[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) ([учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003).pdf), страница 15

Òàêèìîáðàçîì, ìû ñâåëè ïîçèöèîííóþ ôîðìó èãðû ê íîðìàëüíîé ôîðìå.Ïðèìåð 8.6. Èãðà "ïîêåð". Êîëîäà ñîñòîèò èç äâóõ êàðò: ñòàðøåé (ñ) èìëàäøåé (ì). Èãðîêàì ñäàåòñÿ ïî îäíîé êàðòå ðóáàøêîé ââåðõ. Ïåðâûéèãðîê áåðåò ñâîþ êàðòó è èìååò äâå àëüòåðíàòèâû: ëèáî ïàñîâàòü (ï),âûïëà÷èâàÿ âòîðîìó èãðîêó ñóììó a > 0, ëèáî óâåëè÷èâàòü ñòàâêó (ó)äî ñóììû b > a.

Åñëè ïåðâûé èãðîê óâåëè÷èâàåò, òî âòîðîé èãðîê, íåçíàÿ ðàñêëàäà êàðò, ìîæåò ëèáî ïàñîâàòü, âûïëà÷èâàÿ ïåðâîìó a, ëèáîóâåëè÷èâàòü ñòàâêó äî b. Åñëè îáà èãðîêà óâåëè÷èâàþò ñòàâêó, òî êàðòûîòêðûâàþòñÿ è èãðîê ñî ñòàðøåé êàðòîé ïîëó÷àåò ñóììó b îò ïàðòíåðà.Íà ðèñ. 8.2 èçîáðàæåíî äåðåâî èãðû.85ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛb@ñI1ïb@ ì@@ I2@bbï−ab−aób@ï@bbb@ó@@bba−bó@baóJ1ïÐèñ. 8.2Ïåðâûé èãðîê èìååò äâà èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâà, îòâå÷àþùèõäâóì ðàâíîâåðîÿòíûì ðàñêëàäàì êàðò. Ïîýòîìó ó ïåðâîãî èãðîêà ÷åòûðåñòðàòåãèè: (ï,ï),(ï,ó),(ó,ï),(ó,ó). Âòîðîé èãðîê íå çíàåò ðàñêëàäà êàðò.

Îíèìååò åäèíñòâåííîå èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî è äâå ñòðàòåãèè: ï è ó.Ìàòðèöà èãðû â íîðìàëüíîé ôîðìå èìååò âèäï(ï,ï)−a1(ï,ó) (−a)+ 12 a 12A=(ó,ï)  2 a + 12 (−a)1(ó,ó)a + 12 a2ó −a −a−a1 0 − a+b (−a) + 12 (−b) 2 2=11b−a  .  0b+(−a)2221b + 12 (−b)a02Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî òðåòüÿ ñòðîêà ìàòðèöû äîìèíèðóåò ïåðâóþ è âòîðóþ ñòðîêè. Âû÷åðêèâàÿ èõ è ðåøàÿ èãðó ñ 2×2-ìàòðèöåé, ïîëó÷èì ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõp0 =!2a b − a0, 0,,, q0 =b+a b+a!b − a 2aa(b − a),, v=.b+a b+ab+aÌîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ÷åì áîëüøå çíà÷åíèå b/a, òåì ñ áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ ïåðâûé èãðîê äîëæåí áëåôîâàòü (óâåëè÷èâàòü íà ìëàäøåéêàðòå), à âòîðîé − åìó íå âåðèòü (ïàñîâàòü).86Ÿ 8.

Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÊîììåíòàðèé è áèáëèîãðàôèÿ ê ãëàâå IŸ 2. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè àíòàãîíèñòè÷åñêèõ èãð áûëè ââåäåíûÝ.Áîðåëåì (ñì. àíãëèéñêèé ïåðåâîä [15] òðåõ åãî ðàáîò 1920-õ ãîäîâ).Òåðìèí "ôèçè÷åñêàÿ ñìåñü ñòðàòåãèé"èñïîëüçîâàëà Å.Ñ. Âåíòöåëü â [29].Ïðèìåð 3.2 âçÿò èç êíèãè Ã.Í. Äþáèíà è Â.Ã. Ñóçäàëÿ [46]. Åùå îäèíïðèìåð 9.7 èñïîëüçîâàíèÿ "ôèçè÷åñêîé ñìåñè ñòðàòåãèé"â áèìàòðè÷íîéèãðå ñì. âî âòîðîé ãëàâå. Îñíîâû òåîðèè ïîëåçíîñòè çàëîæåíû â ôóíäàìåíòàëüíîì òðóäå Äæ.

ôîí Íåéìàíà è Î. Ìîðãåíøòåðíà [72]. Î ìåòîäàõïîñòðîåíèÿ ôóíêöèé ïîëåçíîñòè ñì. [49].Èíòåðåñíî ïðîàíàëèçèðîâàòü ïîâåäåíèå ïåðâîãî èãðîêà, èñïîëüçóþùåãî îïòèìàëüíóþ ñìåøàííóþ(a/(1 + a), 1/(1 + a)) â èãðå ñ ñòðàòåãèþ1 0ìàòðèöåé ïîëåçíîñòåé A =ïðèìåðà 3.4, â çàâèñèìîñòè îò åãî0 aîòíîøåíèÿ ê ðèñêó. ×åì áîëåå îñòîðîæåí èãðîê (ñ ðîñòîì ïîëåçíîñòè a),òåì áëèæå åãî ñòðàòåãèÿ ê (1/2, 1/2).

Àçàðòíûé èãðîê âûáèðàåò ÷èñòóþâòîðóþ ñòðàòåãèþ ñ òåì áîëüøåé âåðîÿòíîñòüþ, ÷åì ìåíüøå çíà÷åíèå a.Ñõîäíîå ïîâåäåíèå ìû íàáëþäàëè ó ìèëèöèîíåðà â ïðèìåðå 4.4.Òåîðåìà 2.1 äîêàçàíà â êíèãå Äæ. ôîí Íåéìàíà è Î. Ìîðãåíøòåðíà [72]. Òåîðåìà 2.2 ïîëó÷åíà Ì. Øèôìàíîì [104] â õîäå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåìû 2.3. Ïðèìåð 2.5 áûë ñîîáùåí àâòîðó Ñ.À. Àøìàíîâûì. Àíàëîãè÷íûé ïðèìåð ñì. â [6] (ñ.237). Òåîðåìà 2.3 äîêàçàíà Ñ. Êàêóòàíè [47]ñ èñïîëüçîâàíèåì îáîáùåíèÿ òåîðåìû Ë.

Áðàóýðà î íåïîäâèæíîé òî÷êå.Îäíàêî îíà âûòåêàåò èç ïîëó÷åííîãî ÷åòûðüìÿ ãîäàìè ðàíüøå ñëåäóþùåãî ðåçóëüòàòà [74].Òåîðåìà (Äæ. ôîí Íåéìàí). Ïóñòü X ⊂ E m è Y ⊂ E n − âûïóêëûå êîìïàêòû åâêëèäîâûõ ïðîñòðàíñòâ, à êîìïàêòû U, V ⊂ X × Yóäîâëåòâîðÿþò ñëåäóþùåìó óñëîâèþ: äëÿ ëþáûõ x ∈ X è y ∈ Y ìíîæåñòâà Y (x) = {y ∈ Y | (x, y) ∈ V } è X(y) = {x ∈ X | (x, y) ∈ U } ÿâëÿþòñÿíåïóñòûìè âûïóêëûìè êîìïàêòàìè.

Òîãäà U ∩ V 6= ∅.Äåéñòâèòåëüíî, ïîëàãàÿ â óñëîâèÿõ òåîðåìû 2.3X(y) = Arg max F (x, y), U = {(x, y) ∈ X × Y | x ∈ X(y)},x∈XY (x) = Arg min F (x, y), V = {(x, y) ∈ X × Y | y ∈ Y (x)},y∈Yïîëó÷èì, ÷òî ñóùåñòâóåò ïàðà (x0 , y 0 ) ∈ U ∩ V − ñåäëîâàÿ òî÷êà ôóíêöèè F (x, y). Ïîýòîìó òåîðåìó 2.3 îáû÷íî ñâÿçûâàþò ñ èìåíåì Äæ. ôîíÍåéìàíà.87ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÄîêàçàòåëüñòâà Ñ. Êàêóòàíè è Ì. Øèôìàíà òåîðåìû 2.3 ìîæíî ïðî÷åñòü â êíèãå Ñ. Êàðëèíà [48].Ÿ 3.

Ñ òåîðèåé èíòåãðàëà Ñòèëòüåñà ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ ïî ó÷åáíèêóÀ.Í. Êîëìîãîðîâà è Ñ.Â. Ôîìèíà [50]. Îñíîâíàÿ òåîðåìà ìàòðè÷íûõ èãð(òåîðåìà 3.1) áûëà äîêàçàíà Äæ.ôîí Íåéìàíîì â 1928 ãîäó [73] ìåòîäîììàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ðàçìåðàì ìàòðèöû èãðû. Ðàíåå Ý. Áîðåëü[15] ïðîäåìîíñòðèðîâàë åå ñïðàâåäëèâîñòü äëÿ êîñîñèììåòðè÷åñêîé 3×3ìàòðèöû. Ïðèâåäåííîå äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 3.1 ïðèíàäëåæèò Ñ. Êàêóòàíè [47]. Òåîðåìà 3.2 îáúåäèíÿåò äâå òåîðåìû Ý. Õåëëè ([50]). Îñíîâíàÿ òåîðåìà íåïðåðûâíûõ èãð (òåîðåìà 3.3) áûëà äîêàçàíà Æ.

Âèëëåì[30].Ÿ 4. Ñâîéñòâà ðåøåíèé â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ ìàòðè÷íûõ è íåïðåðûâíûõ èãð èçëàãàþòñÿ â áîëüøèíñòâå êíèã ïî òåîðèè èãð (ñì., íàïðèìåð, [45, 63]). Ïðèìåð 4.2 ïðèíàäëåæèò Ý. Áîðåëþ [16]. Îí òàêæå ðàññìàòðèâàë äèñêðåòíûé âàðèàíò èãðû ñ A = 7, êîòîðîìó äàë ñëåäóþùóþèíòåðïðåòàöèþ.

Èãðîêè íàáèðàþò ïî ñåìü êàðò. Êàæäàÿ êàðòà ìîæåòáûòü îäíîé èç òðåõ ìàñòåé (ñîäåðæàùèõ ïî 14 êàðò): òðåôû, áóáíû èëè÷åðâû. Ïåðâûé èãðîê ïîáåæäàåò, åñëè â êàæäîé èç êàêèõ-ëèáî äâóõ ìàñòåé îí èìååò áîëüøå êàðò, ÷åì ïðîòèâíèê. Î äðóãèõ ðåøåíèÿõ ýòîé èãðûñì. [78].Âûðàâíèâàþùèå ñòðàòåãèè âïåðâûå èñïîëüçîâàë Ý. Áîðåëü [15] äëÿäîêàçàòåëüñòâà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû ñêîñîñèììåòðè÷åñêîé 3×3-ìàòðèöåé.

Èãðû ñ äèàãîíàëüíûìè è öèêëè÷åñêèìè ìàòðèöàìè, à òàêæå íåêîòîðûå èõ îáîáùåíèÿ ñì. â [48].Ÿ 5. Ïîíÿòèÿ äîìèíèðîâàíèÿ ñòðîê è ñòîëáöîâ â ìàòðè÷íûõ èãðàõèñïîëüçîâàëèñü ìíîãèìè àâòîðàìè.  ôîðìå òåîðåì îíè, ïî-âèäèìîìó,âïåðâûå áûëè ñôîðìóëèðîâàíû Ì. Äðåøåðîì â 1951 ãîäó â îò÷åòå êîðïîðàöèè ÐÝÍÄ (ñì. åãî êíèãó [45]). Ãðàôè÷åñêèé ìåòîä ðåøåíèÿ èãð ñ2 × 2-ìàòðèöàìè èñïîëüçîâàë åùå Ý. Áîðåëü. Áîëåå îáùèé ìåòîä "äâîéíîãî îïèñàíèÿ"ñì. â ðàáîòå [70]. Ýêâèâàëåíòíîñòü ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîéèãðû çàäà÷å ëèíåéíîãî ïðîãðàììèðîâàíèÿ áûëà ïðîäåìîíñòðèðîâàíà Ã.Äàíöèãîì [43].

Òåîðåìà 5.2 î êðàéíèõ îïòèìàëüíûõ ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ äîêàçàíà Ë.Ñ. Øåïëè è Ð. Ñíîó [101].Èòåðàöèîííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ìàòðè÷íîé èãðû áûë ñôîðìóëèðîâàíÃ. Áðàóíîì â [17]. Ñõîäèìîñòü ïðîöåññà Áðàóíà äîêàçàíà Äæóëèåé Ðîáèíñîí [84]. Îíà èñïîëüçîâàëà áîëåå îáùèé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñ íåíóëåâûìè íà÷àëüíûìè âåêòîðàìè c(0) è d(0), íàçûâàåìûé â ëèòåðàòóðå88Ÿ 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðû1ïðîöåññîì Áðàóíà-Ðîáèíñîí. Îöåíêà ñêîðîñòè ñõîäèìîñòè O(k − m+n−2 )áûëà ïîëó÷åíà Ã.Í.

Øàïèðî â [100]. Ìîäèôèêàöèÿ óñëîâèÿ îñòàíîâêèïî ìåòîäó Áðàóíà áûëà ïðåäëîæåíà Þ.Á. Ãåðìåéåðîì â [36]. Î äðóãèõèãðîâûõ ïðîöåññàõ òèïà Áðàóíà-Ðîáèíñîí ñì. [8].Ÿ 6. Òåîðåìà 6.1 î ïåðåñå÷åíèè âûïóêëûõ êîìïàêòîâ åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà áûëà îòêðûòà Ý. Õåëëè â 1913 ãîäó è ñîîáùåíà È. Ðàäîíó,îïóáëèêîâàâøåìó åå äîêàçàòåëüñòâî â [83] êàê ñëåäñòâèå ñîáñòâåííûõ ðåçóëüòàòîâ.

Ãåîìåòðè÷åñêîå (è áîëåå íàãëÿäíîå) äîêàçàòåëüñòâî ìåòîäîììàòåìàòè÷åñêîé èíäóêöèè ïî ðàçìåðíîñòè ïðîñòðàíñòâà áûëî îïóáëèêîâàíî Ý. Õåëëè â [94]. Ìíîãî÷èñëåííûå îáîáùåíèÿ è ïðèëîæåíèÿ òåîðåìûÕåëëè ñì. â [42].Ñòðóêòóðà ðåøåíèé â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãð ñ âîãíóòûìè è âûïóêëûìè âûèãðûøàìè óñòàíîâëåíà Õ.Ô. Áîíåíáëàñòîì, Ñ. Êàðëèíîì èË.Ñ. Øåïëè â [12]. Ïðèâîäèìûå çäåñü êîíñòðóêòèâíûå äîêàçàòåëüñòâàòåîðåì 6.2 è 6.3 ïðèíàäëåæàò Ý.Ã. Äàâûäîâó [41], êîòîðûé îïèðàëñÿ íàðåçóëüòàò 1938 ãîäà Ë.Ã. Øíèðåëüìàíà [106], ïðèäàâ åìó ñîâðåìåííûéâèä 1 .Îñíîâû òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ ðåøåíèé áûëè çàëîæåíû À. Âàëüäîì[21] (ñì. òàêæå [11, 20]), ãäå, â ÷àñòíîñòè, ââåäåíà ôóíêöèÿ ðèñêà. Ñïðèëîæåíèÿìè òåîðèè ñòàòèñòè÷åñêèõ èãð ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â [40].Ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ïàðàìåòðà áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïîëó÷åíà Äæ.

Õîäæåñîì è Å. Ëåìàíîì [96], à àíàëîãè÷íàÿ îöåíêà ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ íîðìàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ ïðè èçâåñòíîé äèñïåðñèèïîëó÷åíà È. Âîëüôîâèöåì [33].Ÿ 7. Ìîäåëü "íàïàäåíèå-îáîðîíà"îïðåäåëåíà è èçó÷åíà Þ.Á. Ãåðìåéåðîì [36]. Îíà ÿâëÿåòñÿ ìîäèôèêàöèåé ìîäåëè Î. Ãðîññà, â êîòîðîé ôóíênPöèÿ âûèãðûøà íàïàäåíèÿ èìååò âèä F (x, y) =ki max[xi − yi , 0], à kii=1èíòåðïðåòèðóþòñÿ êàê êîýôôèöèåíòû âàæíîñòè ïóíêòîâ. Â.À. Ãîðåëèêïðåäëîæèë ñõîäíóþ èãðîâóþ ìîäåëü ïðîèçâîäñòâà áåíçèíà [39].Ïðèâîäèìûå çäåñü øóìíàÿ è áåñøóìíàÿ ìîäåëè äóýëåé èññëåäîâàíûÞ.Á. Ãåðìåéåðîì [36].

 êëàññè÷åñêèõ ìîäåëÿõ [48] F (x, y) ïîëó÷àåòñÿîñðåäíåíèåì ôóíêöèè, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèå 1, åñëè óáèò âòîðîé äóýëÿíò, à ïåðâûé îñòàëñÿ æèâ, çíà÷åíèå −1, åñëè óáèò ïåðâûé äóýëÿíò,à âòîðîé îñòàëñÿ æèâ è çíà÷åíèå 0 â îñòàëüíûõ ñëó÷àÿõ (îáà äóýëÿíòà1 Øíèðåëüìàíäîêàçàë òåîðåìó 6.2 â òåðìèíàõ âûïóêëûõ ìíîæåñòâ, íå èñïîëüçóÿïîíÿòèå âîãíóòîé ôóíêöèè.89ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛæèâû èëè îáà óáèòû). Ìåòîäû ðåøåíèÿ èãð ñ âûáîðîì ìîìåíòà âðåìåíè (äóýëüíîãî òèïà), îñíîâàííûå íà èñïîëüçîâàíèè èíòåãðàëüíûõ èäèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ñì. â [9, 48].Ÿ 8. Òåîðåìà ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ìíîãîøàãîâîé èãðû ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé ñ öåëüþ ïðèìåíåíèÿ ê øàõìàòíîé èãðå äîêàçàíà Ý.Öåðìåëîâ 1912 ãîäó [97].

Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ òåîðèè ïîçèöèîííûõ èãð îïðåäåëåíûÄæ. ôîí Íåéìàíîì è Î. Ìîðãåíøòåðíîì â [72]. Ïîëíàÿ ôîðìàëèçàöèÿýòèõ èãð ïðîâåäåíà Ã.Ó. Êóíîì [58]. Ïðèìåð 8.5 áûë ñîîáùåí àâòîðóÍ.Ì. Íîâèêîâîé. Ïðèìåð 8.6 ïðîñòåéøåé ìîäåëè ïîêåðà ïðèíàäëåæèòÝ. Áîðåëþ [16].90ÃËÀÂÀ II.

ÈÃÐÛ ÄÂÓÕ ËÈ֟ 9.Ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ â èãðàõ äâóõ ëèöÏîíÿòèå àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû ìîæíî çíà÷èòåëüíî ðàñøèðèòü. Âèãðå äâóõ ëèö èíòåðåñû èãðîêîâ íåîáÿçàòåëüíî áûâàþò ïðîòèâîïîëîæíûìè. Ðàññìàòðèâàþò è èãðû ìíîãèõ ëèö. Èì ïîñâÿùåíà òðåòüÿ ãëàâà.Îïðåäåëèì èãðó äâóõ ëèö. Ïóñòü ïåðâûé èãðîê èìååò â ñâîåì ðàñïîðÿæåíèè ñòðàòåãèè x èç ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé X, à âòîðîé èãðîê −ñòðàòåãèè y èç ìíîæåñòâà ñòðàòåãèé Y. Áóäåì ðàññìàòðèâàòü èãðó â íîðìàëüíîé ôîðìå.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êàæäûé èç èãðîêîâ âûáèðàåò ñòðàòåãèþ, íå çíàÿ âûáîðà ïàðòíåðà. Ïàðó ñòðàòåãèé (x, y) áóäåì íàçûâàòüñèòóàöèåé. Ó ïåðâîãî èãðîêà èìååòñÿ ôóíêöèÿ âûèãðûøà F (x, y), à óâòîðîãî − ôóíêöèÿ âûèãðûøà G(x, y), îïðåäåëåííûå íà ìíîæåñòâå âñåõñèòóàöèé X × Y. Êàæäûé èãðîê ñòðåìèòñÿ, ïî âîçìîæíîñòè, ìàêñèìèçèðîâàòü ñâîþ ôóíêöèþ âûèãðûøà. Òàêèì îáðàçîì, èãðà äâóõ ëèö âíîðìàëüíîé ôîðìå çàäàåòñÿ íàáîðîì Γ = X, Y, F (x, y), G(x, y) . àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå ïîíÿòèå ðåøåíèÿ ìû ñâÿçûâàëè ñ ñåäëîâîéòî÷êîé ôóíêöèè âûèãðûøà ïåðâîãî èãðîêà.  ïðîèçâîëüíîé èãðå äâóõëèö àíàëîãîì ñåäëîâîé òî÷êè ÿâëÿåòñÿ ïîíÿòèå ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ.Îïðåäåëåíèå.

Ñèòóàöèÿ (x0 , y 0 ) íàçûâàåòñÿ ñèòóàöèåé ðàâíîâåñèÿ (ðàâíîâåñèåì ïî Íýøó) èãðû Γ, åñëèmax F (x, y 0 ) = F (x0 , y 0 ), max G(x0 , y) = G(x0 , y 0 ).x∈Xy∈YÑòðàòåãèè x0 è y 0 , ñîñòàâëÿþùèå ñèòóàöèþ ðàâíîâåñèÿ, áóäåì íàçûâàòüðàâíîâåñíûìè. Åñëè îáà èãðîêà ïðèäåðæèâàþòñÿ ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ,òî îäíîìó èãðîêó îò íåå íåâûãîäíî îòêëîíÿòüñÿ.Óïðàæíåíèå 9.1. Åñëè F (x, y) ≡ −G(x, y), òî èãðà Γ − àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ. Äîêàæèòå, ÷òî â àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå ñèòóàöèè ðàâíîâåñèÿ −ýòî ñåäëîâûå òî÷êè ôóíêöèè F (x, y) íà X × Y.Îáñóäèì, êàê ìîæíî èñïîëüçîâàòü ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøó ñ òî÷êè çðåíèÿ ïðèíÿòèÿ ðåøåíèé.  òåîðèè èãð, êàê è âî ìíîãèõ äðóãèõòåîðèÿõ, ìîæíî âûäåëèòü äâà ïîäõîäà: íîðìàòèâíûé è ïîçèòèâíûé.Íîðìàòèâíûé ïîäõîä ñîñòîèò â òîì, ÷òî òåîðèÿ äàåò ðåêîìåíäàöèè, êàêñëåäóåò äåéñòâîâàòü â òîé èëè èíîé êîíôëèêòíîé ñèòóàöèè.

À ïðè ïîçèòèâíîì ïîäõîäå òåîðèÿ ïûòàåòñÿ îïèñàòü, êàê íà ñàìîì äåëå ïðîèñõîäèò91ÃËÀÂÀ II. ÈÃÐÛ ÄÂÓÕ ËÈÖâçàèìîäåéñòâèå ìåæäó èãðîêàìè. Èçíà÷àëüíî òåîðèÿ èãð ðàçâèâàëàñüêàê íîðìàòèâíàÿ. È ñåé÷àñ ìû îáñóäèì ïîíÿòèå ðàâíîâåñèÿ ïî Íýøóèìåííî ñ òàêîé òî÷êè çðåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå ïðàâèëî ïðèíÿòèÿ ðåøåíèÿìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: â êîíôëèêòíîé ñèòóàöèè,îïèñûâàåìîé èãðîé â íîðìàëüíîé ôîðìå, êàæäîìó ó÷àñòíèêó ñëåäóåòèñïîëüçîâàòü ñòðàòåãèþ, êîòîðàÿ âõîäèò â ðàâíîâåñèå ïî Íýøó. Ïîçèòèâíûé ïîäõîä îáñóæäàåòñÿ â êîíöå Ÿ 10.Ñèòóàöèÿ ðàâíîâåñèÿ â ïðîèçâîëüíîé èãðå äâóõ ëèö ìîæåò íå îáëàäàòü òåìè ñâîéñòâàìè, êîòîðûå õàðàêòåðíû äëÿ ñåäëîâîé òî÷êè àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðû. àíòàãîíèñòè÷åñêîé èãðå, èìåþùåé ðåøåíèå, êîìïîíåíòû ñåäëîâîéòî÷êè ÿâëÿþòñÿ ìàêñèìèííîé è ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèÿìè èãðîêîâ è,íàîáîðîò, ëþáàÿ ïàðà òàêèõ ñòðàòåãèé îáðàçóåò ñåäëîâóþ òî÷êó.