[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) ([учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003).pdf), страница 14

8.1Íà÷àëüíàÿ (êîðíåâàÿ) âåðøèíà äåðåâà1 ñîîòâåòñòâóåò ïåðâîìó õîäó ïåðâîãî èãðîêà (âûáîð àëüòåðíàòèâû α), â âåðøèíàõ âòîðîãî óðîâíÿ àëüòåðíàòèâó β âûáèðàåò âòîðîé èãðîê è ò.ä.  ôèíàëüíûõ âåðøèíàõ, îòâå÷àþùèõ ðàçëè÷íûì ïàðòèÿì èãðû, óêàçàíû âûèãðûøè ïåðâîãî èãðîêà F (α, β, i, j) = aij .  âåðøèíàõ ÷åòâåðòîãî óðîâíÿ óêàçàíûçíà÷åíèÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà F (α, β, i) = min F (α, β, i, j), â âåðøèíàõj∈Nβòðåòüåãî óðîâíÿ − F (α, β) = max F (α, β, i), â âåðøèíàõ âòîðîãî óðîâi∈Mαíÿ − F (α) = min F (α, β), à â íà÷àëüíîé âåðøèíå − çíà÷åíèå èãðûβ=1,2ṽ = max F (α) = 2.α=1,2Óêàæåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè èãðîêîâx̃0 = (α0 , ĩ0 (α, β)), ỹ 0 = (β̃ 0 (α), j̃ 0 (α, β, i)) :α0 = 2, ĩ0 (2, 1) = 3, ĩ0 (2, 2) = 3, β̃ 0 (1) = 2, β̃ 0 (2) = 1,j̃ 0 (1, 2, 1) = 3, , j̃ 0 (1, 2, 2) = 4, j̃ 0 (2, 1, 3) = j̃ 0 (2, 1, 4) = 2.Îòìåòèì, ÷òî ñíà÷àëà ìû ïîäñ÷èòàëè ôóíêöèþ Áåëëìàíà, à çàòåì ïîñòðîèëè â åñòåñòâåííîì ïîðÿäêå êîìïîíåíòû îïòèìàëüíûõ ñòðàòåãèé.

Âðåçóëüòàòå áûëà äîñòèãíóòà íåêîòîðàÿ ýêîíîìèÿ âû÷èñëåíèé, ïîñêîëüêóýòè êîìïîíåíòû íåîáÿçàòåëüíî ñëåäóåò îïðåäåëÿòü ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ1 Äåðåâîèçîáðàæåíî â ïåðåâåðíóòîì âèäå, ïîñêîëüêó òàê åãî óäîáíåå ðèñîâàòü.80Ÿ 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûàðãóìåíòîâ. Íàïðèìåð, α0 = 2 è çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ĩ0 (α, β) íóæíî íàõîäèòü òîëüêî ïðè α = 2.Åùå áîëåå ñóùåñòâåííîå ñîêðàùåíèå âû÷èñëåíèé äîñòèãàåòñÿ ñ èñïîëüçîâàíèåì ïðèåìîâ òåîðèè èñêóññòâåííîãî èíòåëëåêòà.Ðàññìîòðèì âîïðîñ î ïðîãðàììèðîâàíèè øàõìàò.  òåêóùåé ïîçèöèèøàõìàòíîé ïàðòèè ïðè õîäå, ñêàæåì, áåëûõ äåðåâî èãðû ïîðîæäàåòñÿíà ãëóáèíó íåñêîëüêèõ õîäîâ.

 ôèíàëüíûõ âåðøèíàõ äåðåâà âûèãðûøáåëûõ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ îöåíî÷íîé ôóíêöèè, ó÷èòûâàþùåé ìàòåðèàëüíûå è ïîçèöèîííûå îñîáåííîñòè ôèíàëüíîé ïîçèöèè. Ïîñëå ýòîãî ðåøàåòñÿ ïîëó÷èâøàÿñÿ èãðà ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé è íàõîäèòñÿ îïòèìàëüíûé õîä áåëûõ â òåêóùåé ïîçèöèè.Îáû÷íî äåðåâî èãðû ïîðîæäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ðåêóðñèâíîé ïðîöåäóðû ïîñòðîåíèÿ ïîääåðåâüåâ. Ïðè ýòîì â âåðøèíàõ äåðåâà âû÷èñëÿþòñÿçíà÷åíèÿ ôóíêöèè Áåëëìàíà.

Ðàññìîòðèì âîçìîæíûé õîä áåëûõ a1 â òåêóùåé ïîçèöèè. Ïóñòü ïîñòðîåíî ïîääåðåâî èãðû, ñîîòâåòñòâóþùåå ýòîìó õîäó è ïîëó÷åíà îöåíêà õîäà a1 (òî÷íåå, ïîçèöèè, âîçíèêàþùåé ïîñëåýòîãî õîäà), ðàâíàÿ 4. Ðàññìîòðèì äðóãîé õîä áåëûõ a2 â òåêóùåé ïîçèöèè. Òåïåðü ïóñòü ÷åðíûå âûáðàëè õîä b1 è óñòàíîâëåíî, ÷òî åãî îöåíêàðàâíà 1. Òîãäà îöåíêà õîäà a2 áóäåò íå áîëüøå 1 è åãî ìîæíî îòáðîñèòü, ïîñêîëüêó îí õóæå õîäà a1 .

Òàêèì îáðàçîì, çäåñü íå ïîòðåáîâàëîñüïîëíîå ïîñòðîåíèå ïîääåðåâà õîäà a2 . Îöåíêà õîäà a1 â äàííîì ñëó÷àåíàçûâàåòñÿ α-îòñå÷åíèåì.Åñëè â òåêóùåé ïîçèöèè õîä ÷åðíûõ, òî àíàëîãè÷íî ìîæíî îïðåäåëèòü ïîíÿòèå β -îòñå÷åíèÿ.Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðû ñ íåïîëíîé èíôîðìàöèåé.Îïðåäåëèì òåïåðü áîëåå îáùóþ ìîäåëü ìíîãîøàãîâîé èãðû, â ïðîöåññå êîòîðîé èãðîêè ìîãóò íå èìåòü ïîëíîé èíôîðìàöèè î ñäåëàííûõ âûáîðàõ. Îãðàíè÷èìñÿ èãðàìè Γ0 ñ êîíå÷íûìè ìíîæåñòâàìè Ut (·), Vt (·), t =1, ..., T.Ïóñòü Ht1 (Ht2 ) − ìíîæåñòâî âñåõ îòðåçêîâ ïàðòèé âèäà (xt−1 , y t−1 )(âèäà (xt , y t−1 )). Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ìíîæåñòâî Ht1 ðàçáèòî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà Ht1 (αt ), αt ∈ Lt . Ïåðåä âûáîðîì xt ïåðâîìóèãðîêó èçâåñòíî, ÷òî (xt−1 , y t−1 ) ∈ Ht1 (αt ). Àíàëîãè÷íî, ïóñòü ìíîæåñòâîHt2 ðàçáèòî íà íåïåðåñåêàþùèåñÿ ïîäìíîæåñòâà Ht2 (βt ), βt ∈ Bt .

Ïåðåäâûáîðîì yt âòîðîìó èãðîêó èçâåñòíî, ÷òî (xt , y t−1 ) ∈ Ht2 (βt ). Åñëè, â÷àñòíîñòè, αt = (xt−1 , y t−1 ), βt = (xt , y t−1 ), à ìíîæåñòâà Ht1 (αt ) è Ht2 (βt )ñîäåðæàò ïî îäíîìó ýëåìåíòó αt è βt ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîëó÷èì èãðó ñ81ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïîëíîé èíôîðìàöèåé.Ñòðàòåãèÿ x̃ ∈ X̃ ïåðâîãî èãðîêà çàäàåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé x̃t îò αt ,ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ x̃t (αt ) ∈ Ut (αt ), t = 1, ..., T.

Ñòðàòåãèÿ ỹ ∈ Ỹâòîðîãî èãðîêà çàäàåòñÿ íàáîðîì ôóíêöèé ỹt îò βt , ïðèíèìàþùèõ çíà÷åíèÿ ỹt (βt ) ∈ Vt (βt ), t = 1, ..., T. Ïî îïðåäåëåíèþ F (x̃, ỹ) = F (xT , y T ),ãäå ïàðòèÿ èãðû (xT , y T ) îäíîçíà÷íîçàäàåòñÿ ñòðàòåãèÿìè èãðîêîâ x̃ èỹ. Èòàê, îïðåäåëåíà èãðà Γ = X̃, Ỹ , F (x̃, ỹ) â íîðìàëüíîé ôîðìå.Ïðèìåð 8.3. Ïóñòü αt = βt = (xt−1 , y t−1 ),Ht1 (αt ) = {αt }, Ht2 (βt ) = {(xt , y t−1 ) | xt ∈ Ut (βt )}.Çäåñü íà êàæäîì òåêóùåì øàãå èãðîêè íå çíàþò âûáîðà äðóã äðóãà, íîîíè çíàþò âñå âûáîðû, ñäåëàííûå íà ïðåäûäóùèõ øàãàõ.

Ïðè ýòîì áóäåìãîâîðèòü îá èãðå ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Êîíêðåòíûì ïðèìåðîì ìîæåò ñëóæèòü ïîâòîðÿþùàÿñÿ èãðà "îðëÿíêà".Óïðàæíåíèå 8.1. Ïîêàçàòü, ÷òî â èãðå Γ ñ ïîëíîé èíôîðìàöèåé î ïðåäûäóùèõ øàãàõ (ïðèìåð 8.3) íèæíåå è âåðõíåå çíà÷åíèÿ èãðû çàäàþòñÿñëåäóþùèìè âûðàæåíèÿìè:v = max minmaxmin···v = min maxminmax···x1 ∈U1 y1 ∈V1 x2 ∈U2 (x1 ,y1 ) y2 ∈V2 (x1 ,y1 )y1 ∈V1 x1 ∈U1 y2 ∈V2 (x1 ,y1 ) x2 ∈U2 (x1 ,y1 )maxminF (xT , y T ),minmaxF (xT , y T ).xT ∈UT (αT ) yT ∈VT (βT )yT ∈VT (βT ) xT ∈UT (αT )Óïðàæíåíèå 8.2. Íàéòè âåðõíåå è íèæíåå çíà÷åíèÿ èãðû èç ïðèìåðà 8.2, ïðåäïîëàãàÿ ïîëíóþ èíôîðìèðîâàííîñòü èãðîêîâ î ïðåäûäóùèõøàãàõ.Åñëè â èãðå Γ v < v, òî èãðîêè äîëæíû èñïîëüçîâàòü ñìåøàííûåñòðàòåãèè.

Îãðàíè÷èìñÿ ïðèìåðàìè.Ïðèìåð 8.4. Íàéäåì ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èãðû èç ïðèìåðà 8.2, ïðåäïîëàãàÿ ïîëíóþ èíôîðìèðîâàííîñòü èãðîêîâ î ïðåäûäóùèõ øàãàõ. Íà âòîðîì øàãå çíà÷åíèÿ α, β èãðîêàì èçâåñòíû è âîçíèêàåòïîäûãðà ñ 2×2-ïîäìàòðèöåé (aij )i∈Mα j∈Nβ ìàòðèöû A. Ïóñòü(p0 (α, β), q 0 (α, β), v(α, β)) − ðåøåíèå â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ óêàçàííîéïîäûãðû.  ñëåäóþùåé òàáëèöå ýòè ðåøåíèÿ ïðèâåäåíû ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ α è β.82Ÿ 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûÒàáë. 8.1α1122β1212p0 (α, β)(5/7,2/7)(2/5,3/5)(1,0)(1,0)q 0 (α, β)(4/7,3/7)(4/5,1/5)(0,1)(1,0)v(α, β)29/78/523Íà ïåðâîì øàãå ïåðâûé èãðîê ñòðåìèòñÿ óâåëè÷èòü ñâîé îæèäàåìûéâûèãðûø, ïîëó÷àåìûé íà âòîðîì øàãå, à âòîðîé èãðîê ñòðåìèòñÿ ýòîòâûèãðûø óìåíüøèòü. Ïîýòîìó íà ïåðâîì øàãå èãðîêè ó÷àñòâóþò â èãðåñ ìàòðèöåé29/7 8/5(v(α, β))2×2 =.23Ðåøåíèå ýòîé èãðû â ñìåøàííûõ ñòðàòåãèÿõ èìååò âèä(p0 , q 0 , v) = ((35/124, 89/124), (49/124, 75/124), 323/124).Èòàê, ïåðâûé èãðîê äîëæåí âûáèðàòü α = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 35/124, àâòîðîé èãðîê äîëæåí âûáèðàòü β = 1 ñ âåðîÿòíîñòüþ 49/124.

Çíà÷åíèåèãðû Γ ðàâíî 323/124.Ïðèìåð 8.5. Âåäóùèé òåëåâèçèîííîãî øîó ïðåäëàãàåò ó÷àñòíèêó ïîêàçàòü íà îäíó èç òðåõ çàêðûòûõ äâåðåé, çà êîòîðûìè ðàçìåùåíû "Ìåðñåäåñ"è äâà êîçëà. Ïîñëå ýòîãî âåäóùèé îòêðûâàåò êàêóþ-ëèáî èç äâóõíåâûáðàííûõ äâåðåé, çà êîòîðîé íàõîäèòñÿ êîçåë, è âòîðè÷íî (øàã 2)ïðåäëàãàåò ó÷àñòíèêó îòêðûòü îäíó èç îñòàâøèõñÿ äâåðåé. Åñëè çà äâåðüþ ñòîèò "Ìåðñåäåñ", òî ó÷àñòíèê ïîëó÷àåò åãî â êà÷åñòâå ïðèçà, åñëè −êîçåë, òî ó÷àñòíèê íè÷åãî íå ïîëó÷àåò.

Ïóñòü âûèãðûø ó÷àñòíèêà ðàâåí1 èëè 0 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, ïîëó÷åí èì ïðèç èëè íåò. Íàéäåì îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ó÷àñòíèêà (ïåðâîãî èãðîêà) è âåäóùåãî øîó (âòîðîãîèãðîêà), à òàêæå çíà÷åíèå èãðû.Åñëè íà ïåðâîì øàãå ïåðâûé èãðîê ïîêàçàë íà äâåðü, çà êîòîðîé ñòîèòêîçåë, òî ÿñíî, ÷òî íà âòîðîì øàãå îí äîëæåí îòêðûòü äðóãóþ äâåðü èíàâåðíÿêà ïîëó÷èòü ïðèç. Îòñþäà, èñïîëüçóÿ ñîîáðàæåíèÿ ñèììåòðèè,óêàæåì îïòèìàëüíûå ñìåøàííûå ñòðàòåãèè èãðîêîâ.Îïðåäåëèì ñòðàòåãèþ p0 ïåðâîãî èãðîêà: íà ïåðâîì øàãå îí äîëæåíâûáðàòü îäíó èç òðåõ äâåðåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3, à íà âòîðîì øàãå îòêðûâàòü äðóãóþ îñòàâøóþñÿ äâåðü.Îïðåäåëèì ñòðàòåãèþ q 0 âòîðîãî èãðîêà: îí äîëæåí ïîìåñòèòü "Ìåðñåäåñ"çà îäíîé äâåðüþ èç òðåõ ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/3.

Åñëè ïåðâûé èãðîê83ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïîêàçàë íà äâåðü ñ "Ìåðñåäåñîì", òî âòîðîé èãðîê äîëæåí îòêðûòü îäíóèç äâóõ äðóãèõ äâåðåé ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2.Çíà÷åíèå èãðû ðàâíî 2/3.Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà îïòèìàëüíîñòè óêàçàííûõ ñòðàòåãèé ïðîâåðèìóñëîâèå (∗).

Ïðè ëþáîé ÷èñòîé ñòðàòåãèè âòîðîãî èãðîêà ïåðâûé èãðîê, ïðèìåíÿÿ p0 , ïîêàçûâàåò íà äâåðü ñ êîçëîì ñ âåðîÿòíîñòüþ 2/3.Íà âòîðîì øàãå îí óêàçûâàåò íà äðóãóþ äâåðü è âûèãðûâàåò ïðèç. Ñäðóãîé ñòîðîíû, ïóñòü âòîðîé èãðîê ïðèìåíÿåò ñòðàòåãèþ q 0 . Ïîêàæåì,÷òî ïåðâûé èãðîê íå ìîæåò âûèãðàòü ïðèç ñ âåðîÿòíîñòüþ, áîëüøåé,÷åì 2/3. Ðàññìîòðèì òèïè÷íóþ ÷èñòóþ ñòðàòåãèþ ïåðâîãî èãðîêà: ñíà÷àëà îí âûáèðàåò ïåðâóþ äâåðü, íà âòîðîì øàãå îí îòêðûâàåò âòîðóþäâåðü, åñëè âòîðîé èãðîê îòêðûë òðåòüþ è îòêðûâàåò ïåðâóþ äâåðü, åñëè âòîðîé èãðîê îòêðûë âòîðóþ.

Íåòðóäíî ïîäñ÷èòàòü, ÷òî âåðîÿòíîñòèåãî âûèãðûøà ïðè ðàçìåùåíèÿõ ÌÊÊ, ÊÌÊ è ÊÊÌ ðàâíû 1/6, 1/3 è0 ñîîòâåòñòâåííî. Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ÷èñòàÿ ñòðàòåãèÿ îáåñïå÷èâàåòâûèãðûø ïðèçà ñ âåðîÿòíîñòüþ 1/2. Åñëè íà âòîðîì øàãå ïåðâûé èãðîêóêàçûâàåò íå íà ïåðâóþ äâåðü, òî âûèãðûø ïðèçà (òîëüêî â ýòîì ñëó÷àå)óâåëè÷èâàåòñÿ äî 2/3.Îòìåòèì, ÷òî â ýòîì ïðèìåðå ìû îáîøëèñü áåç ïîëíîãî îïèñàíèÿìíîæåñòâ ñòðàòåãèé èãðîêîâ è ìàòðèöû èãðû. Ýòî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéâåñüìà íåïðîñòóþ çàäà÷ó, åñëè ðàññìîòðåòü îáîáùåíèå èãðû íà ñëó÷àé,êîãäà èìååòñÿ n äâåðåé, çà êîòîðûìè ðàñïîëàãàþòñÿ îäèí "Ìåðñåäåñ"èn − 1 êîçåë.

Èãðà ïðîèñõîäèò â òå÷åíèå n − 1 øàãîâ. Íà êàæäîì èç ïåðâûõ n − 2 øàãîâ ó÷àñòíèê ïîêàçûâàåò íà êàêóþ-ëèáî çàêðûòóþ äâåðü,à âåäóùèé îòêðûâàåò äðóãóþ äâåðü, çà êîòîðîé ñòîèò êîçåë. Íà øàãån − 1 âñå ïðîèñõîäèò òàê æå, êàê è ïðè n = 3. Çíà÷åíèå èãðû çäåñü ðàâíî(n − 1)/n. Äîêàæèòå îïòèìàëüíîñòü ñëåäóþùåé ñòðàòåãèè ïåðâîãî èãðîêà. Ñ ðàâíîé âåðîÿòíîñòüþ 1/n îí âûáèðàåò îäíó èç äâåðåé, íà êîòîðóþïîêàçûâàåò â òå÷åíèå ïåðâûõ n − 2 øàãîâ.

Íà ïîñëåäíåì (n − 1)-ì øàãå,êîãäà îñòàíóòñÿ äâå çàêðûòûå äâåðè, îí îòêðûâàåò äðóãóþ äâåðü.Ïóñòü ìíîãîøàãîâàÿ èãðà çàäàíà â ïîçèöèîííîé ôîðìå. Òîãäà èíôîðìèðîâàííîñòü èãðîêîâ çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþ èíôîðìàöèîííûõ ìíîæåñòâ.Îïðåäåëåíèå. Èíôîðìàöèîííûì ìíîæåñòâîì èãðîêà íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âåðøèí äåðåâà èãðû, â êîòîðûõ î÷åðåäü õîäà ïðèíàäëåæèò äàííîìó èãðîêó è èìååòñÿ îäèíàêîâîå ÷èñëî àëüòåðíàòèâ.

Èãðîê çíàåò, ÷òîïîçèöèÿ èãðû ñîîòâåòñòâóåò îäíîé èç âåðøèí èíôîðìàöèîííîãî ìíîæåñòâà, íî íå çíàåò êàêîé èìåííî. Íà èíôîðìàöèîííîå ìíîæåñòâî íàêëà84Ÿ 8. Ìíîãîøàãîâûå àíòàãîíèñòè÷åñêèå èãðûäûâàåòñÿ ñëåäóþùåå îãðàíè÷åíèå: îíî íå ìîæåò ñîäåðæàòü äâóõ âåðøèíëåæàùèõ íà îäíîì ïóòè, âåäóùèì èç íà÷àëüíîé âåðøèíû â ôèíàëüíóþ.Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà ïåðâîãî èãðîêàI1 , ..., Ik ïðîíóìåðîâàíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî åñëè êàêàÿ-òî âåðøèíà ìíîæåñòâà Ii ðåàëèçóåòñÿ â èãðå ðàíüøå íåêîòîðîé âåðøèíû ìíîæåñòâà Ij ,òî i < j. Âñå èíôîðìàöèîííûå ìíîæåñòâà âòîðîãî èãðîêà J1 , ..., Jl ïðîíóìåðîâàíû àíàëîãè÷íûì îáðàçîì.Ñòðàòåãèåé ïåðâîãî èãðîêà ÿâëÿåòñÿ âåêòîð x = (x1 , ..., xk ) ∈ X, ãäå xi− ëèáî àëüòåðíàòèâà, âûáèðàåìàÿ èãðîêîì â ìíîæåñòâå Ii , ëèáî xi = ∗.Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî âûáîð àëüòåðíàòèâ x1 , ..., xi−1 ãàðàíòèðóåò, ÷òîâ èãðå çàâåäîìî íå áóäåò ðåàëèçîâàíà íèêàêàÿ âåðøèíà èç ìíîæåñòâàIi .

Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ñòðàòåãèè y = (y1 , ..., yl ) ∈ Yâòîðîãî èãðîêà.Îòìåòèì, ÷òî â èãðå ìîãóò âñòðå÷àòüñÿ ïîçèöèè ñëó÷àÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî â íåêîòîðûõ âåðøèíàõ äåðåâà èãðû âûáîð àëüòåðíàòèâû íåïðèíàäëåæèò èãðîêàì, à îñóùåñòâëÿåòñÿ ñëó÷àéíûì îáðàçîì ñ èçâåñòíûì çàêîíîì ðàñïðåäåëåíèÿ (ñì. ïðèìåð íèæå). Òîãäà ïðè âûáðàííûõñòðàòåãèÿõ èãðîêîâ x è y âûèãðûø ïåðâîãî èãðîêà, îïðåäåëÿåìûé ïîôèíàëüíîé âåðøèíå, áóäåò ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé è çíà÷åíèå F (x, y) ñëåäóåò îïðåäåëèòü êàê ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòîãî âûèãðûøà.