В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ, страница 7

Возникающая при этом сила инерции вместе с силойпритяжения образуют силу тяжести g. Таким образом, возмущающими ускорениямиостаются относительное и кориолисово.3.Если пренебречь несферичностью Земли, то относительное ускорение точкидвижущейся с постоянной скоростью по поверхности Земли будет равноцентростремительному ускорению, направленному к центру планеты. Соответствующаяэтому ускорению удельная сила инерции будет направлена вверх, и она будет уменьшатьвес пробного тела. Величина этого ускорения будет определяться выражением:wотн = wц = −v2,Rгде R – средний радиус Земли, v – относительная скорость движения точки (скоростьдвижения судна).4.В теоретической механике показано, что кориолисово ускорение равно удвоенномувекторному произведению угловой скорости вращения системы отсчета u (в нашем случаеu – вектор скорости суточного вращения Земли, направленный на полюс мира) на векторотносительной скорости v движения точки относительно этой системы:w кор = 2(u × v ) .Вектор wкор лежит в плоскости экватора и ортогонален вектору скорости v.275.Представим вектор u в виде суммыдвухвекторов:горизонтальногоun,направленного на север, и вертикального uz,направленного к центру Земли: u = un + uz.Вектор относительной скорости v, такжеразложим по двум направлениям – северномуи восточному: v = vn + ve.

Таким образом, длякориолисова ускорения можно написать:w кор = 2[(un + u z ) × (v n + v e )] = 2[(un × v e ) + (u z × v )] .Из полученного соотношения следует, что ускорение Кориолиса имеет две составляющее.Одно из них, описываемое первым слагаемым, – вертикальное, второе – горизонтальное.Вертикальная составляющая вносит ошибку в измеренное значение силы тяжести,горизонтальная – отклоняет вертикаль. Угол наклона зависит от широтыместонахождения судна и его скорости. Однако этот угол невелик.

При скорости судна в10 узлов отклонение от вертикали не будет превосходить 15”. Таким образом, основнойвклад в измеренное значение силы тяжести вносит первый член.6.Горизонтальная и вертикальная компоненты вектора u зависят от широтыместности:un = u cosϕ, uz = u sinϕ.В этом случае кориолисово ускорение приобретает вид:wкор = 2uvecosϕ.При этом если судно движется в восточном направлении, ускорение Кориолисанаправлено вверх, тем самым увеличивает значение силы тяжести, а если в западном, тоэто ускорение направлено вниз, и значение силы тяжести уменьшается.7.Таким образом, возмущающее ускорение первого порядка wz будет состоять из трехкомпонент – вертикальной компоненты ускорения, связанного с перемещением системыотсчета гравиметра относительно некоторой точки, проекции кориолисова ускорения навертикальную ось и центростремительного ускорения:wz = &z& − 2uve cos ϕ −v2.RСоответственно, для кажущегося ускорения силы тяжести без учета возмущающихускорений второго порядка можно записать:g к = g + &z& −v2− 2uve cos ϕ .R8.Так как нашей задачей стоит определение значения g, то последнее уравнениеможет быть переписано в следующем виде:g + &z& = g к +v2+ 2uve cos ϕ = g к + δg э .R28v2.

ФизическийRсмысл этой поправки достаточно ясен: при движении судна на восток, скорость суднаскладывается с линейной скоростью вращения Земли, и тем самым увеличиваетсязначение центробежной силы, а при движении судна на запад – наоборот. Это свойствоучитывает первый член поправки. Второе слагаемое учитывает тот факт, что придвижении по сферической поверхности центробежная сила всегда уменьшает веспробного тела по сравнению с весом покоящегося тела.Здесь символом δgэ обозначена поправка Этвеша: δg э = 2uve cos ϕ +9.Сделаем следующее замечание.

Если скорость перемещения гравиметра высокая,как это бывает в аэрогравиметрии, то при вычислении поправки Этвеша необходимоучитывать эллиптичность Земли. В этом случае формула для поправки Этвеша пригоризонтальном полете будет иметь вид:v n2ve2+δg э = 2uve cos B +,M +H N+Hгде M – радиус кривизны меридиана, M =(a 1 − e2(1 − e2)2)3, e – эксцентриситетsin Bэллипсоида, a – большая полуось эллипсоида, B – геодезическая широта; N – радиусaкривизны 1-го вертикала, N =; H – высота полета, ve, vn – восточная и31 − e 2 sin 2 Bсеверная составляющие скорости, ve = (N+H)LcosB, vn = (M+H)B, L – геодезическаядолгота.()v2к виду удобномуRдля расчетов.

С учетом того, что сила тяжести измеряется в миллигалах, а скорость v вкм/ч или в узлах (1 узел = 1 мор. миля/ч = 1852 м/ч, 1мор.миля равна длине дуги 1’большого круга) и положив в расчетах радиус Земли R = 6370 км, а угловую скоростьвращения Земли u = 7,29⋅10-5с-1, получим10.Приведем выражение для поправки Этвеша δg э = 2uve cos ϕ +δg э = 4,05ve cos ϕ + 0.0012v 2при измерении скорости в км/ч, иδg э = 7,50ve cos ϕ + 0.004v 2при измерении скорости в узлах. Обратим внимание на то, что ve – восточнаясоставляющая скорости. Если скорость измеряется в узлах, то эта скорость соответствуетскорости изменения долготы, выраженной в минутах, т.е. ve = λ&R cos ϕ .

С учетом этогозамечания поправка Этвеша может быть представлена в следующем виде:δg э = 7,50λ& cos 2 ϕ + 0.004v 2 .Первый член в этих формулах – основной и составляет главную часть поправки.Очевидно, что максимальных значений он достигает при движении судна вдоль параллелии равен нулю при движении вдоль меридиана. Так на широте ϕ = 45° при движении судна29по параллели со скоростью 12 узлов первый член поправки равен 63,9 мГал, а второй – 0,6мГал.Очевидно, что максимальных значений поправка Этвеша достигает при движении суднавдоль параллели, и равна нулю при движении вдоль меридиана.11.Определим необходимую точность измерения приращения долготы придопустимойпогрешности0,1мГалнашироте45°.Очевидно,что2ε g = 7,50 ⋅ ε λ& cos ϕ = 3,75ε λ& .

Отсюда следует, что точность определения скоростиизменения долготы должна быть не хуже 0,027 минут дуги в час. Если эту скоростьопределять как отношение разности измеренных долгот за промежуток времени междуλ (t + T ) − λ (t − T )измерениями λ& =, то ошибка определения скорости изменения долготы2T2ε λεбудетопределятьсясоотношением= λ .Этоозначает,чтоε λ& =2T2Tε λ < 1,41 ⋅ ε λ& T ≈ 0,038T .

В частности, при дискретизации навигационных отчетов в 10минут, т.е. в 1/6 часа, точность определения долготы должна быть не хуже 0,006′ или0,04”. На широте в 45° 0,04” соответствуют 8-10 м. Это очень высокое требование и воткрытом океане до сих пор невыполнимое даже с применением спутниковойнавигационной системы JPS, хотя частота обсерваций может быть высокой и составлятьсекунды.12.Подведем итог этой лекции.

На вход гравиметра поступает кажущееся ускорениесилы тяжести, которое помимо силы притяжения содержит в себе влияние возмущающихускорений первого и второго порядков. Способы подавления влияния ускорений второгопорядканамирассматривалисьвпредыдущихлекциях,посвященныхгиростабилизаторам, и было показано, что их влияние можно практически свести доминимума. Таким образом, основной сигнал, поступающий на вход гравиметра, состоитиз определяемой удельной силы тяжести, вертикального ускорения, связанного с качкойсудна, и эффекта Этвеша. Задача состоит в том, чтобы суметь выделить из этого набораполезную (искомую) составляющую. Для этого нужно знать, что будет происходить ссигналом при его прохождении через гравиметр, т.е.

знать передаточную функциюгравиметра. Но перед тем как рассматривать основные особенности строения морскихгравиметров, следует остановиться на вопросах фильтрации сигналов. Этому и будетпосвящена следующая лекция.Лекция 7. Применение методов фильтрации к измерению силы тяжести.1.Вновь рассмотрим выражение для кажущейся силы тяжести, которую измеряетгравиметр:g к = g + w z + w xα + w y β − gα22−gβ22.Мы рассмотрели влияние ускорений второго порядка и показали, что их влияние можетбыть сильно подавлено за счет применения гиростабилизаторов. Таким образом, основнойсигнал, который измеряет гравиметр, является суммой удельной силы тяжести и30возмущающих вертикальных ускорений, которые в свою очередь состоят из вертикальныхускорений, связанных с качкой судна и ускорений, возникающих при движении судна поповерхности Земли:g к = g + &z& + ∆g э .Если задать движение судна прямолинейным с постоянной скоростью, то эффект Этвешабудет постоянным, и переменная составляющая будет суммой влияния силы тяжести ивертикальных ускорений: g к = g + &z& .

По своей природе силы гравитации и силы инерциинеразличимы. Поэтому для их разделения надо либо вычислять вертикальныевозмущающие ускорения, что невозможно, либо применить методы фильтрации.2.Надо заметить, что вертикальные возмущающие ускорения в несколько десятков, ато и в сотни раз, превышают значения определяемой силы тяжести. Кроме того,возмущающие ускорения, которые в основном обусловлены качкой корабля, меняются вовремени во много раз быстрее, чем сила тяжести, т.е. имеют более высокочастотнуюсоставляющую. Это справедливо для морских измерений.

Для того чтобы уменьшитьдинамический диапазон и подавить влияние высокочастотной помехи чувствительныйэлемент гравиметра опускают в вязкую среду, и тем самым пытаются уменьшить влияниевертикальных высокочастотных возмущающих ускорений. Это означает что сигнал,проходя через гравиметр, претерпевает изменения, которые определяются передаточнойфункцией гравиметра, включающей в себя фильтр низких частот:s = Wфнч Г{g + &z&} .Встает вопрос, каковы должны быть параметры гравиметра и фильтра для того, чтобывыделить полезную информацию. Для этого необходимо знать особенности поведенияэнергетических спектров полезного сигналов и помехи.3.Напомним физический смысл понятия энергетического спектра или спектральнойплотности случайной стационарной функции.

Для этого представим себе, что мырасполагаем записью случайной функции на некотором конечном, но достаточно длинноминтервале времени. Тогда эта функция представима рядом Фурье:Nx(t ) = ∑ (a k cos ω k t + bk sin ω k t ) .k =0Мощность каждой гармоники пропорциональна квадрату ее амплитуды. Так как сигналявляется случайной функцией, то и коэффициенты ряда Фурье ak и bk также будутслучайными числами. Предположим, что имеется множество подобных функций, окоторых известно, что они относятся к одному и тому же случайному процессу, т.е. у ниходинаковыематематическиеожидания(средниезначения),дисперсиииавтокорреляционные функции. В этом случае для каждой реализации можно получитьсвои коэффициенты ak и bk. В силу их случайности, средние значения коэффициентов a k иbk , вычисленные по всем реализациям, будут равны нулю.

В то же время средниезначения квадратов коэффициентов на каждой частоте будут отличны от нуля. Обозначимэти значения, как a k2 и bk2 . Известно, что дисперсия случайного стационарногопроцесса равна среднему значению квадратов отклонений процесса от своего среднегозначения. По отношению к отдельным гармоникам, дисперсия будет равна половинеквадрата амплитуды.