[учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003) ([учебник] Введение в теорию игр (с приложениями к экономике). Васин, Морозов (2003).pdf), страница 11

Îòñþäà ñòðàòåãèÿ x = q2ìàêñèìèçèðóåò ôóíêöèþ Φ(x, q) ïî ïåðåìåííîé x. Ñëåäîâàòåëüíî,max Φ(x, q) = 1 − q1 (1 − q1 ) ⇒ q10 = q20 =0≤x≤1111⇒ ψ 0 = I0 + I1 .222Îòìåòèì, ÷òî ïîëó÷åííîå ðåøåíèå èãðû ìîæíî áûëî ïðåäóãàäàòü è ïðîâåðèòü ëèøü óñëîâèå (∗).Óïðàæíåíèå 6.2. Ðåøèòå èãðó ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàX = {(x1 , x2 ) | 0 ≤ xi ≤ 1, i = 1, 2}, Y = X,F (x1 , x2 , y1 , y2 ) = 1 − (x1 − y1 )2 − (x2 − y2 )2 .Øèðîêèé êëàññ èãð ñ âûïóêëûìè ôóíêöèÿìè âûèãðûøà îáðàçóþòñòàòèñòè÷åñêèå èãðû. Äàäèì íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ.Ñòàòèñòèê íàáëþäàåò ðåàëèçàöèè zi íåçàâèñèìûõ, îäèíàêîâî ðàñïðåäåëåííûõ ñëó÷àéíûõ âåëè÷èí Zi , i = 1, ..., n, èìåþùèõ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ g(zi |x), çàâèñÿùóþ îò âåêòîðà íåèçâåñòíûõ ïàðàìåòðîâ x ∈ X.Çäåñü X − âûïóêëîå ìíîæåñòâî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà.

Ïóñòü Z =61ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛ(Z1 , ..., Zn ) − âåêòîðíàÿ ñëó÷àéíàÿ âåëè÷èíà, ïðèíèìàþùàÿ çíà÷åíèÿnQz = (z1 , ..., zn ) ∈ Z è èìåþùàÿ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ g(z|x) =g(zi |x).i=1Ñòàòèñòèê îöåíèâàåò âåêòîð x, èñïîëüçóÿ ðåøàþùóþ ôóíêöèþ y :Z → A = X. Âåëè÷èíà a = y(z) íàçûâàåòñÿ îöåíêîé âåêòîðà x èç ìíîæåñòâà îöåíîê A. Îøèáêà â îïðåäåëåíèè âåêòîðà x çàäàåòñÿ ñ ïîìîùüþôóíêöèè ïîòåðü L(x, a). Ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå ýòîé ôóíêöèèZdefF (x, y) = E[L(x, y(Z))] = L(x, y(z))g(z|x)dzZíàçûâàåòñÿ ôóíêöèåé ðèñêà.Ñòàòèñòèê (âòîðîé èãðîê) èñïîëüçóåò ðåøàþùåå ïðàâèëî (ñòðàòåãèþ)y èç íåêîòîðîãî ìíîæåñòâà Y è ñòðåìèòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ôóíêöèþðèñêà.

Ïðèðîäà (ïåðâûé èãðîê) ñòðåìèòñÿ åå ìàêñèìèçèðîâàòü, âûáèðàÿx ∈ X. Ïîñòðîåííàÿ àíòàãîíèñòè÷åñêàÿ èãðàΓ = X, Y, F (x, y) íàçûâàåòñÿ ñòàòèñòè÷åñêîé.Ïóñòü îöåíèâàåìûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé X, ïðèíèìàþùåé çíà÷åíèÿ x ∈ X è èìåþùåé ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f. Ñèãðîâîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèðîäà èñïîëüçóåò ñìåøàííûåñòðàòåãèè f ∈ {f }.Îáû÷íî èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùèé ìåòîä ðåøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èãðû. Ñíà÷àëà ñòðîèòñÿ óðàâíèâàþùàÿ ðèñê ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ ñòàòèñòèêà y 0 : F (x, y 0 ) ≡ const íà X. Çàòåì ïîäáèðàåòñÿ ñòðàòåãèÿ ïðèðîäû − ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 , îòíîñèòåëüíî êîòîðîé ðåøàþùàÿôóíêöèÿ y 0 ÿâëÿåòñÿ áàéåñîâñêîé, ò.å. ìèíèìèçèðóþùåé ôóíêöèþ ðèñêà:F (f 0 , y 0 ) = min F (f 0 , y). Òîãäà â ñîîòâåòñòâèè ñ ðåçóëüòàòîì óïðàæíåíèÿy∈Y4.3 f , y − îïòèìàëüíûå ñòðàòåãèè ïðèðîäû è ñòàòèñòèêà.

Ïëîòíîñòüðàñïðåäåëåíèÿ f 0 íàçûâàåòñÿ àïðèîðíîé.Ïîêàæåì, ÷òî äëÿ ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 ïðè êâàäðàòè÷íîéôóíêöèè ïîòåðü L(x, a) = |x − a|2 áàéåñîâñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ y 0îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî. Îïðåäåëèì àïîñòåðèîðíóþ ïëîòíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 (x|z) = g(z|x)f 0 (x)/p(z), ãäåZp(z) = g(z|x)f 0 (x)dx.00XÓòâåðæäåíèå 6.1. Ïóñòü y 0 − áàéåñîâñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ îòíîñèòåëüíî ïëîòíîñòè ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 .

Òîãäà ïðè êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè62Ÿ 6. Èãðû ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàïîòåðüdef0y (z) = E[X|z] =Zxf 0 (x|z)dx ∀ z ∈ Z.(6.1)XÄîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó ìíîæåñòâî X âûïóêëî, ìîæíî ïîêàçàòü,÷òî y 0 (z) ∈ A = X ∀ z ∈ Z. Äëÿ ïðîèçâîëüíîé ðåøàþùåé ôóíêöèè y ∈ YZ Z0F (f , y) =L(x, y(z))g(z|x)dzf 0 (x)dx =X ZZ Z= [ |x − y(z)|2 f 0 (x|z)dx]p(z)dz.ZXÏðè ôèêñèðîâàííîì z ∈ Z âíóòðåííèé èíòåãðàë ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîéôóíêöèåé îò a = y(z). Ïîýòîìó åãî ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè a0 = y 0 (z)èç (6.1). äàëüíåéøåì áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî ôóíêöèÿ ðàñïðåäåëåíèÿ g êàæäîéñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Zi çàâèñèò òîëüêî îò îäíîãî íåèçâåñòíîãî ïàðàìåòðà − ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ x. Äèñïåðñèþ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíû Ziîáîçíà÷èì ÷åðåç D(x). Äëÿ ìàòåìàòè÷åñêîãî îæèäàíèÿ ÷àñòî èñïîëüçónPåòñÿ íåñìåùåííàÿ îöåíêà z =zi /n.

Ñâîéñòâî íåñìåùåííîñòè îçíà÷àåò,i=1÷òîEEZ =nPZii=1= x.nÏîýòîìó åñòåñòâåííî ðàññìîòðåòü ìíîæåñòâî ðåøàþùèõ ïðàâèë âèäàY = {y | y(z) = c1 z + c2 , c1 , c2 ≥ 0}.Ôóíêöèþ ïîòåðü áóäåì ïðåäïîëàãàòü êâàäðàòè÷íîé:L(x, a) = (x − a)2 . Ïîëîæèì c = (c1 , c2 ). Òîãäà ôóíêöèÿ ðèñêàdef2F (x, c) = F (x, y) = E(x − c1 Z − c2 )2 = c21 EZ + 2c1 (c2 − x)EZ + (x − c2 )2 =!D(x)D(x)= c21+ x2 + 2c1 (c2 − x)x + (x − c2 )2 = c21+ (c1 x − x + c2 )2nnâûïóêëà ïî c.63ÃËÀÂÀ I.

ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛÐàññìîòðèì êîíêðåòíûå ïðèìåðû ñòàòèñòè÷åñêèõ èãð.Ïðèìåð 6.2. Ïóñòü ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Zi èìåþò áèíîìèàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå:(x,zi = 1,g(zi |x) =1 − x, zi = 0;D(x) = x(1 − x), x ∈ X = [0, 1].nPÏîëîæèì k =zi = nz. Òîãäài=1kn−kg(z|x)! = x (1 − x) ,F (x, c) = c21=x(1−x)n+ x2− 2c1 x2 + 2c1 c2 x + x2 − 2c2 x + c22 =!!2n−1 2c1c1 − 2c1 + 1 x2 ++ 2c1 c2 − 2c2 x + c22 .nnÍàéäåì âûðàâíèâàþùóþ ðåøàþùóþ ôóíêöèþ y 0 (z) = c01 z+c02 .

Äëÿ ýòîãîðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèén−1 2c2c1 − 2c1 + 1 = 0, 1 + 2c1 c2 − 2c2 = 0nnè ïîëó÷èì(6.2)√c01=√n1, c02 = √.n+12( n + 1)Âòîðîå ðåøåíèå√c1 = √n1, c2 = √n−12( n − 1)îòáðîñèì.Ðàññìîòðèì íà îòðåçêå X = [0, 1] áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþf 0 (x) =ãäå B(p, q) =R1xp−1 (1 − x)q−1,B(p, q)q−1xp−1dx1 − áåòà-ôóíêöèÿ, à ïàðàìåòðû p è q1 (1 − x1 )0ïîëîæèòåëüíû. Èíòåãðèðóÿ ïî ÷àñòÿì, íåòðóäíî âûâåñòè, ÷òîZ1EX =xf 0 (x)dx =064p.p+qŸ 6. Èãðû ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàÏîêàæåì, ÷òî ïðè ïîäõîäÿùåì âûáîðå ïàðàìåòðîâ p è q ðåøàþùàÿôóíêöèÿ y 0 ÿâëÿåòñÿ áàéåñîâñêîé îòíîñèòåëüíî áåòà-ðàñïðåäåëåíèÿ f 0 .ÍàéäåìZ1p(z) = g(z|x)f 0 (x)dx =0Z1=xk (1 − x)n−k xp−1 (1 − x)q−1B(k + p, n + q − k)dx =.B(p, q)B(p, q)0Îòñþäà óñëîâíàÿ ïëîòíîñòüf 0 (x|z) =g(z|x)f 0 (x)xk+p−1 (1 − x)n−k+q−1=p(z)B(k + p, n + q − k)çàäàåò áåòà-ðàñïðåäåëåíèå ñ ïàðàìåòðàìè p∗ = k + p è q ∗ = n + q − k.Áàéåñîâñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿZp∗k+pnz + p==E[X|z] = xf 0 (x|z)dx = ∗∗p +qn+p+qn+p+qX√ñîâïàäàåò ñ âûðàâíèâàþùåé ôóíêöèåé y 0 ïðè p = q = 2n .Èòàê, äîêàçàíî, ÷òî äëÿ îöåíêè ïàðàìåòðà áèíîìèàëüíîãî ðàñïðåäåëåíèÿ√nz + 0.50y (z) = √n+1− ìèíèìàêñíàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ.Èíòåðåñíî ñðàâíèòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè ðèñêà ïðè ìèíèìàêñíîé y 0 èêëàññè÷åñêîé z ðåøàþùèõ ôóíêöèÿõ.

ÈìååìF (x, y 0 ) ≡ v =1x(1 − x)√ 2 , F (x, z) =.n4(1 + n)Íåðàâåíñòâî F (x, y 0 ) < F (x, z) âûïîëíåíî ëèøü ïðèp√1 1+2 ndef√ .x − < ε =22(1 + n)Åñëè n âåëèêî, òî ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ëó÷øå êëàññè÷åñêîé ëèøü ïðèçíà÷åíèÿõ x, ïðèíàäëåæàùèõ ìàëîé ε-îêðåñòíîñòè òî÷êè 1/2. Îäíàêî,65ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐÛïðè ìàëûõ n èíòåðâàë çíà÷åíèé x, ãäå ìèíèìàêñíàÿ îöåíêà ëó÷øå, çíà÷èòåëüíî óâåëè÷èâàåòñÿ.Âî ìíîãèõ çàäà÷àõ íå ñóùåñòâóåò âûðàâíèâàþùåé ðåøàþùåé ôóíêöèè è óêàçàííûé âûøå ìåòîä ðåøåíèÿ ñòàòèñòè÷åñêîé èãðû èñïîëüçîâàòüíåëüçÿ.

 òàêèõ ñëó÷àÿõ ìèíèìàêñíóþ ñòðàòåãèþ ñòàòèñòèêà y 0 ìîæíîíàéòè, ðåøàÿ íåïîñðåäñòâåííî çàäà÷óv = min max F (x, y) = max F (x, y 0 ).y∈Y x∈Xx∈XÏðèìåð 6.3. Ñòðàõîâàÿ êîìïàíèÿ îñóùåñòâëÿåò ñòðàõîâàíèå ãðàæäàíñêîé îòâåòñòâåííîñòè àâòîìîáèëèñòîâ. Âîäèòåëè îáû÷íî ðàçáèâàþòñÿ íàãðóïïû ïî íåñêîëüêèì ïðèçíàêàì (ïðîôåññèÿ, ñòàæ âîæäåíèÿ è ò.ï.).Ðàññìîòðèì íåêîòîðóþ ãðóïïó, ñîñòîÿùóþ èç n âîäèòåëåé.

Òðåáóåòñÿîöåíèòü ñðåäíåå ÷èñëî x äîðîæíûõ ïðîèñøåñòâèé â ðàñ÷åòå íà îäíîãîâîäèòåëÿ, êîòîðûå ïðîèçîéäóò â òå÷åíèå áëèæàéøåãî ãîäà, èñõîäÿ èçèíôîðìàöèè î ïðîèñøåñòâèÿõ ïðîøåäøåãî ãîäà. Çàäà÷ó ìîæíî ñâåñòè êðåøåíèþ ñòàòèñòè÷åñêîé èãðû.Ïóñòü ÷èñëî äîðîæíûõ ïðîèñøåñòâèé ñ âîäèòåëåì i ÿâëÿåòñÿ ñëó÷àéíîé âåëè÷èíîé Zi , ðàñïðåäåëåííîé ïî çàêîíó Ïóàññîíàg(zi |x) =xzi e−x, zi ∈ Z = {0, 1, 2, ..., }.zi !Çäåñü EZi = x, V arZi = D(x) = x, x ∈ X = [0, x∗ ], ãäå x∗ − âåðõíÿÿãðàíü âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà x. ÈìååìD(x)x+ (c1 x − x + c2 )2 = c21 + (c1 x − x + c2 )2 .nnÍåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî íå ñóùåñòâóåò âûðàâíèâàþùåé ðåøàþùåé ôóíêöèè.Îáîçíà÷èì M (c) = sup F (x, c) è íàéäåìF (x, c) = c210≤x≤x∗v = min M (c) = M (c0 ).c1 ,c2 ≥0Ïîñêîëüêó F (x, c) âûïóêëà ïî x, M (c) = max[F (0, c), F (x∗ , c)].Óòâåðæäåíèå 6.2.

Äëÿ ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèè y 0 (z) = c01 z + c02 âûïîëíåíî óñëîâèå F (0, c0 ) = F (x∗ , c0 ) èëèc02=+ (c01 − 1)2 x∗.2(1 − c01 )1 0 2(c )n 166Ÿ 6. Èãðû ñ âîãíóòîé ôóíêöèåé âûèãðûøàÄîêàçàòåëüñòâî. Äîïóñòèì, ÷òî F (x∗ , c0 ) > F (0, c0 ). Åñëè c01 > 0, òîïðè ìàëîì ε > 0(c01 )2 x∗F (x , c ) =+ (c01 x∗ + c02 − x∗ )2 > F (x∗ , c01 − ε, c02 + εx∗ ) =n∗0(c01 − ε)2 x∗=+ (c01 x∗ + c02 − x∗ )2 > F (0, c01 − ε, c02 + εx∗ ) = (c02 + εx∗ )2n0è M (c1 − ε, c02 + εx∗ ) < M (c0 ) (ïðîòèâîðå÷èå).Åñëè c01 = 0, òîF (x∗ , c0 ) = (c02 − x∗ )2 > F (0, c0 ) = (c02 )2 .Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî c02 < x∗ /2. Óâåëè÷èâàÿ c02 íà ìàëîå ε > 0, ïðèäåì êïðîòèâîðå÷èþ. Ñëó÷àé F (x∗ , c0 ) < F (0, c0 ) ðàçáèðàåòñÿ àíàëîãè÷íî.Èç äîêàçàííîãî óòâåðæäåíèÿ âûòåêàåò, ÷òî!2122 ∗(c)+(c−1)x11nmin M (c) = min.c1 ,c2 ≥00≤c1 <12(1 − c1 )Ïîñëåäíèé ìèíèìóì äîñòèãàåòñÿ ïðè√√x∗ n + 1 − x∗ n + 1x∗ n + 1 − 100c1 =⇒c=.2x∗ n + 1nÒàêèì îáðàçîì, ïðè îöåíêå ïàðàìåòðà ðàñïðåäåëåíèÿ Ïóàññîíà√√x∗ n + 1 − x∗ n + 1x∗ n + 1 − 10y (z) =z+x∗ n + 1n− ìèíèìàêñíàÿ ñòðàòåãèÿ ñòàòèñòèêà.

 ÷àñòíîì ñëó÷àå ïðèn = 30, x∗ = 0.5, z = 0.2 ïîëó÷àåì îöåíêó y 0 (z) = 0.16.Óïðàæíåíèå 6.3. Ïóñòü âñå ñëó÷àéíûå âåëè÷èíû Zi èìåþò íîðìàëüíîå ðàñïðåäåëåíèå ñ ïëîòíîñòüþg(zi |x) = √(zi −x)21e− 2σ2 , zi ∈ E 1 ,2πσãäå äèñïåðñèÿ σ 2 ñòàòèñòèêó èçâåñòíà, à ìàòåìàòè÷åñêîå îæèäàíèå x −íåò: x ∈ X = E 1 .Ïîêàçàòü, ÷òî êëàññè÷åñêàÿ ðåøàþùàÿ ôóíêöèÿ z ÿâëÿåòñÿ âûðàâíèâàþùåé è ìèíèìàêñíîé ñòðàòåãèåé ñòàòèñòèêà.67ÃËÀÂÀ I. ÀÍÒÀÃÎÍÈÑÒÈ×ÅÑÊÈÅ ÈÃÐ۟ 7.Èññëåäîâàíèå èãðîâûõ ìîäåëåéÌîäåëü "íàïàäåíèå-îáîðîíà".Èìååòñÿ n îáîðîíÿåìûõ ïóíêòîâ ñ íîìåðàìè i = 1, ..., n âîçìîæíîãîïðîðûâà ñðåäñòâ íàïàäåíèÿ.