В.Л. Пантелеев - ИЗМЕРЕНИЕ СИЛЫ ТЯЖЕСТИ НА ПОДВИЖНОМ ОСНОВНИИ, страница 11

ЭтоNh2h hсвойство известно в литературе как теорема Котельникова.7.Начнем с простого случая. Пусть входной сигнал x(t) и выходной сигнал y(t)связаны дифференциальным уравнением 1-го порядка:Ty& + y = x(t ) .Для заданного дискретного сигнала производную y& (t ) можно представить следующейаппроксимацией:y& (k ) =y (k ) − y (k − 1).hПри вычислении производной таким образом всегда возникает вопрос о величиневременного интервал h. С одной стороны для более точного вычисления значенияпроизводной интервал h следовало бы уменьшить.

С другой стороны это может привестик неустойчивости вычисления производной в силу наличия ошибок в исходных значениях.Так что выбор величины h всегда должен определяться практическим путем, в том числе имоделированием сигнала для данной конкретной ситуации.8.Перепишем исходное уравнение с помощью предложенной аппроксимациипроизводной:T[ y(k ) − y(k − 1)] + y(k ) = x(k ) .hЗаметим, что значение постоянной времени T может быть достаточно большим (100 с иболее).

Полученное уравнение можно переписать следующим образом:T⎛ T⎞⎜1 + ⎟ y (k ) − y (k − 1) = x(k ) ,h⎠h⎝илиy (k ) = C 0 x(k ) + C1 y (k − 1) .Полученное уравнение показывает, что каждый отсчет в выходной последовательностиy(k) связан со значениями входной последовательности в тот же момент времени x(k) ипредыдущим значением выходной последовательности y(k-1). Такой фильтр носит48название рекурсивного. При этом коэффициенты такого фильтра определяютсясоотношениями:−1⎛ T⎞C 0 = ⎜1 + ⎟ ,h⎠⎝C1 = C 0T,hи для них должно выполняться условие C0 + C1 ≡ 1. При вычислении значений этихкоэффициентов необходимо особое внимание уделить точности их вычисления.9.Как было показано, такой фильтр реализует дифференциальное уравнение 1-гопорядка (звено 1-го порядка). С его помощью возможно аппроксимировать фильтр,состоящий из цепочки звеньев.

Например, фильтр из трехзвенной цепочки можнополучить следующим образом:y1 (k ) = C 0 x(k ) + C1 y1 (k − 1) − выходной сигнал первого звена,y 2 (k ) = C 0 y1 (k ) + C1 y 2 (k − 1) − выходной сигнал второго звена,y 3 (k ) = C 0 y 2 (k ) + C1 y 3 (k − 1) − выходной сигнал третьего звена.10.Введем операторы смещения: z{x(k )} = x(k + 1) и z −1 {x(k )} = x(k − 1) .

Тогдаприведенные выше соотношения можно записать:(1 − C1 z −1 ) y1 = C 0 x ,(1 − C1 z −1 ) y 2 = C 0 y1 ,(1 − C1 z −1 ) y 3 = C 0 y 2 .Дальнейшие выкладки приобретут вид:y2 =C0C0y1 , (1 − C1 z −1 ) y 3 = C 0y1 , (1 − C1 z −1 ) 2 y 3 = C 02 y1 ,−1−1(1 − C1 z )(1 − C1 z )и далее,(1 − C1 z −1 ) 3 y 3 = C 03 x .Это соотношение может быть переписано следующим образом:(1 − 3C12 z −1 + 3C1 z −2 − C13 z −3 ) y 3 = C 03 x ,y 3 (k ) − 3C12 y 3 (k − 1) + 3C1 y 3 (k − 2) − C13 y (k − 3) = C 03 x ,илиy (k ) = C 03 x(k ) + 3C12 y (k − 1) − 3C12 y (k − 2) + C13 y (k − 3) .11.Сделаем замечание по поводу частотной характеристики цифрового фильтра.Частотную характеристику фильтра, состоящего из трех звеньев 1-го порядка, мырассматривали на предыдущих лекциях. Однако частотная характеристика цифровогофильтра будет отличаться от частотной характеристики аналогового фильтра.

Это связано49с тем, что максимально возможная частота гармоники, участвующей в аппроксимациисигнала, определяется частотой Найквиста и зависит от интервала дискретизации h.Поэтому частотные характеристики цифровых фильтров вычисляют через так называемоеz-преобразование. Получаемая в результате частотная характеристика являетсяпериодической функцией с периодом, равным 2π. И если при низких гармоникахчастотные характеристики аналогового и цифрового фильтра практически совпадают, топри более высоких гармониках они начинают расходиться.12.Аналогично тому, как мы рассматривали фильтр, представляющий собой цепочкуиз звеньев 1-го порядка, рассмотрим цепочку, состоящую из трех звеньев второгопорядка.

Для такой системы справедлива запись:T 2 &y&1 + 2Ty&1 + y1 = x ,T 2 &y&2 + 2Ty& 2 + y 2 = y1 ,T 2 &y&3 + 2Ty& 3 + y 3 = y 2 .Постоянная времени T определяет частоту среза - ω ср =2π. Заменим производные ихTдискретными аналогами:31y (k ) − 2 y (k − 1) + y (k − 2) ,222h &y&(k ) ≅ y (k ) − 2 y (k − 1) + y (k − 2) .hy& (k ) ≅Это не единственный способ численного представления производных, для них можнонаписать и более простые и более сложные выражения.

Цифровой фильтр будетпредставлен соотношением:y (k ) = C 0 x(k ) + C1 y (k − 1) + C 2 y (k − 2) .Коэффициенты фильтра будут определяться следующим образом:−1⎛⎛ 2T 2⎛T 2T⎞T ⎞3 T T2 ⎞⎟⎟ ,+ 2 ⎟⎟ , C1 = C 0 ⎜⎜ 2 + 2 2 ⎟⎟, C 2 = C 0 ⎜⎜ 2 +C 0 = ⎜⎜1 +hhhhh2h2⎝⎠⎝⎠⎝⎠при этом коэффициенты удовлетворяют условию С0 + С1 + С2 = 1.13.Рассмотрим вопрос о выводе строгих формул для частотных характеристикцифровых фильтров. Передаточная функция Г(p) определяется следующим образом:Г ( p ) = e − pt Г {e pt }p = iω.{ }Оператор смещения был определен как z{x(k )} = x(k + 1) . Тогда z e ptk = e p (tk + h ) , ипередаточная функция этого оператора будет следующей{ }Г ( p ) = e − ptk z e ptk = e ph .50Следовательно, в данном случае оператор z эквивалентен умножению на eph.

Дискретныйаналог фильтра 1-го порядка описывается соотношением:y (k ) = C 0 x(k ) + C1 y (k − 1) .Тогда справедливы следующие выкладки:(1 − C e )y(k ) = C x(k ) ,− ph10y (k ) =C0x(k ) ,1 − C1e − phи передаточная функция звена будет равнаГ ( p) =C0.1 − C1e − pt14.Выражения для частотной и амплитудно-частотной характеристик фильтра 1-гопорядка будет иметь вид:Г (iω ) =C0C0,=1 − C1 (cos ωh − i sin ωh ) (1 − C1 cos ωh ) + iC1 sin ωhC0Г (iω ) =1 − 2C1 cos ωh + C12.Для цепочки из трех звеньев получим:C 033Г 1 (iω ) = Г (iω ) =(1 − 2C1)32 21cos ωh + C.Для ωh<<1, при условии, что cosωh ≈ 1, sinωh ≈ ωh, можно для частотной характеристикинаписатьГ (iω ) ≈C0.(1 − C1 ) + iωhC1Так как коэффициенты C0 и C1 определяются соотношениями−1⎛ T⎞C 0 = ⎜1 + ⎟ ,h⎠⎝C1 = C 0T,hT1, и для частотной характеристики можно написать:получим C 0 = 1 − C1 = 1 − h =TT1+1+hh511Г (iω ) ≈1 + iωhC1C0=1,1 + iωTЭта характеристика совпадает с передаточной функцией звена 1-го порядка.

Аналогичнымобразом можно получить частотные характеристики для фильтров и более высокогопорядка.15.До сих пор нами рассматривались алгоритмы фильтрации, основанные нарекурсии, когда выходной сигнал определяется не только входным сигналом, но ипредыдущими значениями выходного сигнала. В то же время, если иметь всю временнуюзапись сигнала, то фильтрацию можно осуществить и на нерекурсивных алгоритмах. Этиалгоритмы основаны на описании фильтрации интегралом типа свертки:θy (t ) = ∫ h(ξ ) x(t − ξ )dξ .−θДискретный аналог этого интеграла будет иметь видy (k ) =n∑ w x(k − j ) ,j =− njnпри этом коэффициенты удовлетворяют условию∑wl =− nj≡ 1 . Частотная характеристикатакого фильтра определяется видом ядра преобразования h(ξ) в интегральном уравненииT∫ h(ξ )(∆g (t − ξ ) + &z&(t − ξ ))dξ = ∆g (t ) ,−Tпри этом восстановление сигнала должно быть произведено с приемлемой точностью.Ядро преобразования можно подобрать путем моделирования.

Использование такогоподхода предполагает, что гравиметр не вносит динамических погрешностей.16.Для исключения динамических погрешностей необходимо разрабатывать новыеалгоритмы. Покажем один из возможных путей решения этой задачи. Пусть системаописывается следующим дифференциальным уравнением:Tx& (t ) + x(t ) = ∆g (t ) + &z&(t ) .Тогда для ∆g(t) можно записать:θθθ−θ−θ−θ∆g (t ) = ∫ h(ξ )(Tx& (t − ξ ) + x(t − ξ ) )dξ = ∫ h(ξ )Tx& (t − ξ )dξ + ∫ h(ξ )x(t − ξ )dξ .Проинтегрируем первое слагаемое в этом выражении по частям:52θθ−θ−θθ∫ h(ξ ) x& (t − ξ )dξ = h(ξ ) x(t − ξ ) −θ + ∫ h&(ξ ) x(t − ξ )dξ .Дальнейшие преобразования будут иметь вид:θθθ−θ−θ−θ∆g (t ) = ∫ h(ξ )(Tx& (t − ξ ) + x(t − ξ ) )dξ =∫ (Th&(ξ ) + h(ξ ))x(t − ξ )dξ = ∫ h (ξ ) x(t − ξ )dξ ,0где h0 (ξ ) = Th&(ξ ) + h(ξ ) - ядро преобразования, исключающее динамические погрешности.Результат такой фильтрации во многом определяется выбором функции h(ξ), для чегонеобходимо моделировать как полезный сигнал, так и помеху.17.Стоит отметить, что разработка алгоритмов восстановления сигнала является оченьважным направлением в гравиметрии, которое постоянно развивается.Лекция 11.

Гравиметры. Струнный гравиметр.1.Все приборы для измерения силы тяжести основаны на взвешивании пробноймассы (пробного тела). Это пробное тело должно удерживаться в корпусе прибора(опора). Состояние пробного тела служит мерой гравитационного поля. Можнофиксировать или смещение пробного тела, или силу, которую необходимо приложить ктелу, чтобы удерживать его в положении равновесия. Эти силы могут быть силойнатяжения, электростатического типа и т.п., но не гравитационного.