_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007 (_учебник_ Теория вероятности. Н.И. Чернова. 2007.pdf), страница 5

Например, бросание монеты на стол в примере 4 приводитк пространству элементарных исходов, совпадающему с множеством точекстола. Дальность броска копья спортсменом — величина с положительны-24ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙми значениями на числовой прямой, и т. д. Рассмотрим один из способовзадания вероятностей на таком пространстве исходов.§ 4. Геометрическая вероятностьРассмотрим какую-нибудь область Ω в Rk (на прямой, на плоскости,в пространстве). Предположим, что «мера» Ω (длина, площадь, объёмсоответственно) конечна. Пусть случайный эксперимент состоит в том, чтомы наудачу бросаем в эту область точку. Термин «наудачу» означает, чтовероятность попадания точки в любую часть A ⊆ Ω не зависит от формыили расположения A внутри Ω. а зависит лишь от «меры» области A.Для такого эксперимента вероятности определяются согласно геометрическому определению вероятности :µ(A)P(A) =.(4)µ(Ω)Если для точки, брошенной в область Ω, выполнены условия геометрического определения вероятности, то говорят, что точка равномерно распределена в области Ω.П р и м е р 17.

Точка наудачу бросается на отрезок [0, 1]. Вероятностьей попасть в точку 0,5 равна нулю, так как равна нулю мера множества,состоящего из одной точки («длина точки»). Но попадание в точку 0,5 неявляется невозможным событием — это один из элементарных исходов.П р и м е р 18. Точка наудачу бросается в круг c единичным радиусом.Найти вероятность того, что расстояние ρ до точки от центра круга будетменьше заданного числа r ∈ (0, 1).Р е ш е н и е. Интересующее нас событие {ρ < r} происходит, когдаточка попадает во внутренний круг с радиусом r и тем же центром.

Поформуле (4), вероятность этого события равна отношению площадей кругов:π r2P(ρ < r) == r2.πЗаметим, что расстояние ρ до брошенной в круг точки распределено неравномерно на отрезке [0, 1]. Для равномерного распределения мы получили бы вероятность P(ρ < r) = r, а не r2 .П р и м е р 19 (з а д а ч а о в с т р е ч е). Два человека X и Y условились встретиться в определённом месте между двумя и тремя часами дня.Пришедший первым ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит.Чему равна вероятность встречи этих лиц, если каждый из них можетприйти в любое время в течение указанного часа независимо от другого?25§ 4. Геометрическая вероятностьР е ш е н и е.

Будем считать интервал от двух до трёх часов дня отрезком [0, 1]. Обозначим через ξ ∈ [0, 1] и η ∈ [0, 1] моменты прихода X и Y в течение этого часа (рис. 5). Результатами экспериментаявляются всевозможные пары точек (ξ, η)ηиз единичного квадрата:1=ξ+1/6Ω = {(ξ, η) | 0 6 ξ 6 1, 0 6 η 6 1}.1/ξ−=η1/6A = {(ξ, η) | |ξ − η| 6 1 / 6}.6ηБлагоприятными исходами будут точки заштрихованного на рисунке множества A :1 ξ1/6Попадание в множество A наудачу броРис. 5. Задача о встречешенной в квадрат точки означает, что Xи Y встретятся. Тогда вероятность встречи равна отношению площадеймножеств A и Ω : 251−µ(A)116.P(A) ===36µ(Ω)1Существование неизмеримых множеств.

Заканчивая обсуждениепонятия геометрической вероятности, отметим следующее неприятное обстоятельство.Если даже эксперимент удовлетворяет геометрическому определениювероятности, далеко не для всех множеств A ⊂ Ω вероятность может бытьвычислена как отношение меры A к мере Ω. Причиной этого являетсясуществование так называемых «неизмеримых» множеств, т. е. множеств,мера которых не существует.П р и м е р 20 (м н о ж е с т в о В и т а л и2 ).

В этом примере мы построим множество на отрезке, «длина» которого не существует. Нам понадобятся лишь следующие очевидные свойства «длины» множества: длинамножества остаётся неизменной при сдвиге всех точек этого множества;длина множества, составленного из счётного объединения попарно непересекающихся множеств, равняется сумме длин этих множеств.Рассмотрим окружность с радиусом 1 (то же, что отрезок [0, 2π]). Возьмём любое иррациональное число α. Поскольку оно иррационально, числоnα не является целым ни при каком целом n 6= 0.2Giuseppe Vitali (26.08.1875—29.02.1932, Italy).26ГЛАВА I.

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙПоэтому если взять произвольную точку (угол) x ∈ [0, 2π] на окружности и перечислить все точки, которые получаются поворотом x на угол2πnα, где n = ±1, ±2, . . . , то мы ни разу не вернёмся в точку x. Точек, получившихся из x такими поворотами, счётное число. Объединимих в один класс. С любой другой точкой окружности можно тоже связатькласс точек, получающихся из неё поворотами на 2πnα при целых n.

Этиклассы либо совпадают, либо не имеют общих точек. Таким образом, всяокружность разбивается на классы точек. В каждом классе счётное число точек, и все точки в одном классе получаются друг из друга такимиповоротами. Разные классы не пересекаются.Искомое множество A0 определим так: возьмём из каждого такогокласса ровно по одной точке. Пусть множество An получается поворотомвсех точек множества A0 на угол 2πnα, n = ±1, ±2, . . .Так как все точки одного класса можно получить, поворачивая любуюиз них на угол 2πnα, n = ±1, ±2, .

. . , а в множестве A0 собрано поодной точке из каждого класса, то, поворачивая это множество, получимвсе точки окружности.Предположим, что «длина» l(A0 ) множества A0 существует. Тогда всемножества An имеют ту же длину, так как получены из A0 поворотом.Но все эти множества не пересекаются, поэтому «длина» их объединенияравна сумме их длин и равна длине отрезка [0, 2π] :!(∞∞∞[XX∞, если l(A0 ) > 0,2π = lAn =l(An ) =l(A0 ) =0, если l(A0 ) = 0.n=−∞n=−∞n=−∞Полученное противоречие означает, что длина множества A0 простоне существует .Итак, мы построили множество на отрезке, длина которого не существует (неизмеримое множество).

Пользуясь геометрическим определением вероятности, мы не можем определить вероятность попадания точкив такое неизмеримое множество. Но если не для любого A ⊆ Ω мы можемопределить вероятность, следует сузить класс множеств, называемых «событиями», оставив в этом классе только те множества, вероятность которых определена.В следующей главе мы займёмся, следуя Колмогорову3 , построениемаксиоматики теории вероятностей: познакомимся с понятиями σ -алгебры(или поля) событий, вероятностной меры и вероятностного пространства.3Андрей Николаевич Колмогоров (25.04.1903—20.10.1987).Г Л А В А IIАКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙМатематик должен знать меру, норму и пределФольклор ММФ НГУ§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событийАлгебра событий. Пусть Ω — пространство элементарных исходовнекоторого случайного эксперимента (т.

е. непустое множество произвольной природы). Мы собираемся определить набор подмножеств Ω, которыебудут называться событиями, и затем задать вероятность как функцию,определённую только на множестве событий.Итак, событиями мы будем называть не любые подмножества Ω,а лишь элементы некоторого выделенного набора подмножеств множества Ω. При этом необходимо позаботиться, чтобы этот набор подмножеств был замкнут относительно обычных операций над событиями, т.

е.чтобы объединение, пересечение, дополнение событий снова давало событие. Сначала введём понятие алгебры множеств.О п р е д е л е н и е 4. Множество A, элементами которого являютсяподмножества множества Ω (не обязательно все) называется алгеброй ,если оно удовлетворяет следующим условиям:(A1) Ω ∈ A (алгебра содержит достоверное событие);(A2) если A ∈ A, то A ∈ A (вместе с любым множеством алгебрасодержит противоположное к нему);(A3) если A ∈ A и B ∈ A, то A ∪ B ∈ A (вместе с любыми двумямножествами алгебра содержит их объединение).Из (A1) и (A2) следует, что пустое множество ∅ = Ω также содержитсяв A, т. е. алгебра содержит и невозможное событие.Из условия (A3) следует, что вместе с любым конечным набором множеств алгебра содержит их объединение: для любого n ∈ N, для любыхA1 , .

. . , An ∈ A выполнено A1 ∪ . . . ∪ An ∈ A.28ГЛАВА II. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙВместо замкнутости относительно объединения можно требовать замкнутость относительно пересечения.С в о й с т в о 1. В определении 4 можно заменить (A3) на (A4):(A4) если A ∈ A и B ∈ A, то A ∩ B ∈ A.Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, что при выполнении (A1) и (A2)из (A3) следует (A4). Если A, B ∈ A, то A ∈ A и B ∈ A по свойству (A2).

Тогда из (A3) следует, что A ∪ B ∈ A. Вновь пользуясь (A2),получим, что дополнение A ∪ B к этому множеству также принадлежиталгебре A. В силу формул двойственности, дополнение к объединениюравно пересечению дополнений:A ∩ B = A ∪ B ∈ A.Аналогично доказывается, что при выполнении (A1) и (A2) из (A4)следует (A3), т. е. эти два свойства в определении взаимозаменяемы.П р и м е р 21. Пусть Ω = { ♠ , ♣ , ♦ , ♥ } — пространство элементарных исходов. Следующие наборы подмножеств Ω являются алгебрами(проверьте это по определению !):a) A = {Ω, ∅} = { { ♠ , ♣ , ♦ , ♥ } , ∅} — тривиальная алгебра;б) A = { { ♠ , ♣ , ♦ , ♥ } , ∅, { ♦ } , { ♠ , ♣ , ♥ } } ;в) A = 2Ω — множество всех подмножеств Ω.У п р а ж н е н и е .

Доказать, что если Ω состоит из n элементов, тов множестве всех его подмножеств ровно 2n элементов.Сигма-алгебра событий. В теории вероятностей часто возникаетнеобходимость объединять счётные наборы событий и считать событиемрезультат такого объединения. При этом свойства (A3) алгебры оказывается недостаточно: из него не вытекает, что объединение счётной последовательности множеств из алгебры снова принадлежит алгебре.

Поэтомуразумно наложить более суровые ограничения на класс событий.О п р е д е л е н и е 5. Множество F, элементами которого являютсяподмножества множества Ω (не обязательно все) называется σ -алгеброй( σ -алгеброй событий), если выполнены следующие условия:(S1) Ω ∈ F ( σ -алгебра событий содержит достоверное событие);(S2) если A ∈ F, то A ∈ F (вместе с любым событием σ -алгебрасодержит противоположное событие);(S3) если A1 , A2 , . .

. ∈ F, то A1 ∪ A2 ∪ . . . ∈ F (вместе с любымсчётным набором событий σ -алгебра содержит их объединение).§ 1. Алгебра и сигма-алгебра событий29У п р а ж н е н и е . Доказать, что вместо (S1) достаточно предположить непустоту множества F. Вывести из (S1) и (S2), что ∅ ∈ F.Этого набора аксиом достаточно для замкнутости множества F относительно счётного числа любых других операций над событиями. В частности, аналогично свойству 1 проверяется следующее утверждение.С в о й с т в о 2. В определении 5 можно заменить (S3) на (S4):(S4) если A1 , A2 , . .

. ∈ F, то A1 ∩ A2 ∩ . . . ∈ F.С в о й с т в о 3. Всякая σ -алгебра является алгеброй.Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть F — σ -алгебра. Нужно проверить, чтоона удовлетворяет свойству (A3), т. е. для любых A ∈ F и B ∈ F выполняется A ∪ B ∈ F.Превратим пару A, B в счётную последовательность событий так:A, B, B, B, . . . , т. е. положим A1 = A, Ai = B при всех i > 2. Объединение A ∪ B совпадает с объединением всех множеств Ai из этойбесконечной последовательности. А так как F — σ -алгебра, тоA∪B =∞[Ai ∈ F.i=1Итак, всякая σ -алгебра автоматически является алгеброй, но не наоборот. Приведём пример алгебры, не являющейся σ -алгеброй.П р и м е р 22.