + bk22. Тогда, дисперсия всего процесса x(t) будетNравна сумме всех элементарных гармоник σ x2 = ∑ σ k2 (ω k ) .k =04.В теории случайных функций показано, что при уменьшении частотного интервала∆ω = ωk - ωk-1, дисперсия случайных гармоник также будет уменьшаться, причем, ∆ω и σ k2σ k2будетимеют одинаковый порядок малости. Это означает, что их отношение∆ωσ k2 (ω k )стремиться к некоторому определенному значению S (ω k ) = lim. Таким образом,∆ω →0∆ωдисперсия процесса x(t) может быть выражена следующим образом:∞σ x2 = ∫ S (ω )dω =0∞1S (ω )dω .2 −∫∞Функция S(ω) носит название спектральной плотности сигнала. Зная спектральнуюплотность, можно определить дисперсию суммы всех элементарных гармоник, слагающихслучайный процесс, лежащих в диапазоне частот [ωm, ωn]:ωnσ x2 (ω m , ω n ) = ∫ S (ω )dω .ωm5.Как мы уже отмечали, на входгравиметрапоступаетсуммаускорениясилытяжестиивертикальнойсоставляющейускорения,возникающегопридвижениисамогогравиметра.Спектральнаяплотностьтакогосигнала S(ω) представляет собойсумму спектральных плотностей силытяжестиSg(ω)ивертикальныхвозмущающих ускорений S &z& (ω ) , ипредставлена на рисунке.

Из рисункавидно, что она имеет две области.Одна область, область “низких” частот, несет полезную информацию, и в нейспектральная плотность сигнала S(ω) соответствует спектральной плотности силытяжести Sg(ω). Другая область, область “высоких” частот, в которой спектральнаяплотность представляет собой колоколообразную функцию, соответствует спектральнойплотности вертикальных возмущающих ускорений S &z& (ω ) . Следует заметить, что такаяситуация, когда частотные области полезного сигнала и помехи разделены, практическивсегда соответствует морским гравиметрическим наблюдениям.

Это связано с тем, чтосам случайный процесс связан с качкой корабля и имеет характер почти периодическихколебаний. Период этих колебаний зависит от тоннажа судна, акватории и состояния моряи может меняться от первых секунд до нескольких десятков секунд в открытом океане. Вто же время периоды гармоник, соответствующие аномальному полю силы тяжести могутсоставлять сотни секунд, т.е. десятки минут и часы.

Но в аэрогравиметрии, где скорости32движения носителя высокие, гармоники, соответствующие изменению силы тяжести,могут иметь период близкий к периодам вертикальных возмущающих ускорений. И тогдатакого частотного разделения сигналов может и не наблюдаться. Таким образом, ставитсязадача методами фильтрации выделить из суммарного сигнала полезный сигнал,соответствующий измеряемому полю силы тяжести. Для этого необходимо определитьчастоту среза фильтра ω0 и построить сам фильтр, который был бы наиболее оптимальнымдля решения данной задачи.6.Решим вопрос о выборе значения частоты среза ω0. Для начала определим, какойфункцией можно аппроксимировать случайную помеху, связанную с перемещениемгравиметра.

Для этого представим себе, что вертикальные перемещения гравиметраописываются как некоторая сумма гармоник:Nz (t ) = ∑ ai cos(ω i t + ϕ i ) .i =1Тогда вертикальные ускорения, соответствующие этому закону перемещения будутпредставлены следующим образом:N&z&(t ) = −∑ ai ωi2 cos(ωi t + ϕ i ) .i =1Следовательно, спектральная плотность вертикальных ускорений будет соответствоватьспектральной плотности процесса z(t) с множителем ω4:S &z& (ω ) ≈ ω 4 S z (ω ) .7.Пусть фильтр будет идеальным фильтром низких частот, т.е.

он будет пропускатьгармоники до частоты ω0. Тогда погрешность такого фильтра будет складываться изпогрешности, возникающей от гармоник возмущающих вертикальных ускоренийимеющих частоту ниже частоты среза σ e2&z& , и погрешности σ eg2 ,, возникающей за счет того,что убираются гармоники, соответствующие полезному сигналу (силе тяжести) иимеющие частоту выше частоты среза:σ e2 = σ e2&z& + σ eg2 ,гдеω0σ e2&z& = 2 ∫ S &z& (ω )dω = Fн (ω 0 ) ,0∞σ eg2 = 2 ∫ S g (ω )dω = Fв (ω 0 ) .ω0В зависимости от значения ω0 одна из дисперсий будет увеличиваться, а другая –уменьшаться, и, соответственно, это будет приводить к увеличению погрешности σ e2 .Оптимальное значение ω0 может быть найдено из условия:33dσ e2 dFв (ω 0 ) dFн (ω 0 )=+= 0.dω 0dω 0dω 0С учетом того, как были определены функции Fн(ω) и Fв(ω), и что дифференцирование вних осуществляется по верхнему пределу, последнее условие может быть переписаноследующим образом:dσ e2= S &z& (ω 0 ) − S g (ω 0 ) = 0 .dω 08.Обычно ω0 находится на пересечении функций S &z& (ω ) и Sg(ω), т.е.

S &z& (ω 0 ) = S g (ω 0 ) ,и значение этой частоты в морской гравиметрии находится вблизи начала частотныхкоординат, т.е. в области низких частот. С учетом того, что энергетический спектризолированного объекта с избыточной плотностью убывает пропорционально экспоненте,т.е. быстрее степенной функции, поведение спектральной функции силы тяжести зачастотой среза заведомо можно аппроксимировать как степенную функцию:Sg(ω) ∼ Cω-2m,где m – некоторое целое число, которое нужно задать. В этом случае можно написать, чтоCCCω 0−2 m = Sω 04 , или ω 04+ 2 m = , ω 0 = 4+ 2 m .SS9.Сделаем предположение, что m = 3. Такое предположение заведомо выполнимо дляглубоководных районов морей и океанов.

При таком предположении получим следующиесоотношения для Fн(ω) и Fв(ω):ω0Fн (ω 0 ) = 2 ∫ Sω 4 dω = 2 S0∞Fв (ω 0 ) = 2 ∫ Cω dω = 2C−6ω0ω 05,5ω 0−55.Последующие выкладки будут выглядеть следующим образом:2(Sω 05 + Cω 0−5 ),5CSдля частоты ω0: ω 05 =, ω 0−5 =.SCдля ошибки фильтра: σ e2 =Тогда,2⎛ CS⎞ 4⎟=+Cσ e2 = ⎜⎜ SCS .5⎝SC ⎟⎠ 5Нами получена формула для оценки дисперсии ошибки. К сожалению, в этой формулеостаются неопределенными величины С и S.3410.Еще раз отметим, что выбор частоты среза очень важен для аэрогравиметрии, и нетак важен - для морской.

В то же время, в последние годы существенно возрос интерес кмалоглубинным акваториям, перспективным на нефть и газ. Для таких районов выбороптимальных параметров фильтра также может оказаться принципиально важным,поскольку частота полезного сигнала может перекрываться с частотой помехи.Лекция 8. Элементы теории фильтрации.1.Современный морской гравиметр – достаточно сложная система преобразованияинформации, на вход которой поступает смесь “полезного сигнала” (силы тяжести) ипомехи (возмущающие ускорения) x(t), а на выходе - отклик динамической системы y(t).Зная математическую модель динамической системы и ее состояние в некоторый моментвремени, принятый в качестве начального, можно установить алгоритм, с помощьюкоторого по x(t) можно вычислить y(t):y (t ) = Г{x(t )} ,т.е. связь между входной x(t) и выходной y(t) функциями определяются оператором Г{*}.Оператор называется линейным, если он удовлетворяет условиям аддитивности иоднородности: Г{k1 x(t ) + k 2 z (t )} = k1 Г{x(t )} + k 2 Г{z (t )} .2.Связь между функциями x(t) и y(t) можно определить выражениемty (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ + F (t ; y (0), y& (0),..., y n −1 (0)) .0Для того чтобы решение было установившимся необходимо текущий момент взять вбесконечной удаленности от начального.

В этом случае процессы, зависящие отначальных условий, затухнут, т.к. для асимптотически устойчивых системlim F (t ; y (0), y& (0),..., y n −1 (0)) = 0 ,t →∞и связь между входной и выходной функциями будет определяться следующиминтегральным соотношением, носящим название интеграла типа свертки,∞y (t ) =∫ h(τ ) x(t − τ )dτ ,−∞здесь h(τ) – весовая функция. Реальные физические системы характеризуются тем, чтовыходной сигнал формируется из входной информации, полученной в текущий момент t,и всей предшествующей. Такие системы называются казуальными (причинными) илифизически реализуемыми системами. Соответствующее для этого случая интегральноесоотношение примет вид:∞y (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ .0353.Другой распространенный способ задания зависимости между входным ивыходным сигналами – с помощью дифференциального уравненияa n y ( n ) (t ) + a n −1 y ( n −1) (t ) + ... + a 0 y (t ) = x(t ) .С таким способом описания линейных систем мы уже сталкивались, когда рассматривалиреакцию карданова подвеса и гиростабилизаторов на наклон.4.Для описания линейных систем используют понятия импульсной характеристики,передаточной функции, амплитудно-фазовой характеристики и переходной функции.

Длявыяснения смысла этих понятий рассмотрим интегральное соотношение∞y (t ) = ∫ h(τ) x(t − τ)dτ ,0и зададим несколько тестов.Тест 1. Пусть x(t) = δ(t), где δ(t) – импульс или функция Дирака. Тогда∞y (t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ = h(t ) .0h(t) – реакция динамической системы на импульс или импульсная характеристика.Тест 2.

Пусть x(t) = ept. В этом случае:∞y (t ) = ∫ h(τ )e0p ( t −τ )dτ = e∞pt∫ h(τ )e− pτdτ = e pt L(h(t ) ) .0Оператор L(h(t ) ) = W ( p ) - оператор преобразования Лапласа, а соответствующая функцияносит название передаточной функции.⎧1, t ≥ 0, т.е. входной сигнал – функция Хевисайда. Для этогоТест 3. Пусть x(t) = 1(t) = ⎨⎩0, t < 0случая получим:∞t00y (t ) = ∫ h (τ )1(t − τ )dτ = ∫ h (τ )dτ = H (t ) .Функция H(t) – реакция системы на ступенчатую функцию и носит название переходнойфункции. Производная этой функции будет равна функции Дирака:dHd 1(t )= h(t ) ,= δ (t ) .dtdtТест 4. Пусть x(t) = eiωt= cosωt +isinωt. Этот случай аналогичен тесту 2, в котором p=iω.

Вэтом случае W ( p ) p =iω = W (iω ) , и передаточная функция носит название частотнойхарактеристики:36∞∞00y (t ) = ∫ h(τ )e iω ( t −τ ) dτ = e iωt ∫ h(τ )e −iωτ dτ = e iωt W (iω ) .(Re W )2 + (Im W )2Функция λ (ω ) = W (iω ) =− амплитудная частотная характеристикаIm W− фазовая частотная характеристикаRe W(ФЧХ). Частотная характеристика показывает, что если на вход системы с линейнымоператором будет подан периодический сигнал x(t ) = a cos ωt , то на выходе будет сигналy (t ) = λ a (ω ) cos(ωt + ϕ (ω )) , т.е.