1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 47

Влияние температуры на функции распределенияПри повышении температуры от абсолютного нуля до T электрон приобретаетэнергиюΔε  kT .Повышение температуры влияет на электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми в полосе шириной kT80.Можно получить, что химический потенциал электронного газа π 2  kT 2 μ  εF 1   . 12  εF  Так как kT << εF, можно считать, что μ ≈ εF.Функция распределения электронов по фазовым ячейкам1,f  ε   ε εFe kT  1график этой функции показан на РИС. 44.4А.Функция распределения по энергиямF ε  4πV322m3 hεeε  εFkT,(44.2)(44.3)1график на РИС.

44.4Б.При kT ≈ εF функция распределения (44.2) превращается в функцию распределения Максвелла-Больцмана.Критерий вырождения газавырожденный газневырожденный газКритическая температура электронного газаεTкр  F  5  104 К .kTЭто выражение нужно понимать так: энергия электронов отличается от уровня Ферми не более,чем на величину порядка kT.80345f(ε)2kT1kT ~ εF0εεFа2kTF(ε)0εF0εбРис. 44.46.4.5.

Теплоёмкость электронного газаПри T ≠ 0 средняя энергия электрона23  5π 2  kT  ε  εF 1  .5 12  εF  Молярная теплоёмкость электронного газаCэл  NA ε35π 2 k 2 2T π 2 kRT, NA εFT 512 εF22 εF2R = kNA.По закону Дюлонга и Пти молярная теплоёмкость кристаллической решёткиCреш  3R .Сравним эти теплоёмкости:Cэл π 2kT.C реш6εFПри низких температурах Cэл << Cреш.346Лекция 456.5. Электропроводность металловПри возникновении в проводнике электрического поля напряжённостью E возникает электрический ток, т. е. упорядоченное движение электронов – дрейф.Средняя скорость этого движения – скорость дрейфа u .

Электроны, находящиеся вблизи уровня Ферми, под действием электрического поля переходят на вышележащие уровни.Рассмотрим малый участок проводника сечением S, который электрон со средней дрейфовой⊝скоростью проходит за время dt (РИС. 45.1). Модуль плотности токаudtdQ enS udtj enu ;S dtS dtРис. 45.1где n – концентрация электронов; с учётом знака заряда электронаj  enu .Численная оценкамм, среднеквадратичная скорость теплового движениясмэлектрона (см. 6.4.3) vкв  106 ⇒ vкв >> u.сНайдём, как зависит дрейфовая скорость электрона от напряжённости электрического поля.

Рассмотрим процесс резкого включения и выключения поля: послевключения поля электроны не сразу разгоняются, а после включения не сразуостанавливаются. Поэтому изменение тока запаздывает по отношению к изменению поля.Запишем II закон Ньютона для электрона в металле:Дрейфовая скорость u  1m*dv eE  Fс ,dt(45.1)где m* – эффективная масса электрона, v – его скорость, Fс – тормозящая сила, описывающая влияниесоударений электрона с неоднородностями и узламикристаллической решётки (РИС. 45.2).

ПоложимFс  α v .Спроецируем уравнение (45.1) на ось x:dvm* eE  α v .dtРазделим переменные и умножим уравнение на (–α):αd vα  * dt ;eE  α vm⊝xРис. 45.2347lneE  α vαt * ,CmC – постоянная интегрирования;eE  α v  Ceαtm*.При t = 0 v = 0, поэтому C = eE, *eE  1  e mα  .График этой функции представлен на РИС.

45.3. При t → ∞eEv  u .αВремя релаксации – время, за которое скорость электрона уменьшается в e раз,eE  α v  eEeαtαtm*⇒ vm*m*τ⇒ α,ατt v  u 1  e τ  .v0tРис. 45.3В векторной формеeτe2nτEjE.⇒m*m*Коэффициент в последней формуле – константа, зависящая от свойств вещества:uσe2nτ, j  σEm*– закон Ома в дифференциальной форме; σ – удельная электропроводность вещества. Таким образом, мы подтвердили справедливость закона Ома, исходя изэлектронных представлений.Благодаря тепловому движению электрон теряет скорость, соударяясь с другимиэлектронами. Средняя длина транспортного пробега – расстояние, после прохождения которого начальная скорость электрона уменьшается в e раз:L   vкв  u τ  vквτ .Отсюда348e2nLL⇒ σ *.τm vквvквЭлектрическое поле сначала воздействует на электроны, находящиеся вблизиуровня ферми (см.

РИС. 44.4Б);σe2nLF,m* vкв(45.2)где LF – средняя длина транспортного пробега электронов, находящихся вблизиуровня Ферми. В этой формуле от температуры зависит только LF. Расчёт показывает, что при низких температурах σ ~ T–5, при высоких температурах – σ ~ T–1.Численная оценкасмДля меди при T = 300 К L = 3∙10–6 см, vкв  1,57  108; при T = 4 К L = 0,3 см.с6.6. Зонная теория проводимости твёрдых телВалентные электроны в кристалле движутся не вполне свободно, так как на нихдействует периодическое поле кристаллической решётки (РИС.

45.4). Спектр возможных значений энергии электрона деформируется и образуются зоны запрещённых и разрешённых значений энергии.потенциальнаяямаРис. 45.46.6.1. Расщепление энергетических уровней валентных электронов в кристаллической решёткеРассмотрим изолированный атом лития и кристаллическую решётку лития(РИС. 45.5). Кристалл – единая квантовомеханическая система!Электроны могут туннелировать сквозь потенциальные барьеры. В результатыэтого каждый уровень расщепляется на N подуровней (N – число атомов в решётке) – должен выполняться принцип Паули!Каждому энергетическому уровню изолированного атома соответствует зонаразрешённых энергий (разрешённая зона): уровню 1s – зона 1s, уровню 2s – зона2s и т.

д. Зоны разрешённых энергий разделены зонами запрещённых энергий(запрещёнными зонами) εg. На внутренних оболочках взаимное влияние атомовменьше, поэтому по мере приближения к ядру зоны уже.349Численная оценкаВ 1 м3 вещества содержится N ~ 1028 атомов. Ширина энергетических зон – около1 эВ. Расстояние между уровнями в зоне – около 10–28 эВ.ядроW2sεg1sИзолированныйатом LiАтомы Li в узлах кристаллической решёткиРис. 45.56.6.2. Заполняемость энергетических зон при T = 0Нижние энергетические уровни заполняются полноЗонастью.

Верхняя из заполненных зон заполняется либопроводимостиполностью (валентная зона), либо частично (зонапроводимости) (см. энергетическую диаграмму наРИС. 45.6).εgНаложим на образец внешнее электрическое поле.Ширина запрещённой зоны εg ~ 5 эВ. Энергия, котоВалентнаярую может получить электрон на средней длинезонатранспортного пробега, равна 10–4 ÷ 10–8 эВ. Этого нехватит для перехода электрона из валентной зоны взону проводимости через запрещённую зону, но хватит для перехода электрона на другой уровень в зонепроводимости (переход показан стрелкой наРис. 45.6РИС.

45.6). В образце, в котором зона проводимостизаполнена частично, будет идти ток, а в котором она пуста – не будет.6.6.3. Деление твёрдых тел на проводники, диэлектрики и полупроводникиДеление веществ в твёрдом состоянии на проводники, диэлектрики и полупроводники с точки зрения зонной теории показано на энергетических диаграммах вТАБЛ. 45.1.350Таблица 45.1ПроводникиДиэлектрикиЗонапроводимостиЗонапроводимостиПолупроводникиЗонапроводимости5 эВВалентная зонаВалентная зона1 эВВалентная зона6.6.4.

ПроводникиСуществуют два варианта строения энергетических зон в проводнике – либо зонапроводимости частично заполнена (РИС. 45.7), либо она перекрывается с валентной зоной (РИС. 45.8).1. Зона проводимости частично заполненаЗона проводимости заполнена наполовину, есть вакантные места выше уровняФерми.

Можно создать электрический ток.εi2sЗонапроводимостиεFLi1sВалентнаязонаf(εi) 1Рис. 45.72. Зона проводимости перекрывается с валентной зонойВалентная зона (зона 2s на диаграмме РИС. 45.8) заполнена полностью, но она перекрывается с незаполненной зоной 2p. Можно создать электрический ток.351εiЗонапроводимости2p2sεFВалентная зонаBe1sf(εi) 1Рис. 45.8Зонная теория объясняет, почему трехвалентный алюминий проводит электрический ток хуже, чем одновалентная медь (см. диаграмму РИС. 45.9; на этой диаграмме показана только зона проводимости). Электропроводность проводниказависит не от числа свободных электронов, а от соотношения между числом электронов в зоне проводимости и числом вакантных мест в этой зоне.

Не все электроны могут создавать ток.CuAlРис. 45.96.6.5. ДиэлектрикиЭлектрический ток создать нельзя. Уровень Ферми расположен посередине запрещённой зоны (РИС. 45.10).εiЗонапроводимостиεg = 5 эВεFεg/2Валентнаязонаf(εi)1Рис. 45.106.6.6. ПолупроводникиК полупроводникам относятся кремний Si, германий Ge, теллур Te и ряд химических соединений, например, арсенид галлия GaAs. Химически чистые полупроводники – собственные полупроводники. При абсолютном нуле температуры валентная зоны полупроводника полностью заполнена, а зона проводимости – пу-352ста. Ширина запрещённой зоны εg у полупроводников меньше, чем у диэлектриков.1. Собственная проводимостьПри повышении температуры валентные электроны могут переходить из валентной зоны в зону проводимости, принимая участие в создании тока(РИС.

45.11). Но в валентной зоне возникают вакантные места – дырки, на которыемогут переходить электроны с других уровней валентной зоны и участвовать всоздании тока. Дырки – квазичастицы, несущие положительный заряд.εiЗонапроводимостиэлектронεg = 1 ÷ 2 эВεFдыркаεg/2Валентнаязонаf(εi)1Рис. 45.11Собственная проводимость полупроводника складывается из двух составляющих– электронной и дырочной проводимостей.С ростом температуры электропроводность полупроводника растёт.

Число электронов, перебрасываемых в зону проводимости тепловым воздействием, согласнофункции распределения электронов по энергиям (44.3)ΔNε 4πV322m3 hεΔεε  εFkT;e1Δε ~ kT ≈ 0,025 эВ; расстояние от нижнего края зоны проводимости до уровняФермиεε  εF  g  0,5 эВ ,2т. е. ε – εF >> kT и eε  εFkT1;ε  εF εg2 const– константа, слабо зависящая от температуры.Концентрация электронов в зоне проводимостиεεggε4π32n  3 2mεF  g Δεe 2kT  n0e 2kT ,h2n0 – константа, слабо зависящая от температуры.