korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_riska.pdf), страница 5

Конечная вещественная измеримая функция называется случайной величиной. Простейшим примером нетривиальной случайной величины является индикатор 1B (ω)1.2. Случайные величины21множества B ∈ U,(1B (ω) =1,0,если ω ∈ B,если ω ∈/ B.Рассмотрим события B1 , B2 , . . . такие, что Bi ∩ Bj = Ø при i 6= j иi Bi = Ω. Пусть {x1 , x2 , . . .} – вещественные числа.

Случайная величинаXX(ω) =xj 1Bj (ω)Sjназывается дискретной. Заметим, что свойства событий Bj гарантируют, что для каждого ω в последней сумме один и только один индикаторотличен от нуля. При этом Bi = {ω : X(ω) = xi }.Обозначимpi = P(Bi ) (= P({ω : X(ω) = xi }).Набор {(xi , pi )}i≥1 называется распределением вероятностей или просто распределением дискретной случайной величины X. В дальнейшемдля краткости вместо P({ω : X ∈ A}) мы будем писать P(X ∈ A). Распределение дискретной случайной величины X полностью определяетвероятности попадания случайной величины X в любое борелевскоемножество: если A ∈ B, тоP(X ∈ A) =Xpi .i:xi ∈Aзаметим, что требование измеримости случайной величины как функции элементарного исхода гарантирует возможность рассмотрениямножеств вида {ω : X(ω) ∈ A} в качестве событий, какими бы нибыли борелевские множества A, и, следовательно, определены вероятности попадания случайной величины в любые борелевские множества.Таким образом, мы можем рассмотреть вероятностную меру PX , определенную на σ-алгебре B с помощью соотношенияPX (A) = P({ω : X(ω) ∈ A}),A ∈ B.Эта вероятностная мера называется распределением случайной величины X.

Итак, любая случайная величина X порождает новое вероятностное пространство (IR, B, PX ).Пусть X – случайная величина. Рассмотрим вероятность P(X ∈ A)в том случае, когда множество A является бесконечным интерваломвида (−∞, x), x ∈ IR. В таком случае положимFX (x) ≡ F (x) = P(X < x).221. Основные понятия теории вероятностейФункция F (x) определена для каждого вещественного x и называетсяфункцией распределения случайной величины X. Если X – дискретнаяслучайная величина, для которой P(X = xi ) = pi , тоFX (x) =Xpi .(1.2.1)i:xi <xФункция распределения вида (1.2.1) называется дискретной.Функция распределения F (x) любой случайной величины обладаетследующими свойствами:• F (x) не убывает и непрерывна слева;• lim F (x) = 0,x→−∞• lim F (x) = 1.x→+∞Обратное утверждение также верно: для любой функции F (x), удовлетворяющей этим трем условиям, существуют вероятностное пространство и заданная на нем случайная величина такая, что F (x) являетсяее функцией распределения.Каждой случайной величине соответствует одна и только однафункция распределения.

Обратное неверно. Например, на вероятностном пространстве (Ω, U, P), в котором Ω = [0, 1], U – совокупность всехборелевских подмножеств интервала [0, 1], а P – мера, каждому интервалу приписывающая его длину, случайные величины X(ω) ≡ ω иX(ω) ≡ 1 − ω имеют одну и ту же функцию распределения0при x < 0,F (x) =  x при 0 ≤ x ≤ 1,1 при x > 1.Число x называется точкой роста функции распределения F (x),если F (x + δ) − F (x − δ) > 0 для любого δ > 0.Среди всех мер, заданных на (IR, B), особую роль играет мера Лебега, которая каждому интервалу (a, b) приписывает его длину (очевидно, равную b − a), так что любое одноточечное множество имеетнулевую меру Лебега, что вполне естественно для непрерывных моделей.

Кстати, практически ни в одном учебнике по теории вероятностейне обсуждается один важный вопрос, а именно, вопрос о том, почемудля того, чтобы определить вероятностную модель (вероятностное пространство), непременно нужно рассматривать специальную σ-алгебру1.2. Случайные величины23событий. Казалось бы, было бы намного проще, если бы в качестве совокупности событий всегда рассматривалось множество всех подмножеств множества Ω (или IR, если вероятностная мера задается на подмножествах вещественной прямой). Однако, вообще говоря, такой подход оказывается невозможным.

Еще в 1930 выдающийся польский математик С. М. Улам доказал теорему, устанавливающую, что конечнаямера, заданная на множестве всех подмножеств некоторого множествамощности континуума и приписывающая нулевую меру каждому множеству, содержащему ровно один элемент (одну точку), обязана приписывать нулевую меру любым другим множествам, то есть являетсятривиальной (краткое доказательство теоремы Улама приведено, например, в книге (Окстоби, 1971), глава 5).Пусть µ – мера, заданная на измеримом пространстве (IR, B).

Распределение PX называется абсолютно непрерывным относительно µ,если существует неотрицательная функция p(x) такая, чтоZPX (A) =p(y)µ(dy)(1.2.2)Aдля любого A ∈ B (здесь интеграл понимается в смысле Лебега).При этом функция p(x) называется плотностью распределения илиплотностью вероятностей или просто плотностью случайной величины X.

Дискретное распределение {(xi , pi )}i≥1 не является абсолютно непрерывным относительно меры Лебега, но является абсолютнонепрерывным относительно считающей меры, которая каждому множеству A ∈ B приписывает число, равное количеству тех точек {xi },которые попадают в A. Более того, в последнем случае½p(x) = P(X = x) =p i , x = xi ,0, x =6 xi для любого i.Распределение, абсолютно непрерывное относительно меры Лебега, мыбудем ниже называть просто абсолютно непрерывным.

Можно показать, что распределение случайной величины X абсолютно непрерывно, если P(X ∈ A) = 0 для любого множества A ∈ B нулевой меры Лебега. Для абсолютно непрерывного распределения p(x) = F 0 (x).Случайная величина, распределение которой абсолютно непрерывно, исоответствующая функция распределения также называются абсолютно непрерывными.Дискретные и абсолютно непрерывные распределения не исчерпывают все возможные виды распределений. Существуют также функциираспределения, множество точек роста которых имеет лебегову мерунуль.

Такие функции распределения и соответствующие им случайные241. Основные понятия теории вероятностейвеличины и распределения вероятностей называются сингулярными.Сингулярные распределения представляют собой довольно экзотические объекты и практически не используются в прикладной теориивероятностей, теории риска или актуарной математике.Приведем несколько общих свойств функций распределения, доказательство которых можно найти в стандартных курсах теории вероятностей или теории функций вещественной переменной.Теорема 1.2.1.

Для любого δ > 0 функция распределения F (x)имеет не более чем счетное число точек скачков, в которых скачокпревышает δ, и, следовательно, не более чем счетное число точекразрыва. Производная F 0 (x) функции распределения F (x) существуетпочти во всех точках x.Теорема 1.2.2. Любая функция распределения F (x) может бытьоднозначно представлена в виде взвешенной суммы двух компонент:F (x) = a1 Fb1 (x) + a2 F2 (x),где a1 , a2 – неотрицательные числа, сумма которых равна единице,Fb1 (x) – непрерывная функция распределения, F2 (x) – дискретная функция распределения, в точке x равная сумме всех скачков функции F (x)в точках разрыва, не превосходящих x.Теорема 1.2.3.

Любая функция распределения F (x) может бытьоднозначно представлена в виде взвешенной суммы трех компонент:F (x) = a1 F1 (x) + a2 F2 (x) + a3 F3 (x),где a1 , a2 , a3 – неотрицательные числа, сумма которых равна единице, F1 (x) – абсолютно непрерывная функция распределения, F2 (x)– дискретная функция распределения, в точке x равная сумме всехскачков функции F (x) в точках разрыва, не превосходящих x, F3 (x) –сингулярная функция распределения.Если X – дискретная случайная величина и P(X = x) > 0, то x называется возможным значением случайной величины X. Случайнаявеличина X имеет решетчатое распределение, если все ее возможныезначения имеют вид {b + nh, n = 0, ±1, ±2, .

. .}, где b и h > 0 – фиксированные числа. Для решетчатого распределения максимальное изчисел h называется шагом распределения.Случайные величины X1 , X2 , . . . , Xn называются независимыми всовокупности, если для любых борелевских множеств B1 , B2 , . . . , Bnсобытия {ω : X1 (ω) ∈ B1 }, {ω : X2 (ω) ∈ B2 }, . . .

, {ω : Xn (ω) ∈ Bn }независимы в совокупности. Говорят, что случайные величины {Xj }j≥1образуют последовательность независимых случайных величин, если1.2. Случайные величины25для любого n ≥ 1 cлучайные величины X1 , X2 , . . . , Xn независимы всовокупности.Если X1 = X1 (ω), . . . , Xn = Xn (ω) – случайные величины, определённые на одном и том же вероятностном пространстве (Ω, U, P), то вектор X = (X1 , . .

. , Xn ) называется случайным вектором, или n-мернойслучайной величиной. Областью значений случайного вектора X является n-мерное евклидово пространство IRn . Боpелевской σ-алгебpой Bnподмножеств IRn называется минимальная σ-алгебpа, содеpжащая всеn-меpные паpаллелепипеды. Элементы боpевской σ-алгебpы, как и pанее, будем называть боpелевскими множествами. Для каждого борелевского множества B пространства IRn определена вероятность P(X ∈ B).Набоp {P(X ∈ B) : B ∈ Bn } называется распределением случайноговектора X. В частности, для любых действительных чисел x1 , .

. . , xnопределена функцияF (x1 , . . . , xn ) = P(X1 < x1 , . . . , Xn < xn ),которая называется функцией распределения случайного вектора X.Случайные величины X1 , . . . , Xn независимы тогда и только тогда,когдаF (x1 , . . . , xn ) =nYFk (xk )k=1для любых действительных x1 , . . . , xn . ЗдесьF (x1 , . . . , xn ) = P(X1 < x1 , .