korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_riska.pdf), страница 12

Уточнения неравенства Берри–Эссеена67ОбозначимC(δ) ≡ lim)a(δ, d)Γ( 2+δ2d→0+2π [b(δ, d)]1+δ/2=)21−δ/2 Γ( δ+22.π(1 + δ)(2 + δ)(1.6.13)Несложно убедиться, что для любого 0 < ε < ε(δ) существует единственный корень d(δ, ε) уравненияΓ( 2+δ)a(δ, d)22π [b(δ, d)]1+δ/2³= C(δ) + ε,´лежащий в интервале 0, d(δ) . Также можно убедиться, что для любого ω > 0 существует единственный корень γ(ω) уравнения(2α(γ) − 1) (1 + ω) = 1.Теперь из Теоремы 1.6.2 мы получаем следующий результат, который делает более наглядным вид коэффициента Cn (δ).Следствие 1.6.2.

При условиях (1.6.1) и (1.6.2) для 0 < δ ≤ 1, длялюбого n ≥ 1 справедливо неравенство(ρ(Fn , Φ) ≤inf0<ε<ε(δ)ω>0(2 + ω)γ(ω)(C(δ) + ε) (1 + ω) + √2 2πd(δ, ε)n(1−δ)/2)·β 2+δ.nδ/2В свою очередь, из Следствия 1.6.2 вытекаетСледствие 1.6.3. При условиях (1.6.1) и (1.6.2) для 0 < δ < 1, приn→∞ρ(Fn , Φ) ≤ C(δ) · L2+δ+ o(L2+δnn ).Другими словами, при условиях (1.6.1) и (1.6.2) для δ ∈ (0, 1) мыимеемinf Cn (δ) = lim Cn (δ) = C(δ).nn→∞Значения константы C(δ) при некоторых δ приведены в следующейтаблице:δ0.050.100.150.200.250.300.35C(δ)0.28670.25920.23520.21410.19550.17910.1645δ0.400.450.500.550.600.650.70C(δ)0.15150.13990.12940.12010.11160.10400.0970δ0.750.800.850.900.951.00C(δ)0.09070.08500.07970.07500.07060.0665681.

Основные понятия теории вероятностейСопоставляя эту таблицу с таблицей из работы (Tysiak, 1983), мызамечаем, что при всех значениях δ ∈ (0, 1) константа C(δ) существенно меньше константы Cδ . При этом отношение Cδ /C(δ) изменяется от 4(при малых δ) до примерно 11 (при δ, близких к единице). Минимальное же значение отношения C1 (δ)/C(δ) превосходит 35.Заметим, что абсолютная константа при ляпуновской дроби в аналоге (1.6.7) для 0 < δ ≤ 1 не является непрерывной функцией аргумента δ, так как она имеет разрыв в точке δ = 1: из Следствия 1.6.3вытекает, что1lim C(δ) = √ ,δ→1−6 2πболее того, из асимптотического разложения Эссеена для нерешетча√тых распределений вытекает, что в случае δ = 1 число 1/(6 2π) является асимптотически правильной константой в неравенства Берри–Эссеена(см. √(1.6.8)).

В то же время, как мы уже отмечали, C(1) = C1 =√( 10 + 3)/(6 2π) (Esseen, 1956).Чтобы конкретизировать порядок малости величины o(L2+δn ), фигурирующей в Следствии 1.6.3, заметим, что из Следствия 1.6.2, очевидно, вытекает следующее утверждение.Следствие 1.6.4. В условиях (1.6.1) и (1.6.2) с δ ∈ (0, 1) для любого0 < ε < ε(δ) существует число c(δ, ε) ∈ (0, ∞) такое, что выполненонеравенство1+ρ(Fn , Φ) ≤ (C(δ) + ε) · L2+δ+ c(δ, ε) · (L2+δnn )1−δδ.В качестве c(δ, ε) можно взять(c(δ, ε) = inf(2 + ω)γ(ω)√2 2πd(δ, τ )¯)¯¯¯ (τ, ω) : τ + ωC(δ) + τ ω = ε .¯Несложно убедиться, что21−δ/2 Γ( 2+δ)12= < 0.31831.δ→0+ π(1 + δ)(2 + δ)πsup C(δ) = lim0<δ≤1Поэтому в Следствии 1.6.4 можно положить ε = 1/π − C(δ).

В этомслучае мы получаемСледствие 1.6.5. В условиях (1.6.1) и (1.6.2) с δ ∈ (0, 1) существует число c(δ) ∈ (0, ∞) такое, что выполнено неравенствоρ(Fn , Φ) ≤11+ 1−δδ .· L2+δ+ c(δ) · (L2+δnn )π1.6. Уточнения неравенства Берри–Эссеена69В качестве c(δ) можно взять(c(δ) = inf(2 + ω)γ(ω)√2 2πd(δ, ε)¯)¯1¯¯ (ε, ω) : (C(δ) + ε)(1 + ω) =.¯πОт присутствия добавки ε в абсолютной константе при первом слагаемом в правой части Следствия 1.6.4 можно избавиться совсем. Однако платой за это будет некоторое ухудшение скорости убывания второго слагаемого.

Чтобы в этом убедиться, заметим, что с помощьюэлементарных рассуждений можно получить оценкиγ(ω) ≤ 2π +4,πωd(δ, ε) ≥ M (δ) · ε2/δ ,(1.6.14)гдеM (δ) =2/δ8πz(δ)³´ ³´h³´i 21−δ/2 z(δ)Γ 2+δ + 6 + δ + 21−δ 21−δ/2 Γ 2+δ + πz(δ) 21+δ2,z(δ) = (1 + δ)(2 + δ).Подставляя оценки (1.6.14) в неравенство, приведенное в Следствии1.6.2, полагая ω = n−a и ε = n−b с a > 0 и b > 0 и выбирая a иb так, чтобы минимальная скорость убывания выражений, зависящихот a и b, с ростом n была наибольшей, мы окончательно приходимк следующему “разложению” оценки равномерного расстояния междудопредельной и предельной функциями распределения в центральнойпредельной теореме.Следствие 1.6.6.

В условиях (1.6.1) и (1.6.2) при δ ∈ (0, 1]ρ(Fn , Φ) ≤где´β 2+δ ³23C(δ)+Q(δ)τ+Q(δ)τ+Q(δ)τ,1n23nnnδ/2√2 2, Q1 (δ) = 1 + C(δ) + 3/2,τn = τn (δ) = nπ M (δ)√√2(1 + π 2 )πQ2 (δ) = 1 + 3/2, Q3 (δ) = √.π M (δ)2M (δ)δ(1−δ)− 4(1+δ)К примеру, если δ = 12 , то имеет место неравенство1β 2+ 2ρ(Fn , Φ) ≤ 1/4nµ¶9.9849.1008 21.83780.1294 + 1/24 + 1/12 +.nnn1/8701.

Основные понятия теории вероятностейЕсли же δ = 43 , то3ρ(Fn , Φ) ≤β 2+ 4n3/8µ¶0.0907 +3.2435 12.6510 5.2896++ 3/14 .n1/14n1/7nЗаметим, что с учетом неравенства C(δ) ≤ 1/π из Следствия 1.6.6можно получить оценкуβ 2+δρ(Fn , Φ) ≤ δ/2nµ¶1+ Q1 (δ)τn + Q2 (δ)τn2 + Q3 (δ)τn3 ,πиз которой вытекает, что при малых δ константу в оценке скоростисходимости в центральной предельной теореме “портят” добавки, соответствующие более высоким степеням n−1 , нежели δ/2.Так как β 2+δ ≥ 1, то из Следствия 1.6.6 вытекает следующее утверждение.Следствие 1.6.7. В условиях (1.6.1) и (1.6.2) при δ ∈ (0, 1]³ρ(Fn , Φ) ≤ C(δ) · L2+δ+ Q(δ) · L2+δnn´1+1−δ2(1+δ),где C(δ) определено соотношением (1.6.13),Q(δ) = Q1 (δ) + Q2 (δ) + Q3 (δ),а коэффициенты Qj (δ), j = 1, 2, 3, определены в Следствии 1.6.6.“Гладкий” случайВ этом разделе мы рассматриваем “гладкий” случай и предполагаем,что слагаемые имеют ограниченную плотность p(x):sup p(x) ≡ A < ∞.x(1.6.15)√Можно показать, что при условиях (1.6.1) всегда A ≥ 1/(2 3) ≥0.288675 (Прохоров, 1963).Теорема 1.6.3.

При условиях (1.6.1), (1.6.2) с 0 < δ ≤ 1 и (1.6.15),для любого n ≥ 2 справедливо неравенствоρ(Fn , Φ) ≤(≤inf0<ε<ε(δ))β 2+δ(C(δ) + ε) δ/2 + Vn (β 2+δ , d(δ, ε)) + Wn (A, β 2+δ , d(δ, ε)) ,n1.6. Уточнения неравенства Берри–Эссеена71где C(δ) определено в (1.6.13),(Vn (β2+δ)(β 2+δ )2d2 n, d) =exp−,πd2 n(β 2+δ )2Ãd2β 2+δ A (2d)2+δ1 − 2 2 2+δ 2 1 − 2+δ 2+δ 1+δWn (A, β 2+δ , d) =d3π A (β )π (β )!3 n−2.Наряду с Леммой 1.6.1, в доказательстве Теоремы 1.6.3 используется аналог Леммы 1.6.2 для случая распределений с интегрируемымихарактеристическими функциями. Приведем соответствующее утверждение.Лемма 1.6.3. Если EX1 = 0 и выполнено условие (1.6.15), то длявсех n ≥ 2+∞21 Z ¯¯ fn (t) − e−t /2 ¯¯ρ(Fn , Φ) ≤¯¯ dt.2πt−∞Д о к а з а т е л ь с т в о.

В силу ограниченности p (x) по формулеПланшереля мы имеем+∞Z+∞Z2p2 (x)dx < 2πA < ∞,|f (t)| dt = 2π−∞−∞и так как |f√(t)| ≤ 1, то при всех n ≥ 2 характеристическая функцияfn (t) = (f (t/ n))n абсолютно интегрируема. Остается лишь сослатьсяна замечание к Лемме 12.2 в (Бхаттачария и Ранга Рао, 1982), с. 114,утверждающее, что аналогичное утверждение справедливо не толькодля вероятностных, но и для произвольных конечных мер, удовлетворяющих соответствующим условиям гладкости.Д о к а з а т е л ь с т в о Теоремы 1.6.3. На основании Леммы 1.6.3мы имеем+∞Z¯ f (t) − e−t2 /2 ¯¯ n¯¯¯ dt ≡ I1 + I2 + I3 ,2πρ(Fn , Φ) ≤t−∞гдеZI1 =|t|≤TnZ|t|−1 e−tI2 =|t|>Tn|fn (t) − e−t|t|2 /22 /2|dt,Zdt,I3 =|t|>Tn|fn (t)|dt,|t|721. Основные понятия теории вероятностейа Tn определено в формулировке Леммы 1.6.1:√√d nTn = 2+δ , d ∈ (0, 2).βИнтеграл I1 оценивается с помощью Леммы 1.6.1:+∞β 2+δ ZI1 ≤ a(δ, d) δ/2|t|1+δ exp{−b(δ, d)t2 }dt =n−∞=a(δ, d)[b(δ, d)]1+δ/2+∞)a(δ, d) β 2+δΓ( 2+δβ 2+δ Z δ/2 −y2· δ/2y e dy =· δ/2 .1+δ/2nn[b(δ,d)]0При этом область возможных значений параметра d сужается до интервала (0, d0 (δ)), определяющего область сходимости интеграла, гдеd0 (δ)√ – единственный нуль монотонно убывающей функции b(δ, d) на(0, 2).Интеграл I2 оценивается непосредственно:∞∞2 Z −t2 /22 Z −y2I2 ≤ 2 tedt = 2 e dy = 2 exp{−Tn2 } =TnTn 2TnTnTnn2(β 2+δ )2d2 n oexp−≡ 2πVn (β 2+δ , d).22+δ2dn(β )√ nПоскольку fn (t) = (f (t/ n)) ,=ZI3 =|t|>d/β 2+δ|f (t)|nβ 2+δdt ≤|t|dZ|f (t)|n dt.|t|>d/β 2+δОценим подынтегральную функцию, воспользовавшись Следствием2.5.1 из книги (Ushakov, 1999), согласно которому, если при некотором s > 0 существует E |X1 |s ≡ β s и sup p(x) = A < ∞, то для любогоxγ ∈ (0, 1)(1 − γ)3 2t,3π 2 A2если |t| ≤πγ 1/s≡ tγ ,2(β s )1/s(1 − γ)3 γ 2/s,12A2 (β s )2/sесли |t| >πγ 1/s.2(β s )1/s|f (t)| ≤ 1 −|f (t)| ≤ 1 −(1.6.16)1.6.

Уточнения неравенства Берри–Эссеена73В нашем случае s = 2+δ, ниже мы будем использовать это обозначение.Так как β ≥ 1 и d < 1, то в качестве γ можно взятьÃγ=2dsπ(β )(s−1)/s!sµ ¶s≤2π< 1.При таком выборе γ граница интегрирования d/β 2+δ = tγ , и с учетом(1.6.16) оценка для I3 примет видβ 2+δ ZdI3 =|f (t)|n dt ≤|t|>tγÃβ 2+δ Z≤d|f (t)|2|t|>tγ(1 − γ)3 γ 2/s1−12A2 (β 2+δ )2/(2+δ)Ã(1 − γ)3 γ 2/sβ 2+δ1−≤d12A2 (β 2+δ )2/(2+δ)!n−2dt ≤!n−2 +∞Z|f (t)|2 dt.−∞По формуле Планшереля имеемÃ2πβ 2+δ(1 − γ)3 γ 2/sI3 ≤1−d12A2 (β 2+δ )2/(2+δ)!n−2+∞ZÃp2 (x)dx ≤−∞2πAβ 2+δ(1 − γ)3 γ 2/s≤1−d12A2 (β 2+δ )2/(2+δ)!n−2.Подставляя s = 2 + δ иγ=³ 2d ´2+δπ· (β 2+δ )−(1+δ)/(2+δ) ,получаем оценку·³´3β 2+δ Ad2(2d)2+δI3 ≤ 2π1 − 2 2 2+δ 2 1 − 2+δ 2+δ 1+δd3π A (β )π (β )¸n−2≡≡ 2πWn (A, β 2+δ , d).Собирая оценки для интегралов I1 , I2 , I3 , получаемρ(Fn , Φ) ≤(≤inf0<d≤d(δ))Γ( 2+δ)a(δ, d) β 2+δ2·+ Vn (β 2+δ , d) + Wn (A, β 2+δ , d) .2π]b(δ, d)]1+δ/2 nδ/2741.