korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_riska.pdf), страница 9

Метрическое пространство одномерных функцийраспределений с расстоянием L1 (F, G) является полным.Далее в тексте,если не оговорено противное, мы будем использоватьследующее соглашение. Если X1 и X2 – некоторые случайные величиныс функциями распределения F1 (x) и F2 (x) соответственно, а L1 (·, ·) –метрика Леви, то мы не будем делать различия между L1 (F1 , F2 ) иL1 (X1 , X2 ).В метрических пространствах аналогичным образом определяетсяметрика Леви–Прохорова как расстояние между вероятностными мерами.Пусть (E, E, ρ) – метрическое пространство и P(E) – множество вероятностных мер на измеримом пространстве (E, E).

Пусть A ⊂ E.Положим ρ(x, A) = inf{ρ(x, y) : y ∈ A}. Пусть ε > 0. ОбозначимAε = {x ∈ E : ρ(x, A) < ε}, A ∈ E. Пусть P1 и P2 – произвольныевероятностные меры из P(E). Положимσ(P1 , P2 ) =49501. Основные понятия теории вероятностей= inf{ε > 0 : P1 (A) ≤ P2 (Aε ) + ε для любого замкнутого A ∈ E}.Расстояние Леви–Прохорова между распределениями P1 и P2 определяется какL2 (P1 , P2 ) = max{σ(P1 , P2 ), σ(P2 , P1 )}.Расстояние Леви–Прохорова между случайными векторами X и Yопределяется как расстояние Леви–Прохорова между порожденнымиими вероятностными распределениями: L2 (X, Y) = L2 (PX , PY ).

Известно, что слабая сходимость случайных векторов, то есть слабаясходимость их распределений, эквивалентна их сходимости в метрикеЛеви–Прохорова L2 (см., например, (Золотарев, 1986), (Ширяев, 1989)).1.61.6.1Центральная предельная теорема, ееуточнения и обобщенияЦентральная предельная теоремаТермин центральная предельная теорема означает любое утверждениео том, что при выполнении определённых условий функция распределения суммы малых случайных величин с ростом числа слагаемыхсходится к нормальной функции распределения. Важность центральной предельной теоремы объясняется тем, что она даёт теоретическоеобъяснение следующему многократно подтверждённому практикой наблюдению: если исход случайного эксперимента определяется большимчислом случайных факторов, влияние каждого из которых пренебрежимо мало, то pаспpеделение pезультата такого эксперимента хорошоаппроксимируется нормальным законом с соответствующим образомподобранными математическим ожиданием и дисперсией.Пусть X1 , X2 , .

. . - независимые одинаково распределенные случайные величины, удовлетворяющие условиямEX1 = 0,DX1 = σ 2 < ∞.(1.6.1)Функцию распределения случайной величины X1 обозначим F (x).Функцию√ распределения нормированной суммы Sn = (X1 + . . . +Xn )/(σ n) обозначим√Fn (x) = F ∗n (x n).Функцию распределения и плотность стандартного нормального закона как и ранее будем обозначать Φ(x) и φ(x) соответственно,x1 Z −t2 /2Φ(x) = √edt,2π −∞nx2 o1.φ(x) = √ exp −22π1.6. Центральная предельная теорема51Центральная предельная теорема утверждает, что последовательность функций распределения нормированных сумм Sn случайных величин, удовлетворяющих условию (1.6.1), при n → ∞ равномерно сходится к стандартной нормальной функции распределения:ρ(Fn , Φ) ≡ sup |Fn (x) − Φ(x)| −→ 0.xПри этом второе из условий (1.6.1) – условие конечности дисперсиикаждого слагаемого – является необходимым и достаточным для указанной равномерной сходимости, если распределения слагаемых одинаковы.Если же распределения слагаемых различны, то сходимость распределений центрированных и нормированных сумм независимых случайных слагаемых к нормальному закону имеет место, если вклад каждогослагаемого в сумму мал по сравнению с само́й суммой, то есть ни одноиз слагаемых не играет доминирующей роли.

Чтобы формализоватьсказанное, обозначимEXj = aj , a1 + . . . + an = An ;DXj = σj2 , σ12 + . . . + σn2 = Bn2 ,µ¶X1 + . . . + Xn − An< x , j ≥ 1, n ≥ 1.BnНаиболее хорошо известной версией центральной предельной теоремы для сумм неодинаково распределенных независимых слагаемыхявляется теорема Линдеберга–Феллера, которая формулируется следующим образом.Теорема 1.6.1. Пусть случайные величины X1 , X2 , . . .

независимы. Для того чтобыFn (x) = Psup |Fn (x) − Φ(x)| −→ 0x(n → ∞)и при каждом ² > 0¯¶µ¯¯ Xj − aj ¯¯¯> ² = 0,lim sup P ¯n→∞ 1≤j≤nBn ¯необходимо и достаточно, чтобы было выполнено условие Линдеберга:для любого τ > 0n1 Xlim 2n→∞ Bn j=1Z|x−aj |>τ Bn(x − aj )2 dP(Xj < x) = 0.521. Основные понятия теории вероятностейЗаметим, что все приводимые утверждения формально корректны,если σ12 > 0. Несложно убедиться, что в случае, когда распределенияслагаемых в сумме одинаковы, условие Линдеберга оказывается эквивалентным условию конечности дисперсии.Предположим, что βj3 ≡ E|Xj − aj |3 < ∞, j ≥ 1, и обозначим β13 +.

. . + βn3 = Mn3 . Тогда, как несложно видеть,Zn1 XBn2 j=1(x − aj )2 dP(Xj < x) ≤|x−aj |>τ Bn≤Zn1 Xτ Bn3 j=1|x − aj |3 dP(Xj < x) ≤|x−aj |>τ BnMn3.τ Bn3Поэтому в случае существования третьих моментов слагаемых условиеЛиндеберга вытекает из условия Ляпунова:Mn3= 0,n→∞ B 3nlimто есть для случая конечных третьих абсолютных моментов слагаемыхусловие Ляпунова является достаточным для равномерной сходимостифункций распределения центрированных и нормированных сумм независимых случайных слагаемых к стандартной нормальной функциираспределения. Это утверждение принято называть теоремой Ляпунова.1.6.2Неравенство Берри–ЭссеенаВернемся к той ситуации, когда распределения слагаемых одинаковы.Известно, что при условии существования абсолютного момента порядка 2 + δ с 0 < δ ≤ 1, то естьβ 2+δ ≡ E|X1 |2+δ < ∞,(1.6.2)справедливо неравенствоρ(Fn , Φ) ≤ Cδ L2+δn ,где(1.6.3)β 2+δ,σ 2+δ nδ/2а Cδ – положительная абсолютная постоянная (см., например, (Петров,1972), гл.

VI, Теорема 6). При δ = 0 нормальная сходимость имеетместо, но может быть как угодно медленной (Мацкявичюс, 1983).=L2+δn1.6. Неравенство Берри–Эссеена53Случай δ = 1, то естьβ 3 ≡ E|X1 |3 < ∞(1.6.4)изучен лучше всего. В этом случае неравенство (1.6.3) превращается вклассическое неравенство Берри–Эссеенаρ(Fn , Φ) ≤ CL3n ,гдеL3n =(1.6.5)β3√ ,σ3 n– так называемая дробь Ляпунова третьего порядка, C – абсолютнаяпостоянная (Berry, 1941), (Esseen, 1942).

Неравенство (1.6.5) устанавливает правильную скорость сходимости (правильный порядок убывания ρ(Fn , Φ) с ростом n). Однако, чтобы применить неравенство (1.6.5)на практике для оценивания точности нормальной аппроксимации,необходимо иметь конкретную численную оценку абсолютной константы C.В некоторых прикладных задачах (в частности, в теории управления запасами, финансовой и страховой математике, см. главу 10) объемимеющейся выборки n фиксирован, поэтому при оценивании точностинормальной аппроксимации решающую роль для окончательного результата играет значение абсолютной константы в неравенстве Берри–Эссеена.История отыскания значения абсолютной константы в неравенствеБерри–Эссеена интересна и богата результатами.

Так, Э. Берри утверждал, что C ≤ 1.88, однако, как обнаружилось позднее (Hsu, 1945), вычисления Берри содержали ошибку. К.-Г. Эссеен показал, что C ≤ 7.59(Esseen, 1942). Х. Бергстрём показал, что C ≤ 4.8 (Bergström, 1949).К. Такано (Takano, 1951) получил оценку C ≤ 2.031. По-видимому,работа Такано (опубликованная на японском языке) выпала из полязрения некоторых исследователей, так как в нескольких более поздних публикациях приводятся немного худшие оценки. В частности, вработе (Esseen, 1956) имеется упоминание о неопубликованных вычислениях, дающих C ≤ 2.9. В работе Д. Л. Уоллеса (Wallace, 1958) приведена оценка C ≤ 2.05. В.

Феллер (Феллер, 1984б), упоминая результат Уоллеса, также обходит вниманием работу Такано. Вычислениюнаименьшего возможного значения абсолютной постоянной C придавал большое значение А. Н. Колмогоров. В своей работе√ (Колмогоров,1953) он высказал предположение о том, что C = 1/ 2π. К сожалению, это предположение оказалось не совсем точным: в 1956 г., решая541.

Основные понятия теории вероятностейнесколько иную задачу, К.-Г. Эссеен показал, что в неравенстве (1.6.5)постоянная C не может быть меньше, чем√110 + 3= √ + 0.0107899...C1 = √6 2π2π(Esseen, 1956). Этот результат получен как следствие решения задачи об асимптотически правильной константе в неравенстве Берри–Эссеена, то есть наименьшей постоянной C∗ , обеспечивающей асимптотическую оценкуρ(Fn , Φ) ≤ C∗ L3n + o(L3n ).Эссеен показал, что в рассматриваемой ситуации C∗ = C1 . Поскольку C ≥ C∗ , была найдена нижняя оценка для C. Далее, как показалБ. А.

Рогозин,√¯¶¯µ¯x − a ¯¯σ3 n1¯sup ¯Fn (x) − Φlim sup inf≤ √ ≤ 0.3990¯3βbxn→∞ a,b2π(Рогозин, 1965). Тем самым предположение Колмогорова было в определенном смысле подтверждено.Тем не менее, наименьшее возможное значение константы C в классическом неравенстве Берри–Эссеена до сих пор неизвестно. Верхняяоценка для C была последовательно снижена до C < 0.9051 (Золотарев,1966), C < 0.8197 (Золотарев, 1967), C < 0.7975 (Van Beek, 1971), (VanBeek, 1972), C ≤ 0.7655 (Шиганов, 1982). Рекорд Шиганова удалосьперекрыть лишь недавно – в 2006 г.