korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_ri ska (korolev_matematicheskie_osnovy_teorii_riska.pdf), страница 2

. . . . .8.2 Приближенная формула для веpоятности pазоpения пpималой нагpузке безопасности . . . . . . . . . . . . . . . .8.3 Асимптотические pазложения для веpоятности pазоpения пpи малой нагpузке безопасности . . . . . . . . . . .8.4 Эмпирические аппроксимации для вероятности разорения в классическом пpоцессе pиска . . . . . .

. . . . . .8.4.1 Эмпирическая аппроксимация Де Вилдера . . . .8.4.2 Эмпирическая аппроксимация Беекмана–Бауэрса8.5 Диффузионная аппроксимация для вероятности разорения в классическом пpоцессе pиска . . . . . . . . . . . .8.6 Асимптотическая аппроксимация вероятности разоренияпри большом начальном капитале. Теоpема Кpамеpа–Лундбеpга . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7 Неравенства для вероятности разорения в классическомпpоцессе pиска . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8.7.1 Неравенство Лундберга . . . . . . . . . . . . . . .8.7.2 Двусторонние оценки для вероятности разорения8.8 Вероятность разорения за конечное время . . . . . .

. .310313315324325343349353362366377. 377. 382. 385. 399. 399. 401. 402. 405....4084084114149 Обобщенные процессы риска4179.1 Определение обобщенных процессов риска . . . . . . . . . 4179.2 Асимптотическое поведение обобщенных пpоцессов pиска 4206Содержание9.39.49.5Обобщенные процессы риска при наличии больших выплат425Обобщенные процессы риска с пакетным поступлениемстраховых требований .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428Классические процессы риска со случайными премиями . 4309.5.1 Определение и простейшие свойства . . . . . . . . 4309.5.2 Вероятность разорения . . . . . . . . . . . . . . . . 4329.5.3 Описание модели спекулятивной деятельностипункта обмена валют . .

. . . . . . . . . . . . . . . 4339.5.4 Постановка задачи оптимизации спекулятивнойприбыли . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4369.5.5 Решение, основанное на нормальной аппроксимации4389.5.6 Примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 4419.5.7 Решение, основанное на экспоненциальных оценках вероятностей больших уклонений пуассоновских случайных сумм . . . . . . . . . . . . . . . . . 44410 Стоимостной подход к математическому описаниюфункционирования страховых компаний45110.1 Введение. Постановка задачи . . . . . . .

. . . . . . . . . . 45110.2 Основное уpавнение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45410.3 Оценки для оптимального начального капитала . . . . . . 45610.4 Нижняя оценка для оптимального начального капиталав условиях равномерно ограниченных страховых выплат 46311 Статистическое оценивание параметров страховой деятельности46711.1 Проблема статистического оценивания распределениястраховых выплат . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46711.1.1 Подгонка распределений . . . . . . . . . . . . . . . 46811.1.2 Непараметрическое оценивание . . . . . . . . . . . 46811.1.3 Параметрическое оценивание . . . . . . . . . . . . . 47111.1.4 Наиболее часто употребляемые дискретные распределения и оценки их параметров . . . . . .

. . . 47411.1.5 Наиболее часто употребляемые непрерывные распределения размера страховой выплаты и оценкиих параметров . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47611.1.6 Критерий согласия хи-квадрат. . . . . . . . . . . . 48211.1.7 Критерий согласия Колмогорова. . . . . . . . . . . 48511.1.8 Выбор наилучшей модели .

. . . . . . . . . . . . . 48611.2 Статистические оценивание веpоятности pазоpения вклассическом пpоцессе pиска . . . . . . . . . . . . . . . . . 487Содержание11.3 Непаpаметpическая оценка для веpоятности pазоpения вобобщенном пpоцессе pиска . . . . . . . . . . . . .

. . . . . 49212 Смешанные гауссовские вероятностные модели рисковых ситуаций50512.1 Принципы анализа рисковых ситуаций с помощью смешанных гауссовских вероятностных моделей . . . . . . . . 50512.2 Предельные теоремы для обобщенных процессов Кокса . 50912.2.1 Обобщенные процессы Кокса . . . . . . . . . .

. . . 50912.2.2 Теоремы переноса для обобщенных процессов Кокса51012.2.3 Асимптотические разложения для квантилейобобщенных процессов Кокса . . . . . . . . . . . . 51312.3 Некоторые свойства масштабных смесей нормальных законов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51512.3.1 Основные определения . . . . . . . . .

. . . . . . . 51512.3.2 Островершинность масштабных смесей нормальных законов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51612.3.3 Масштабные нормальные смеси как сверточныесимметризации вероятностных распределений . . . 51812.3.4 Масштабные нормальные смеси как рандомизационные симметризации вероятностных распределений . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52512.4 Предельные теоремы для асимптотически нормальныхстатистик, построенных по выборкам случайного объема 52912.4.1 Вспомогательные pезультаты . . . . . . . . . . . . . 53112.4.2 От асимптотической нормальности к распределениям с тяжелыми хвостами . . . .

. . . . . . . . . . 53312.5 Анализ случайных рисков с помощью центральных ипромежуточных порядковых статистик . . . . . . . . . . . 53812.5.1 Асимптотическое распределение выборочныхквантилей, построенных по выборке случайногообъема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . 53812.5.2 Предельные теоремы для промежуточных порядковых статистик, построенных по выборкам случайного объема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54112.6 О распределении Стьюдента как альтернативе нормальному и другим устойчивым законам в статистике . . . . . 54412.6.1 Распределение Стьюдента как масштабная смесьнормальных законов . .

. . . . . . . . . . . . . . . . 54412.6.2 Распределение Стьюдента как асимптотическаяаппроксимация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54578Содержание12.6.3 Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . 54712.6.4 Основные результаты и выводы . . .

. . . . . . . . 55012.6.5 Случай малого “числа степеней свободы” . . . . . . 554Список литературы557ВведениеОб этой книгеДанная книга посвящена математическим основам теории риска. Перед тем как говорить о математических моделях рисковых ситуаций иметодах их изучения, мы, конечно же, должны определить, что мы подразумеваем под словом “риск”. Можно было бы построить изложениетак, чтобы избегать более или менее строгих определений этого понятия, надеясь на интуитивное его восприятие читателем. Однако, кольскоро данная книга – математическая, придерживаться такой “страусиной” политики мы не можем. Несмотря на то, что разные уважаемые источники (от “Толкового словаря русского языка” В.

И. Даля доэнциклопедии “Вероятность и математическая статистика” под редакцией академика Ю. В. Прохорова) по-разному трактуют это понятие,мы сначала дадим только одно (правда, не очень строгое и потому невполне математическое) определение, которое, однако, затем снабдимболее четкой теоретико-вероятностной формализацией.“Усредняя” определения риска из всех просмотренных нами источников, включая упомянутые выше, мы приходим к следующему.Риском мы будем называть совокупность значения возможногоущерба в некоторой стохастической ситуации и его вероятности.Такое определение вполне согласуется с интуицией.

Единственно,что может вызвать опасения – так это явно негативный оттенок словаущерб, в то время как, например, у В. И. Даля совершенно обоснованно одними из синонимов риска объявляются слова удача, отвага сявно положительным оттенком. Эти опасения мы снимем, формальнодопуская, что ущерб может быть отрицательным (в таком случае онпревращается в приход, доход).Попробуем теперь дать более формальную вероятностную конкретизацию приведенного выше определения. Величина возможного ущерба в стохастической ситуации, очевидно, до осуществления этой си910Введениетуации неизвестна и потому случайна. Таким образом, теоретиковероятностным аналогом понятия ущерба, очевидно, является понятие случайной величины. Совокупность же значений случайной величины и их вероятностей в теории вероятностей задается распределением случайной величины.

Таким образом, под риском хотелось быпонимать случайную величину. Однако, если риски отождествляютсясо случайными величинами, заданными на разных вероятностных пространствах, задача сравнения таких рисков оказывается принципиально неразрешимой и даже бессмысленной, так как соответствующие имслучайные величины как функции элементарных исходов зависят отаргументов, имеющих разный смысл. Поэтому в подобных ситуацияхприходится отождествлять риски с функциями распределения.Итак, под математической теорией риска формально следует понимать совокупность моделей и методов теории вероятностей, применяемых к анализу случайных величин и их распределений. Такая интерпретация довольно широка и сводится к тому, что так интерпретируемая теория риска должна быть отождествлена с дисциплиной, за которой закреплено название “прикладная теория вероятностей” и котораявключает в себя, в частности, такую важную и богатую результатамиобласть как теория надежности.Написание обстоятельного учебника по прикладной теории вероятностей с учетом всех возможных областей приложения ее моделей и методов представляет собой титаническую и практически невыполнимуюзадачу.