korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_riska.pdf), страница 11

В силу (1.6.6) мы заключаем, что эта константа601. Основные понятия теории вероятностейнеулучшаема. К сожалению, из-за отсутствия явных оценок величиныRn неравенством (1.6.7) также нельзя пользоваться для практическихвычислений.На фоне все возрастающего интереса к изучению случайных величин, распределения которых имеют так называемые тяжелые хвосты(что отчасти обусловлено необходимостью решать задачи, связанные сбольшими рисками), особую важность приобретает вопрос о возможности использования нормальной аппроксимации для распределенийсумм слагаемых, распределения которых имеют (в некотором смысле)тяжелые хвосты, и о ее точности.К классу распределений с тяжелыми хвостами, конечно же, можноотнести те, для которых не существует моментов третьего порядка, носуществуют моменты лишь порядка 2 + δ с 0 < δ < 1.Для случая 0 < δ < 1 в работе (Tysiak, 1983) (также см.

(Paditz,1996)) получена следующая таблица значений оценок константы Cδδ = Cδ ≤0.1 1.1020.2 1.0760.3 1.008δ=0.40.50.6Cδ ≤0.9500.9020.863δ = Cδ ≤0.7 0.8330.8 0.8120.9 0.802Л. Падитц (Paditz, 1986) показал, что при δ = 0 имеет место неравенствоÃ()!1|X1 |2ρ(Fn , Φ) ≤ 3.51 · 2 E X1 min 1, √,σσ nоткуда вытекает, что имеет место равномерная по δ ∈ [0, 1) оценкаCδ ≤ 3.51, так как при любом δ ∈ (0, 1] выражение в правой частипоследнего неравенства не превосходит 3.51L2+δn .Случай 0 < δ < 1 чрезвычайно интересен.

С одной стороны, дляэтого случая в 1966 г. И. А. Ибрагимов доказал, что для того чтобыρ(Fn , Φ) = O(n−δ/2 ) (n → ∞),необходимо и достаточно, чтобыE[X12 1(|X1 | ≥ z)] = O(z −δ ) (z → ∞)(Ибрагимов, 1966) (см. также Ибрагимов и Линник, 1965)), откуда вытекает, что, если β 2+δ = E|X1 |2+δ < ∞, то ρ(Fn , Φ) = O(n−δ/2 ) (этоследует из того, что в таком случаеE[X12 1(|X1 ≥ z)] = E[|X1 |2+δ |X1 |−δ 1(|X1 ≥ z)] ≤ z −δ E|X1 |2+δ1.6. Уточнения неравенства Берри–Эссеена61для любого z > 0).Однако условие Ибрагимова слабее, чем требование существованияβ 2+δ . В частности, если случайная величина X1 имеет плотностьp(x) =2+δ1·,2(|x| + 1)3+δx ∈ IR,то, очевидно, E|X1 |2+δ не существует, но для любого z > 0E[X12 1(|X1 |2+δ Z≥ z)] =2|x|≥z≤2+δ Z2|x|≥zx2 dx≤(|x| + 1)3+δdx2 + δ −δ=·z .1+δ|x|2δС другой стороны, как показал К.

Хейди, при 0 < δ < 1 условиеE|X1 |2+δ < ∞ равносильно тому, что∞Xn−1+δ/2 ρ(Fn , Φ) < ∞n=1(Heyde, 1967). Поэтому если бы было справедливо соотношениеρ(Fn , Φ) ∼ n−δ/2 (n → ∞), то указанный ряд должен был бы расходиться. Таким образом, неравенство (1.6.3) в некотором смысле дает слишком грубую оценку точности нормальной аппроксимации дляраспределений сумм независимых случайных величин (порядок n−δ/2является “не совсем правильным” в том смысле, что он может бытьхарактерен лишь для некоторой разреженной подпоследовательностизначений индекса n в то время как для остальных значений n скоростьсходимости выше).Случай же δ = 1 является как бы критическим, потому что, какпоказывают соответствующие примеры, без дополнительных предположений порядок ρ(Fn , Φ) = O(n−1/2 ) нельзя улучшить, сколь великбы ни был порядок γ ≥ 3 момента слагаемого.В данном разделе мы уточним оценку (1.6.3) для случая 0 < δ < 1за счет модификации ее структуры, уменьшив константу при ляпуновской дроби, являющейся, как вытекает из сказанного выше, “не совсемправильным” слагаемым.

Наряду с общей ситуацией, мы также рассмотрим упомянутую задачу при дополнительном условии гладкостираспределения слагаемых для 0 < δ ≤ 1. Материал данного раздела основан на работах (Королев и Шевцова, 2005a) и (Королев и Шевцова,2005b). Мы убедимся, что и классическое неравенство Берри–Эссеена(1.6.5), и неравенство (1.6.3) могут быть заметно уточнены.621. Основные понятия теории вероятностейСлучай произвольных распределений слагаемых с 0 < δ ≤ 1В книге (Феллер, 1984б), с.

611, отмечено, что в последнее время большое внимание уделялось обобщениям теоремы Берри–Эссеена на величины, не имеющие момента третьего порядка. В этом случае границав неравенстве выражается через момент дробного порядка или какуюнибудь родственную величину... Обычные вычисления в этом случаедостаточно запутаны, а попытки разработать универсальные методы, применимые ко многим случаям, не предпринимались... Необходимость в моментах третьего порядка появляется в доказательстветеоремы [Берри–Эссеена] только из-за неравенства¯¯¯(tx)2 ¯¯ |tx|3¯ itx¯e − 1 − itx +¯≤.¯2 ¯6(1.6.9)В большинстве работ, посвященных изучению ситуации, когда существуют лишь моменты порядка 2 + δ, неравенство (1.6.9) используетсяв некотором конечном интервале изменения аргумента x, а для остальных значений аргумента используется граница порядка (tx)2 (см., например, (Осипов, 1966), (Петров, 1972), (Бхаттачария и Ранга Рао,1982)).

При доказательстве приводимых ниже результатов (см. Лемму 1.6.1 ниже) вместо упомянутого метода усечения, основанного наиспользовании неравенства (1.6.9), используется иной подход, базирующийся на оценке¯!¯Ã¯(itx)n ¯¯ 21−δ Γ(1 + δ)|tx|n+δ¯ itx¯e − 1 + itx + . . . +,¯≤¯¯n!Γ(n + 1 + δ)x, t ∈ IR,(1.6.10)справедливой для любого целого n ≥ 0 и для любого δ ∈ (0, 1]. Этопозволяет использовать традиционную универсальную схему рассуждений, основанную на применении классического неравенства сглаживания и его модификаций, ориентированных на оптимизацию абсолютных констант.

Доказательство неравенства (1.6.10) (в неявной форме)можно найти, например, в (Лоэв, 1962), с. 212-213.Здесь и далее символ Γ( · ), как обычно, обозначает эйлерову гаммафункцию,Z∞z y−1 e−z dz,Γ(y) =y > 0.0Всюду далее для упрощения записей, не ограничивая общность, мыполагаем σ 2 = 1.1.6. Уточнения неравенства Берри–Эссеена63Вспомогательные результаты√Пусть d – некоторое число, лежащее в интервале (0, 2). Введем функцииà !r−2∞1 d221−δd2−δ X+a(δ, d) =4 r=2 r 2(1 + δ)(2 + δ)Ã=−1"d2+δÃd2d2+ ln 1 −22!#!21−δ+,(1 + δ)(2 + δ)1− dδ/2 a(δ, d).2Несложно убедиться, что при каждом δ ∈ (0, 1]b(δ, d) =21−δlim a(δ, d) =,d→0+(1 + δ)(2 + δ)1lim b(δ, d) = .2d→0+Более того,√можно убедиться, что функция√ b(δ, d) монотонно убываетпри d ∈ (0, 2), причем на интервале (0, 2) лежит единственный нульэтой функции, который мы обозначим d0 (δ).Лемма 1.6.1.

Пусть выполненыусловия (1.6.1)и (1.6.2) при 0 <³´2+δ −2(1−δ)/δδ ≤ 1. Тогда для любого d ∈ 0, (β )и любого n ≥ 1 при√2+δсправедлива оценка|t| ≤ Tn ≡ d n/β|fn (t) − e−t2 /2| ≤ a(δ, d)noβ 2+δ 2+δ2|t|exp−b(δ,d)t.nδ/2Д о к а з а т е л ь с т в о. Из неравенства Ляпунова следует, чтоβ ≥ 1, поэтому√d ≤ (β 2+δ )−2(1−δ)/δ ≤ 1 < 2.Для t из указанного промежутка имеем¯ ³ t ´¯t2¯¯¯f √− 1¯ ≤≤n2nd2d2≤.2(β 2+δ )22(1.6.11)Отсюда следует, что¯ ³ t ´¯d2¯¯¯f √ ¯ ≥ 1 −>0n2√√для всех d ∈ (0, (β 2+δ )−2(1−δ)/δ(0, 2). Значит, логарифм ln f (t/ n)√ )⊂определен при всех |t| ≤ d n/β 2+δ . Обозначим через h(t) функциюh(t) =³ t ´t2t2+ ln fn (t) = + n ln f √ .22n641. Основные понятия теории вероятностейТогда2 /2|fn (t) − e−t2 /2| = e−t¯¯2¯ h(t)¯¯e− 1¯ ≤ e−t /2 |h(t)| e|h(t)| .(1.6.12)Стало быть, для доказательства леммы нам достаточно найти две оценки для |h(t)|, одна из которых будет величиной порядка O(|t|2+δ n−δ/2 ),а вторая – величиной порядка O(t2 ).

Имеем¯ h³³ t ´´it2 ¯¯¯|h(t)| = n¯ ln 1 − 1 − f √¯=+n2n¯ X¯∞³ t ´³ t ´´r¯1³t2 ¯¯¯= n¯ −1−f √+f √ −1+ ¯r=2rnn2nИз неравенства (1.6.10) следует, что¯¯¯ ³ t ´t2 ¯¯21−δ β 2+δ |t|2+δ¯√−1+ ¯≤,¯f¯n2n ¯ (1 + δ)(2 + δ)n1+δ/2поэтому с учетом соотношений (1.6.11) мы получаемà !r−2· à 2 !2 X∞t1 d2|h(t)| ≤ n2n∞1X1=4 r=2 rr=2Ãd22r2!r−2∞1d2−δ X≤4 r=2 r¸21−δ β 2+δ |t|2+δ+=(1 + δ)(2 + δ)n1+δ/2t421−δ β 2+δ |t|2+δ+≤n (1 + δ)(2 + δ)nδ/2Ãd22!r−2β 2+δ |t|2+δ+nδ/221−δ β 2+δ |t|2+δβ 2+δ |t|2+δ+≡ a(δ, d).(1 + δ)(2 + δ)nδ/2nδ/2Это первая интересующая нас оценка. Вторая получается из первой сиспользованием неравенства|t|δ ≤ dδ nδ/2 /(β 2+δ )δ ≤ dδ/2 nδ/2 /β 2+δ ,верного для всех рассматриваемых значений t и параметра d:|h(t)| ≤ dδ/2 a(δ, d)|t|2 ≡t2− b(δ, d)t2 .2Подставляя последние две оценки в (1.6.12), получаем утверждениелеммы.1.6.

Уточнения неравенства Берри–Эссеена65Пусть v > 0 и γ > 0 – произвольные числа. Рассмотрим плотностьраспределения вероятностейγpv,γ (x) =2πvÃsin γx2v!2γx2v,x ∈ IR.Несложно убедиться, что плотности pv,γ (x) соответствует характеристическая функция(gv,γ (t) =1 − γv |t|, если |t| ≤ γ/v,0,если |t| > γ/v.ОбозначимZvα = α(γ) =pv,γ (x)dx−vµ2=πγ/2ÃZ0sin yy!2¶2dy =(γSi(γ) + cos γ − 1) .πγПусть γ0 – решение уравнения1α(γ) = .2Численные расчеты показывают, что γ0 ≈ 1.69958. Для всех γ > γ0имеем α(γ) > 1/2.Лемма 1.6.2. Для любых γ > γ0 и v > 0 справедливо неравенство¯γ/v ¯Z−t2 /2 ¯¯1vα(γ) ¯ fn (t) − e 1¯ρ(Fn , Φ) ≤¯¯ |gv,γ (t)|dt + √.¯¯2α(γ) − 1 2πt2π−γ/vД о к а з а т е л ь с т в о леммы дословно повторяет доказательствоЛеммы 12.2 из (Бхаттачария и Ранга Рао, 1982).Аналоги неравенства Берри–Эссеена с уточненной структурой.

Оценки асимптотически правильных константОбозначим d(δ) = min{d0 (δ), (β 2+δ )−2(1−δ)/δ }. Можно убедиться, чтопри каждом δ ∈ (0, 1] существует ε0 > 0 такое, что 0 < d(δ, ε) < d(δ)для любого ε ∈ (0, ε0 ). Точную верхнюю грань таких ε0 обозначим ε(δ).Теорема 1.6.2. При условиях (1.6.1) и (1.6.2) для некоторого 0 <δ ≤ 1, для любого n ≥ 1 справедливо неравенствоρ(Fn , Φ) ≤ Cn (δ) · L2+δn ,661. Основные понятия теории вероятностейгде(1Cn (δ) = √ ·2πinfγ0 <γ<∞0<d<d(δ)"Γ( 2+δ)a(δ, d)1γα(γ)2+√2α(γ) − 12π [b(δ, d)]1+δ/2 dn(1−δ)/2#).Д о к а з а т е л ь с т в√о. Положим в Лемме 1.6.2 параметр vравным v = γ/Tn (= γβ 2+δ /(d n)). Тогда модуль разности характеристических функций под знаком интеграла в этой лемме можно оценитьпри помощи Леммы 1.6.1.

Имеемρ(Fn , Φ) ≤Ã!2+δ ZTnno1|t| a(δ, d)β1+δ2≤|t| exp −b(δ, d)t1−dt+2α(γ) − 12πnδ/2Tn−Tn#∞noγα(γ)a(δ, d)β 2+δ Z11+δ2 √+√|t|exp−b(δ,d)tdt+≤√2πTn2π(2α(γ) − 1)2πnδ/2 −∞#"#Γ( 2+δ)a(δ, d)β 2+δγα(γ)γα(γ)2=√++ (1−δ)/2 .√1+δ/2δ/2Tndn2π(2α(γ) − 1)n2π [b(δ, d)]Лемма доказана.Поскольку Cn (δ) – невозрастающая функция аргумента n при каждом δ ∈ (0, 1], справедливоСледствие 1.6.1. В условиях Теоремы 1.6.1 неравенство (1.6.3)имеет место с Cδ ≤ C1 (δ), где1C1 (δ) = √ ·2π(infγ0 <γ<∞0<d<d(δ)"Γ( 2+δ)a(δ, d)1γα(γ)2+√1+δ/22α(γ) − 1d2π [b(δ, d)]#).Значения константы C1 (δ) в целом довольно невелики. Однако, онивсе же заметно хуже значений, полученных в работах (Tysiak, 1983) и(Paditz, 1986). Возможно, оценки абсолютной константы C1 (δ) могутбыть уточнены за счет использования более тонкого неравенства сглаживания, нежели то, которое составляет утверждение Леммы 1.6.2. Темне менее, Теорема 1.6.2 позволяет получить вполне приемлемые оценки константы при ляпуновской дроби в аналоге (1.6.7) для 0 < δ ≤ 1,где супремум берется по всем распределениям F , удовлетворяющимусловиям (1.6.1) и (1.6.2).1.6.