1598082982-ec6eac7a67110b7411640c3bff1b0d60 (Конспект лекций по физике в электронном виде (2015)), страница 46

43.3, а функции rλ, T – на РИС. 43.4.rω, Tω0Рис. 43.36.3.5. Законы излучения чёрного тела1. Закон Кирхгофа2. Закон Планка3. Закон Стефана-Больцмана: интегральная излучательная способность чёрного тела пропорциональна четвёртой степени термодинамической температуры:RT  σT 4 ,где σ  5,67  108Вт– постоянная Стефана-Больцмана.КДоказательствоИнтегральная излучательная способность чёрного тела1 kTω kT RT   rω ,T dω  ω e  1  dω 222πc2πc 00ωξ ;ОбозначимkT43k4RT T 4  ξ 3 eξ  132πc013 ω0  kT 1 kTω  ω e  1 d .  kT dξ .Интеграл в этом выражении – это константа, табличная величина.

ПоэтомуRT ~ T4, ч. т. д.3374. Закон смещения Вина: длина волны, соответствующая максимуму спектральной излучательной способности чёрного тела, обратно пропорциональна его термодинамической температуре;λmT  b ,где b = 2,90∙10–3 м∙К – постоянная Вина.ДоказательствоУсловие максимума спектральной излучательной способностиdrλ ,Tdλ 0.из формулы Планкаhc hchc5λ6  e kTλ  1   λ5e kTλ0,kTλ2hc5e kTλ  5 Обозначимhchc kTλe 0.kTλhc x ; получимkTλxe x  5e x  5  0 .Это трансцендентное уравнение, имеющее корень x0:hchc, λmT x0  const , ч. т. д.kTλmkx0На РИС. 43.4 показано, как изменяется спектральная излучательная способностьrλ, T в зависимости от температуры излучающего чёрного тела. Более нагретое тело излучает больше во всём диапазоне длин волн; максимум его спектральнойизлучательной способности смещён в сторону более коротких волн.rλ, TT2 > T1T10λ2m λ1mλРис. 43.4Демонстрация: Закон Вина5.

Формула Рэлея-Джинса338Из классических соображений можно получить формулуω2kT2πc 2– формула Рэлея-Джинса. Из этой формулы следуетrω ,T RT   rω ,T dω  0– «ультрафиолетовая катастрофа». Получается, что энергия излучения телабесконечно велика, что противоречит закону сохранения энергии.Ультрафиолетовая катастрофа была преодолена Планком, который при выводе формулы для спектральной излучательной способности воспользовалсягипотезой о том, что энергия гармонического осциллятора может приниматьтолько дискретный ряд значений: ħω, 2ħω, 3ħω и т.

д., кратных кванту энергии.Формула Рэлея-Джинса – частный случай формулы Планка при малых часто ωтах излучения 1 : kTrω ,T ω32πc 2ωe kT  1ω3kT ω2kT.2πc 2 ω2πc 2339Лекция 446.3.6. Оптическая пирометрияОптическая пирометрия – совокупность оптических методов измерения температур, основанных на законах теплового излучения. Приборы, которые при этомиспользуются, называются пирометрами.Пирометрырадиационныерегистрируют интегральноеизлучение нагретого телаоптическиерегистрируют излучениенагретого тела на узкомучастке спектраВведём ряд энергетических характеристик излучения79.Поток излучения Φ – средняя мощность оптическоdΩго излучения за время, много большее периода свеφтовой волны.Энергетическая освещённость – поток излучения,dSприходящийся на единичный участок поверхноститела, на которое падает свет:Рис. 44.1dΦE.dSЭнергетическая сила света – поток излучения тела в определённом направлении (под углом φ к нормали поверхности излучающего тела), приходящийся наединичный телесный угол:dΦI.dΩЭнергетическая яркость – энергетическая сила света, испускаемого с единичного участка поверхности тела в направлении нормали:dI.BdS cos φСмысл обозначений dS, dΩ, φ показан на РИС.

44.1.Спектральная плотность энергетической яркости – энергетическая яркостьв единичном диапазоне частот (длин волн):dBdBbω , bλ .dλdωРадиационная температура Tр – температура чёрного тела, при которой егоэнергетическая яркость равна энергетической яркости исследуемого тела:B0 Tр   B .Следует отличать вводимые ниже характеристики от аналогичных фотометрических величин,которые вводятся для видимого излучения и привязаны к чувствительности глаза к оптическомуизлучению.79340Яркостная температура Tя – температура чёрного тела, при которой его спектральная плотность энергетическая яркость равна спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела для данной длины волны:bλ0 Tя   bλ .Цветовая температура Tц – температура чёрного тела, при которой относительные распределения спектральной плотности энергетической яркости исследуемого тела и чёрного тела близки в видимой области спектра:bλ0  λ1 ,Tц b  λ2 ,Tц 0λbλ  λ1 ,T bλ  λ2 ,T .Обычно λ1 = 660 нм (красный) и λ2 = 470 нм (зелёно-голубой).Цветовая температура серого тела совпадает с её истинной температурой и можетбыть найдена из закона смещения Вина.6.4.

Электронный газ в металле6.4.1. Общие положения. Модель свободных электроновЭлектронные оболочки в узлах кристаллической решётки перекрываются, в результате этого валентные электроны обобществляются и становятся свободными. Можно считать, что сила, с которой кристаллическая решётка, а также соседние электроны действуют на электрон, равна нулю. Поэтому в первом приближении электронный газ можно представить как коллектив нейтральных частиц смассой m = me, находящихся в сосуде объёмом, равном объёму образца металла.Свойства электронного газа1. Электроны находятся внутри потенциального ящика.

Энергия электроновквантована.2. Электронный газ вырожден (критическая температура Tкр ~ 5 К).13. Спин электрона s  . Электроны подчиняются статистике Ферми-Дирака.2Функция распределения (плотность заполнения фазовых ячеек)1.f  εi   εi  μe kT  16.4.2. Распределение электронов по энергиямПодсчитаем число электронов с энергией от εi до εi + dε. По определению функциираспределенияdNεi.f  εi  dg(Далее индекс i опускаем.) Число фазовых ячеек, в которых энергия частицы лежит от εi до εi + dε,dΓ 2VdΓdg  3  3 p ,h 2hздесь V – объём образца, dΓp – элемент фазового объёма в подпространстве импульсов;341dΓp  4πp2dp .Выразим импульс электрона через его энергию:p  2mε , dp 2mεdεmdε;2 ε2mε4π  2mε  mdεdΓp  4πm 2mεdε ;2mε2V4πV32dg  3 4πm 2mεdε  3 2mεdε .hhЧисло электронов с энергией от ε до ε + dεdNε 4πV322m3 hεdεeεμkT.1Функция распределения электронов по энергиямdNF ε  ε ,dεF ε  4πV322m3 hεeεμkT.1График этой функции представлен на РИС.

44.2.F(ε)0εРис. 44.26.4.3. Электронный газ при T = 0 К1. Функции распределения электронов по энергетическим ячейкам и по энергиямВ потенциальной яме имеется система энергетических уровней. При T = 0 заполNняетсянижний уровней (N – общее число электронов). Последний заполнен2ный энергетический уровень при T = 0 – уровень Ферми, а энергия электрона, соответствующая этому уровню, – энергия Ферми εF. При T = 0 заполнены все энергетические ячейки с εi ≤ εF. Поэтому функция распределения по энергетическимячейкам при T = 0342 f  εi   1, εi  εF , f  εi   0, εi  εF ;график этой функции изображён на РИС. 44.3А.

С другой стороны, подставляя T = 0в функцию распределения Ферми-Дирака, получим1f ε eε  μ0kT 1 e   1  1, ε  μ0 ,1 0, ε  μ0 , 1 T 0   e  1здесь μ0 – химический потенциал электронного газа при T = 0. Таким образом,μ0  εF(в общем случае μ ≠ εF).Функция распределения электронов по энергиям32 4πVε , ε  μ0 ,4πV32 3  2mF  ε   3 2mε f ε    hh0, ε  μ0 .График этой функции представлен на РИС. 44.3Б.f(ε)F(ε)10εμ0 = εF0μ0 = εFаεбРис. 44.32.

Расчёт энергии ФермиУсловие нормировки функции F(ε):00N   dNε   F  ε  dε .При T = 0εF324πV4πV8πV3232 ε32N   3 2mεdε   0dε  3 2m F  3 2m εF3 2 ,hh3 2 3h0εF23 3Nh3 εF   8πV 231  3n 2m  π h2,8m(44.1)343N– концентрация электронов.VЧисленная оценкаn ~ 1028 м3, m ~ 10–30 кг ⇒ εF = (3 ÷ 10) эВгде n 3.

Расчёт средней энергии электронаСреднее значение энергии электронаε  εF  ε  dε0 F  ε  dε.N0При T = 0εε 521 F 4πV4π8π32 323 2 εF322mεdε2m2m εF5 2 .3 33N0 hnh5 2 5nhТак как из (44.1) следуетπεF3 2  8mn3h3328π 2m εF5 2 3h332ε 5h3πεF3 2  8m32,3 εF .5Численная оценкаСредняя энергия электрона3ε   5 эВ  3 эВ ;5среднеквадратичная скорость электронаvкв 2εm 106м.с4. Внутренняя энергия электронного газаВнутренняя энергия 1 моля электронного газаU  NA ε ,NA – число Авогадро.Найдём эффективную температуру классического идеального газа, внутренняяэнергия 1 моля которого равна внутренней энергии 1 моля электронного газа приT = 0:332εNA ε  NA εид ⇒ kTэфф  εF ⇒ Tэфф  F .255kЧисленная оценкаВнутренняя энергия 1 моля электронного газа при T = 0U  6  1023  3  1,6  1019 Дж  300 кДж .344Для сравнения: внутренняя энергия 1 моля классического идеального газа приT = 300 КUид  3RT  3 кДж !Здесь R – универсальная газовая постоянная.Эффективная температура классического идеального газа при εF = 5 эВTэфф 2 5  1,6  1019 2  104 К .235 1,38  10Между классическими и квантовыми представлениями огромная разница!6.4.4.