теплофизические свойства твёрдых тел, страница 3

Àâòîðû ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè ðàññìîòðåëè òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ëèíåéíîé öåïî÷êè àòîìîâ, âçàèìîäåéñòâóþùèõ òîëüêî ñ áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè. Ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö îíè îïèñûâàëè ñïîìîùüþ ïîòåíöèàëà ËåííàðäàÄæîíñà (1.5). Àâòîðû ïîëó÷èëè äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ëèíåéíîé öåïî÷êè âûðàæåíèåk m+n+3,α=(1.20)2mnDãäå D ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè. Ïóò¼ì íåñëîæíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ìîæíîïîêàçàòü, ÷òî ýòà îðìóëà èäåíòè÷íà ïîëó÷åííîìó íàìè ðàíåå âûðàæåíèþ äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ â ñëó÷àå äâóõàòîìíîéìîäåëè (îðìóëà 1.14). Ýòî ñîâïàäåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ýëåìåíòàðíûé12Soma J., Ogi M. // J.

Phys. So. Japan. 1953. V. 8. P. 6.MDonald D.K.C., Roy S.K. // Phys. Rev. 1955. V. 97. P. 673.15ðàñ÷¼ò, ïðîâåä¼ííûé äëÿ ïðîñòåéøåé ìîäåëè òâ¼ðäîãî òåëà, äà¼ò ñòîëüæå ïðàâèëüíûå ðåçóëüòàòû, ÷òî è ðàñ÷¼ò, òðåáóþùèé ãðîìîçäêèõ âû÷èñëåíèé.  äàííîé ðàáîòå ïðîâåä¼í òàêæå ïîäðîáíûé àíàëèç ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî òåïëîâîìó ðàñøèðåíèþ íåêîòîðûõ ìåòàëëîâñ îáú¼ìíî- è ãðàíåöåíòðèðîâàííîé ðåø¼òêàìè. Àâòîðû ïîëó÷èëè õîðîøåå ñîãëàñèå ýêñïåðèìåíòàëüíûõ äàííûõ ïî êîýèöèåíòàì òåïëîâîãîðàñøèðåíèÿ äëÿ ýòèõ ðåø¼òîê ñ ðàñ÷¼òíûìè âåëè÷èíàìè, ïîëó÷åííûìèïî îðìóëå (1.20). Âî âñåõ ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ âåëè÷èíà k2 m+n+3mnîñòà¼òñÿ ïðàêòè÷åñêè ïîñòîÿííîé, ò.å.

êîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëåí ýíåðãèè äèññîöèàöèè. Ýòîò àêò õîðîøîèçâåñòåí è îïðàâäûâàåòñÿ íà îïûòå; äåéñòâèòåëüíî, ÷åì áîëüøå ýíåðãèÿäèññîöèàöèè (÷åì âûøå òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ), òåì ìåíüøå êîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ. ðàáîòàõ P.P.M. Meinke (Canad. J. Phys. 1962. V. 40. N 2. P. 283) èE. Bauer, Ta-You Wu (Phys. Rev.

1956. V. 104. N 4. P. 914) áûëà ïîëó÷åíàòåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿíà îñíîâå äâóõàòîìíîé ìîäåëè è ìîäåëè ëèíåéíîé öåïî÷êè â êâàíòîâîìåõàíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè.  ðåçóëüòàòå îêàçàëîñü, ÷òî êîýèöèåíòòåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ èçìåíÿåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé, êàê òåïëî¼ìêîñòü,ò.å. α(T ) ∼ CV (T ). Àíàëîãè÷íîå ñîîòíîøåíèå äëÿ ëèíåéíîé öåïî÷êè áûëî âûâåäåíî â ðàáîòå K.N. Pathak, B. Deo (Phys. Status Solidi. 1966. V. 17.N 1. P. 77) ìåòîäîì òåðìîäèíàìè÷åñêèõ óíêöèé ðèíà.

Ýòîò ðåçóëüòàò òàêæå ñîãëàñóåòñÿ ñ îðìóëîé, ïîëó÷åííîé â òåðìîäèíàìè÷åñêîéòåîðèè òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ.Ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ðàçâèòà òîëüêîäëÿ î÷åíü ïðîñòûõ ìîäåëåé äëÿ äâóõàòîìíîé è äëÿ ëèíåéíîé ìîäåëè òâ¼ðäîãî òåëà. Îáîáùåíèå òåîðèè íà òð¼õìåðíûé ñëó÷àé ðåàëüíîãîêðèñòàëëà ïðåäñòàâëÿåò âåñüìà áîëüøèå òðóäíîñòè. ðàáîòå P. Lioyd, J.J. O'Dwyer (Austral. J. Phys.

1963. V. 16. N 2.P. 193) áûëà ïðåäïðèíÿòà ïîïûòêà ïðèáëèçèòü ìîäåëü ëèíåéíîé öåïî÷êè ê ðåàëüíîìó êðèñòàëëó. Äëÿ ýòîãî ñäåëàíî äâà ïðåäïîëîæåíèÿ: 1)ëèíåéíàÿ öåïî÷êà àòîìîâ èìååò ïëîòíóþ óïàêîâêó, ò.å. òàêàÿ öåïî÷êàîòâå÷àåò ëèíåéíîìó ðàñïîëîæåíèþ àòîìîâ â òâ¼ðäîì òåëå â íàïðàâëåíèè ïëîòíåéøåé óïàêîâêè; 2) öåïî÷êà àòîìîâ íå ÿâëÿåòñÿ ñòðîãî îäíîìåðíîé â òîì ñìûñëå, ÷òî êàæäûé îòäåëüíûé àòîì èìååò òðè ñòåïåíèñâîáîäû. àñ÷¼ò áûë ïðîâåä¼í íà ïðèìåðå àðãîíà, äëÿ êîòîðîãî èçâåñòåíïîòåíöèàë ìåæàòîìíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïîëó÷åííàÿ âåëè÷èíà êîýèöèåíòà ðàñøèðåíèÿ 6,27·10−4 ãðàä−1 íàõîäèòñÿ â õîðîøåì ñîãëàñèèñ ýêñïåðèìåíòàëüíûì çíà÷åíèåì α = (6,0 ± 0.3)·10−4 ïðè 80 Ê.161.5. Òåðìîäèíàìè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿàññìîòðåòü âîïðîñ î òåïëîâîì ðàñøèðåíèè ìîæíî òàêæå è íà îñíîâå òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ.

Ïðåîáðàçóåì ñîîòíîøåíèå Ìàêñâåëëà:∂S∂V=−∂T P∂P Tê ñëåäóþùåìó âèäó: ∂V∂S∂V=−,∂T P∂V T ∂P Tîòêóäà äëÿ êîýèöèåíòà îáú¼ìíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ β ∗ ñëåäóåòâûðàæåíèå1 ∂V∂Sβ∗ = −(1.21)=χ,V ∂T P∂V Tãäå χ = − V1 ∂V∂P T èçîòåðìè÷åñêàÿ ñæèìàåìîñòü.∂SÒàê êàê òåïëî¼ìêîñòü ïðè ïîñòîÿííîì îáú¼ìå CV = T1 ∂T, òî èçV(1.21) ñëåäóåòCV χ ∂Tβ∗ = −.T∂V SÏîëó÷åííîå âûðàæåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå∂ ln TCV χβ∗ = −,∂ ln V S Vèëèβ∗ =(1.22)γCV χ,Vln Tãäå γ = − ∂∂ lnV S õàðàêòåðèçóåò èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû òåëà ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èçìåíåíèè îáú¼ìà.Âïåðâûå äàííûå ñîîòíîøåíèÿ áûëè âûâåäåíû ðþíàéçåíîì.Ëèòåðàòóðà1.2.3.4.5.Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå òâ¼ðäûõ òåë. Ì.: Íàóêà, 1974.Ââåäåíèå â òåîðèþ ìåòàëëîâ. Ì.Ë.: ÈÒÒË, 1950.Ôåðìè Ý.

Ìîëåêóëû è êðèñòàëëû. Ì.: ÈË, 1947.Êèòòåëü ×. Ââåäåíèå â èçèêó òâ¼ðäîãî òåëà. Ì.: Ôèçìàòãèç, 1963.Áðàíäò Í.Á., ×óäèíîâ Ñ.Ì. Ýëåêòðîíû è îíîíû â ìåòàëëàõ. Ì.:Èçä-âî ÌÓ, 1990.Íîâèêîâà Ñ.È.Ôðåíêåëü ß.È.172. Òåðìîäèíàìèêà äåîðìàöèè òâ¼ðäûõ òåë2.1. Òåðìîäèíàìè÷åñêèé àíàëèçÂïåðâûå òåðìîäèíàìèêà äåîðìàöèè áûëà ðàññìîòðåíà â 1857 ãîäóÒîìñîíîì (ëîðäîì Êåëüâèíîì). Îí ïîêàçàë, ÷òî äåîðìàöèÿ óïðóãèõòåë, ïîäîáíî ðàñøèðåíèþ ãàçîâ, ñîïðîâîæäàåòñÿ òåðìè÷åñêèìè ýåêòàìè: íàãðåâàíèåì èëè îõëàæäåíèåì. Òàê, íàïðèìåð, òåìïåðàòóðà ìåòàëëè÷åñêîé ïðîâîëîêè óìåíüøàåòñÿ ïðè å¼ àäèàáàòè÷åñêîì óäëèíåíèè. îòëè÷èå îò ìåõàíè÷åñêîãî îïèñàíèÿ äåîðìàöèîííûõ ïðîöåññîâíà îñíîâå àíàëèçà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè òåðìîäèíàìè÷åñêîå îïèñàíèå îáóñëîâëåíî àíàëèçîì òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïîòåíöèàëîâ (âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ, ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ è äð.).

Ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîé òî÷êè çðåíèÿ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îïðåäåëåíèå ìåõàíè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê (íàïðÿæåíèÿ, äåîðìàöèÿ) íåîáõîäèìî äîïîëíèòü îäíîâðåìåííûì èçìåðåíèåìòåìïåðàòóðíûõ èëè òåïëîâûõ èçìåíåíèé, âîçíèêàþùèõ ïðè àäèàáàòè÷åñêîì èëè èçîòåðìè÷åñêîì ïðîöåññàõ. Òåïëîâûå ýåêòû ïðè äåîðìàöèè îáû÷íî ìàëû. Ïîýòîìó èõ èçìåðåíèå ïðåäñòàâëÿåò òðóäíîñòü òåðìîäèíàìè÷åñêîãî îïèñàíèÿ äåîðìàöèîííûõ ïðîöåññîâ â îòëè÷èå îò ìåõàíè÷åñêîãî. Âìåñòå ñ òåì â òåïëîâûõ ýåêòàõ äåîðìàöèîííûõ ïðîöåññîâ òâ¼ðäûõ òåë çàëîæåíà ñóùåñòâåííàÿ èíîðìàöèÿ î ìîëåêóëÿðíûõèçìåíåíèÿõ, ïðîèñõîäÿùèõ ïðè äåîðìàöèè.

Ïîýòîìó ñ èçè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêèé ïîäõîä ê îïèñàíèþ äåîðìàöèè ÿâëÿåòñÿïðåäïî÷òèòåëüíûì.Äëÿ ïðîñòîòû ðàññìîòðèì îäíîîñíîå ðàñòÿæåíèå òâ¼ðäîãî òåëà âîðìå ñòåðæíÿ ñ íà÷àëüíîé äëèíîé l ïîä äåéñòâèåì ðàñòÿãèâàþùåãîóñèëèÿ f . àáîòà dA, êîòîðóþ ñîâåðøàåò îáðàçåö ïðè áåñêîíå÷íî ìàëîéäåîðìàöèè, ñêëàäûâàåòñÿ èç ðàáîòû ñèëû f (ñ îáðàòíûì çíàêîì) èðàáîòû îáðàçöà ïðîòèâ ñèë àòìîñåðíîãî äàâëåíèÿ P :dA = −f dl + P dV,(2.1)ãäå P âíåøíåå äàâëåíèå, äåéñòâóþùåå íà ñèñòåìó; dV èçìåíåíèåîáú¼ìà; f ðàñòÿãèâàþùàÿ ñèëà; dl èçìåíåíèå äëèíû ñòåðæíÿ.Ïðè äåîðìàöèè ñòåðæåíü ñîâåðøàåò ðàáîòó ïðîòèâ âíåøíåãî äàâëåíèÿ P dV .

Ïðè ðàñòÿæåíèè ñòåðæíÿ óäëèíåíèå îáðàçöà ñîïðîâîæäàåòñÿóìåíüøåíèåì åãî ïîïåðå÷íûõ ðàçìåðîâ. Èç-çà ìàëîñòè èçìåíåíèÿ îáú¼ìà ñòåðæíÿ ïðè äåîðìàöèè âòîðîé ÷ëåí äëÿ àòìîñåðíîãî äàâëåíèÿíà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ ìåíüøå ïåðâîãî ÷ëåíà â óðàâíåíèè (2.1), âñëåäñòâèå ÷åãî èì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. ðàññìàòðèâàåìîé çàäà÷å ïåðâûé çàêîí òåðìîäèíàìèêè çàïèøåòñÿâ âèäådU = T dS + f dl,(2.2)18ãäå dU èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè; T òåìïåðàòóðà; dS èçìåíåíèå ýíòðîïèè.Ïîäîáíî ñîñòîÿíèþ ãàçà, ñîñòîÿíèå ñòåðæíÿ îïðåäåëÿåòñÿ çàäàíèåìäâóõ íåçàâèñèìûõ ïåðåìåííûõ, íàïðèìåð, â äàííîé çàäà÷å óäëèíåíèåì è òåìïåðàòóðîé.

Òîãäà (2.2) ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü è ïîëó÷èòüdF = −SdT + f dl,ãäå F = U − T S ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ.Èç (2.3) ñëåäóåò∂FS=−∂T lè∂Ff=.∂l TÒàê êàê ñâîáîäíàÿ ýíåðãèÿ óíêöèÿ ñîñòîÿíèÿ, òî ∂S∂f−=.∂l T∂T lÒåïåðü èçìåíåíèå ýíòðîïèè ìîæíî çàïèñàòü â âèäå∂S∂S∂S∂fdS =dT +dl =dT −dl.∂T l∂l T∂T l∂T l(2.3)(2.4)(2.5)(2.6)(2.7)Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèÿ (2.2) ñ ó÷¼òîì ñîîòíîøåíèÿ (2.6) ïðèâîäèòê îðìóëå∂f∂U(2.8)=f −T.∂l T∂T lÊ ýòèì òåðìîäèíàìè÷åñêèì âûðàæåíèÿì íåîáõîäèìî äîáàâèòü ñîîòâåòñòâóþùèå òåïëî¼ìêîñòè ïðè ïîñòîÿííûõ ïàðàìåòðàõ. Ïî îïðåäåëåíèþ∂Q∂SCx =(2.9)=T,∂T x∂T xãäå x ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ëèáî f , ëèáî l.Ïðèâåä¼ííûå ñîîòíîøåíèÿ ïîçâîëÿþò óñòàíîâèòü ñâÿçü ìåæäó òåïëîâûìè ÿâëåíèÿìè, ñâÿçàííûìè ñ âîçíèêíîâåíèåì íàïðÿæåíèé è äåîðìàöèé â óïðóãèõ òåëàõ.àññìîòðèì èçìåíåíèå òåìïåðàòóðû ïðè ðàñòÿæåíèè òåïëîèçîëèðîâàííîãî ñòåðæíÿ.

Åñëè óñèëèå ïðèêëàäûâàåòñÿ áûñòðî, òî ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò àäèàáàòè÷åñêîå èçìåíåíèå (ïîíèæåíèå) òåìïåðàòóðû, âåëè÷èíà19êîòîðîãî îïðåäåëÿåòñÿ èç íåèçìåííîñòè ýíòðîïèè:∂fCldl = 0.dT −dS =T∂T l(2.10)Èç ñîîòíîøåíèÿ (2.10) ñëåäóåòTdT =Cl∂f∂T(2.11)dl.lÈçìåíåíèå òåìïåðàòóðû îáû÷íî î÷åíü íåâåëèêî, è ïîýòîìó â (2.11) ìîæíî çàìåíèòü T íà T0 .

Òîãäà ïðè áîëüøèõ èçìåíåíèÿõ äëèíû ñòåðæíÿìîæíî T0 âûíåñòè èç-ïîä èíòåãðàëà:T − T0 =T0ClZl ∂f∂Tl0dl.lÒàêèì îáðàçîì, íàéäåíà ñâÿçü ìåæäó óäëèíåíèåì îáðàçöà è èçìåíåíèåìåãî òåìïåðàòóðû. îáû÷íûõ òâ¼ðäûõ òåëàõ óïðóãîñòü ÿâëÿåòñÿ ýíåðãåòè÷åñêîé è ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî, äåîðìèðóÿ îáðàçåö, ìû ñîâåðøàåì ðàáîòó ïðîòèâ ñèëìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ. Ïðè íàãðåâàíèè îáðàçåö ðàñøèðÿåòñÿ,ñðåäíèå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó åãî ìîëåêóëàìè óâåëè÷èâàþòñÿ, ìåæìîëåêóëÿðíûå ñèëû è, ñëåäîâàòåëüíî, ñèëû óïðóãîñòè â îáðàçöå îñëàáåâàþò.2.2. Äåîðìàöèÿ óïðóãèõ ñòåðæíåéÂûðàæåíèå äëÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ïîòåíöèàëà ñâèäåòåëüñòâóþò îòîì, ÷òî ïðèëîæåíèå ñèë ê òâ¼ðäûì òåëàì ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåìêàê âíóòðåííåé ýíåðãèè, òàê è ýíòðîïèè (èëè òåìïåðàòóðû). Îäíàêî,îñòàâàÿñü â ðàìêàõ åíîìåíîëîãè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè, íåëüçÿ ïîëó÷èòü îòâåò íà âîïðîñ î ïðèðîäå ýòèõ èçìåíåíèé è èõ ñîîòíîøåíèè.

Ýòîñâÿçàíî ñ òåì, ÷òî â ðàìêàõ åíîìåíîëîãè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè íåëüçÿ îïðåäåëèòü, êàê èçìåíÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèö òâ¼ðäîãîòåëà ïðè äåîðìàöèè è, ñëåäîâàòåëüíî, íåëüçÿ óñòàíîâèòü, êàê èçìåíÿåòñÿ åãî òåìïåðàòóðà èëè ýíòðîïèÿ. Îòâåòû íà ýòè âîïðîñû ìîæíî ïîëó÷èòü ëèøü íà îñíîâå óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ. Òàêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòüïîëó÷åíû ëèáî ìåòîäàìè ñòàòèñòè÷åñêîé òåðìîäèíàìèêè, ëèáî ýêñïåðèìåíòàëüíûì ïóò¼ì. Ïðè àíàëèçå òåðìîäèíàìèêè äåîðìàöèè òâ¼ðäûõòåë áóäåì èñõîäèòü èç äàííîãî ïîëîæåíèÿ. òåðìîäèíàìèêå ñòåðæíåé óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéñîîòíîøåíèå f = f (l, T ). ßâíûé âèä ýòîãî ñîîòíîøåíèÿ â îáëàñòè áîëüøèõ äåîðìàöèé è â øèðîêèõ òåìïåðàòóðíûõ èíòåðâàëàõ äîñòàòî÷íî20ñëîæåí è ìîæåò áûòü íàéäåí òîëüêî ýìïèðè÷åñêè. Îäíàêî â äîâîëüíî øèðîêèõ èíòåðâàëàõ òåìïåðàòóð, äàë¼êèõ îò òî÷êè ïëàâëåíèÿ, è âîáëàñòè íåáîëüøèõ (óïðóãèõ) äåîðìàöèé ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèåñîîòíîøåíèÿ:l(T, 0) = l(0, 0)(1 + βT ),f = const = 0,(2.12)ãäå β êîýèöèåíò ëèíåéíîãî òåìïåðàòóðíîãî ðàñøèðåíèÿ ñòåðæíÿ,çàâèñÿùèé òîëüêî îò ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ, èl(T, f ) − l(T, 0)1 f=,l(T, 0)EΣ(2.13)ãäå E ìîäóëü Þíãà, çàâèñÿùèé òîëüêî îò ìàòåðèàëà ñòåðæíÿ, è Σ ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñòåðæíÿ.

Ýòî çàêîí óêà. Ïðè ýòîì ïðåíåáðåãàåòñÿ èçìåíåíèåì ïðè ðàñòÿæåíèè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ Σ.Îáúåäèíÿÿ ñîîòíîøåíèÿ (2.12) è (2.13), ïîëó÷èì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ ¾èäåàëüíîãî¿ ñòåðæíÿ:l−1 ,f = EΣ(2.14)l0 (1 + βT )ãäå l0 = l(0, 0).Òàê êàê äëÿ áîëüøèíñòâà òâ¼ðäûõ òåë êîýèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ β ∼ 10−5 ãðàä−1 , òî β Ò ≪ 1 âïëîòü äî òåìïåðàòóð, áëèçêèõ êòåìïåðàòóðå ïëàâëåíèÿ. Âñëåäñòâèå äàííîãî àêòîðà óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ (2.14) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäål(1 − βT ) − 1 .f = EΣ(2.15)l0Íà ðèñ. 6 íà ïëîñêîñòè (f, l) ïðåäñòàâëåíû èçîòåðìû ñòåðæíÿ.