теплофизические свойства твёрдых тел, страница 2

Ïî ìåðå âîçðàñòàíèÿ ýíåðãèè àòîìà W1 , W2 , W3 . . . ðàñò¼ò àìïëèòóäà åãî êîëåáàíèé. Ïðè ýòîì ñìåùåíèåàòîìà âïðàâî áîëüøå, ÷åì ñìåùåíèå âëåâî.Ïðè T1 àòîìû êîëåáëþòñÿ òàê, ÷òî ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå èçìåíÿåòñÿ îò A1 äî B1 ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì r1 (ðèñ. 4). Ïðè áîëåå âûñîêîéòåìïåðàòóðå T2 ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå ìåíÿåòñÿ îò A2 äî B2 ñî ñðåäíèìçíà÷åíèåì r2 > r1 è ò.ä. Òàê êàê r1 < r2 < r3 . . ., òî òâ¼ðäîå òåëî ñ ïîâûøåíèåì òåìïåðàòóðû ðàñøèðÿåòñÿ.  ðåçóëüòàòå ñðåäíåå ïîëîæåíèåìåæäó àòîìàìè îòêëîíÿåòñÿ îò r0 âïðàâî è òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ïîë8íàÿ ýíåðãèÿ êîëåáëþùåãîñÿ àòîìà. Ñëåäîâàòåëüíî, âîçðàñòàíèå ïîëíîéýíåðãèè (èëè òåìïåðàòóðû) àòîìà ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè óâåëè÷èâàåòñÿ.

Ïðèìåíèòåëüíî ê êðèñòàëëó ýòîîçíà÷àëî áû, ÷òî ñ âîçðàñòàíèåì ýíåðãèè (òåìïåðàòóðû) îí íåïðåìåííîáóäåò ðàñøèðÿòüñÿ.1.2. Ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ òåîðèÿ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿÍà îñíîâàíèè äàííîé ïðîñòîé äâóõàòîìíîé ìîäåëè òâ¼ðäîãî òåëàÝ. Ôåðìè è ß.È. Ôðåíêåëåì áûëà âûâåäåíà ýëåìåíòàðíàÿ îðìóëà äëÿêîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ.Äëÿ ìàëûõ êîëåáàíèé àòîìîâ êðèñòàëëà âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ àòîìà U (r) ìîæíî ðàçëîæèòü â ðÿä ïîñòåïåíÿì ñìåùåíèÿ àòîìîâ îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Àíãàðìîíèçì â ýòîé äâóõàòîìíîé ìîäåëè áóäåò ó÷èòûâàòüñÿ ÷ëåíîì òðåòüåãîïîðÿäêà â ðàçëîæåíèè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè:1 d2 U1 d3 UdU2(r−r0 )+(r−r)+(r−r0 )3 +.

. .U (r) = U (r0 )+0dr r02 dr2 r06 dr3 r0(1.6)Ïîëîæèì 2 d U1 d3 UU (r0 ) = U0 ;=a;−= b;r − r0 = x.dr2 r02 dr3 r0Òîãäà, ó÷èòûâàÿ dUdr r0 = 0, ïîëó÷èì11U (r) ≈ U0 + ax2 − bx3 .23(1.7) îðìóëå (1.7) a êîýèöèåíò êâàçèóïðóãîé ñèëû, b êîýèöèåíòàíãàðìîíè÷íîñòè.Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà êîëåáëþùèéñÿ àòîì ñî ñòîðîíû äðóãîãî àòîìà, ðàâíàdU= −ax + bx2 .f =−(1.8)dxÇäåñü ê ÷ëåíó, ïðîïîðöèîíàëüíîìó ñìåùåíèþ, äîáàâëÿåòñÿ ÷ëåí, ó÷èòûâàþùèé àñèììåòðèþ ñèëû âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè.

Äîáàâî÷íûé ÷ëåí â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ïðîïîðöèîíàëåí êîýèöèåíòó àíãàðìîíè÷íîñòè b. Äîáàâî÷íàÿ ñèëà èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è êîýèöèåíòàíãàðìîíè÷íîñòè b. Àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà ïîïðàâêè òåì áîëüøå, ÷åìáîëüøå ñìåùåíèå x. Îòêëîíåíèå îò çàêîíà óïðóãîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ñîäåðæèòñÿ âî âòîðîì ÷ëåíå, îáû÷íî çíà÷èòåëüíî ìåíüøåì, ê êîòîðîìó9ëèøü â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ íóæíî äîáàâëÿòü ÷ëåíû âûñøèõ ïîðÿäêîâ.Òàê êàê ïðîáëåìà ðàññìàòðèâàåòñÿ òîëüêî êà÷åñòâåííî, òî îãðàíè÷èìñÿîáû÷íûì ðàññìîòðåíèåì.Ñâÿæåì êîýèöèåíò òåïëîâîãî ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ β â èçâåñòíîé îðìóëå l = l0 (1 + βT ), ãäå l è l0 ëèíåéíûå ðàçìåðû òåëà ïðèòåìïåðàòóðå T è T → 0 Ê ñîîòâåòñòâåííî ñ êîýèöèåíòîì àíãàðìîíè÷íîñòè b.Äëÿ ðàñ÷¼òà x ïðåäñòàâèì ýêñïîíåíòó â îðìóëå (1.3), èñïîëüçóÿâûðàæåíèå (1.7), â âèäåU0ax2bx3U= exp −exp −1+.exp −(1.9)kTkT2kT3kT îðìóëå (1.9) ýêñïîíåíòà, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àíãàðìîíè÷åñêîìó ÷ëåíó,ðàçëîæåíà â ðÿä 3 bx3bx≈ 1+.exp3kT3kTÈñïîëüçóÿ îðìóëû (1.4) è (1.9), íàéä¼ì x:∞∞R 4Rbax2ax2dx + 3kTdxx exp − 2kTx exp − 2kT−∞−∞.x= ∞∞RRax2bax2x3 exp − 2kTdx + 3kTdxexp − 2kT(1.10)−∞−∞ âûðàæåíèè (1.10)∞Z−∞ax2x exp −dx = 02kTè∞Z−∞ax2x exp −dx = 02kT3ââèäó íå÷åòíîñòè ïîäûíòåãðàëüíîé óíêöèè, àr∞Zax22πkTdx =exp −2kTa−∞è∞Z√3 πax2dx =x4 exp −5/2 .a2kT42kT−∞Îêîí÷àòåëüíî äëÿ ñðåäíåãî ðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè ïîëó÷èì âûðàæåíèåbx = 2 kT.(1.11)a10Òàêèì îáðàçîì, ïðè ó÷¼òå àíãàðìîíè÷åñêèõ ÷ëåíîâ â îðìóëå äëÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ïðè ïîâûøåíèè òåìïåðàòóðû óâåëè÷èâàåòñÿ íå òîëüêî àìïëèòóäà êîëåáàíèé àòîìîâ, íî òàêæå ïðîèñõîäèò óâåëè÷åíèå ñðåäíèõ ðàññòîÿíèé ìåæäó íèìè, ÷òî âåä¼ò ê ðàñøèðåíèþ òâ¼ðäîãî òåëà.Ýòîò æå ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ïóò¼ì ñëåäóþùèõ ïðîñòûõ ðàññóæäåíèé.

Ïîñêîëüêó êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå, êîòîðîå íàøè äâà àòîìàñîâåðøàþò ïîä âëèÿíèåì òåïëîâîãî äâèæåíèÿ, äîëæíî âñ¼ âðåìÿ èìåòüíàïðàâëåíèÿ ñîåäèíÿþùåé èõ ëèíèè, òî åìó ñîîòâåòñòâóåò òîëüêî îäíàñòåïåíü ñâîáîäû. Ïðè òåìïåðàòóðå T ñîãëàñíî ïðèíöèïó ðàâíîìåðíîãîðàñïðåäåëåíèÿ íà ýòî äâèæåíèå ïðèõîäèòñÿ ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ 12 kT . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñëè îãðàíè÷èòüñÿ òîëüêî óïðóãîé ÷àñòüþñèëû, ýòà ýíåðãèÿ ðàâíà ñðåäíåé ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè, ò.å.11kT = ax2 ,22èëèx2 =kT,a(1.12)ãäå x2 ñðåäíåå çíà÷åíèå x2 .Ñðåäíåå çíà÷åíèå f ñèëû f äîëæíî áûòü ðàâíî íóëþ (óñëîâèå ðàâíîâåñèÿ).

Ïîýòîìó èç (1.8) íàõîäèì−ax + bx2 = 0,x=b 2x .a(1.13)Çàìåíèì â îðìóëå (1.13) x2 ïðèáëèæ¼ííûì ñîîòíîøåíèåì (1.12).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ñ ïîãðåøíîñòüþ ïîðÿäêà b2 âûðàæåíèå:x=bkT,a2(1.14)ñîâïàäàþùåå ñ (1.11). Èç ýòîãî âûðàæåíèå ñëåäóåò, ÷òî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå x äâóõ àòîìîâ äðóã îò äðóãà ïðè íàãðåâàíèè ïðîïîðöèîíàëüíî òåìïåðàòóðå, êîýèöèåíòó àíãàðìîíè÷íîñòè è îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíîêâàäðàòó êâàçèóïðóãîé ñèëû.Êîýèöèåíò ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ β , ò.å.

óäëèíåíèå, îòíåñ¼ííîå êåäèíèöå äëèíû è òåìïåðàòóðû, ñîãëàñíî (1.14) ðàâåíβ=bk1 dxx.==r0 dTr0 Tr0 a2(1.15)Èòàê, êîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëåí êîíñòàíòå àíãàðìîíè÷íîñòè, ïðè÷¼ì çíàê ýòîãî êîýèöèåíòà ñîâïàäàåò ñî11çíàêîì b.  ñâîþ î÷åðåäü çíàê b îïðåäåëÿåòñÿ õàðàêòåðîì àñèììåòðèèU (r) âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Åñëè àñèììåòðèÿ ìèíèìóìà òàêîâà,÷òî âåòâü ïðè r < r0 ìåíÿåòñÿ êðó÷å, ÷åì ïðè r > r0 , òî ïðè íàãðåâàíèèòåëî ðàñøèðÿåòñÿ; åñëè êðóòèçíà ýòèõ âåòâåé ïðîòèâîïîëîæíà, òî ïðîèñõîäèò ñæàòèå ðåø¼òêè ïðè íàãðåâàíèè, åñëè ìèíèìóì ñèììåòðè÷åí,òåëî íå ðàñøèðÿåòñÿ.Ïîñêîëüêó kT ñîãëàñíî êëàññè÷åñêîé ñòàòèñòèêå åñòü ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ E îñöèëëÿòîðà â ïðèáëèæåíèè, â êîòîðîì êîëåáàíèÿ ìîæíî ñ÷èòàòüãàðìîíè÷åñêèìè, òî îðìóëó (1.14) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåx=Eb.a2(1.16)Àíàëèç (1.16) íàâîäèò íà ìûñëü, ÷òî ñðåäíþþ ýíåðãèþ E â (1.16) ìîæíî çàìåíèòü âûðàæåíèåì äëÿ ýíåðãèè ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà âêâàíòîâîé ìåõàíèêå:~ωE=(1.17).~ω−1exp kTÒàêèì îáðàçîì,2b2b kT~ω2bx= 2= 2 E= 2.~ωr0a r0 2a r0a r0 exp kT−1(1.18)Ïðè âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ kT > ~ω E = kT , è âûðàæåíèå (1.18) ïåðåõîäèò â (1.13).

Ëèíåéíûé çàêîí èçìåíåíèÿ ðàçìåðîâ òåë ïðè íàãðåâàíèèèìååò ìåñòî òîëüêî â íåêîòîðîé îáëàñòè ñðåäíèõ òåìïåðàòóð.Ïðè íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ T ≪ ~ωk~ωE∼~ωexp−.=kT ñâÿçè ñ ýòèì ìîæíî îæèäàòü, ÷òî êîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ äîëæåí ðåçêî óìåíüøàòüñÿ, êàê òîëüêî òåìïåðàòóðà îïóñòèòñÿ íèæå õàðàêòåðèñòè÷åñêîé äëÿ äàííîãî îñöèëëÿòîðà, à çàòåì ïðè T → 0 Êêîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ áóäåò ïðèáëèæàòüñÿ ê íóëþ. Òàêîéõàðàêòåð èçìåíåíèÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ íà îïûòå (òàáëèöà 1).

Ýòè âûâîäû íàõîäÿòñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ òðåòüèì íà÷àëîì òåðìîäèíàìèêè, ñîãëàñíî êîòîðîìó êîýèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ äîëæåí îáðàùàòüñÿ â íóëü ïðè T → 0 Ê.Ïðè òåìïåðàòóðàõ, áëèçêèõ ê Tïë , â çàâèñèìîñòè U îò x ñòàíîâÿòñÿñóùåñòâåííûìè âûñøèå àíãàðìîíè÷åñêèå ÷ëåíû, ïðîïîðöèîíàëüíûå x5 ,x7 è ò.ä. Ó÷¼ò ýòèõ ÷ëåíîâ ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ β è îòêëîíåíèþ îò ëèíåéíîãî ïî òåìïåðàòóðå çàêîíà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî,12lPSfrag replaementsl=l0l 0[1)]− T1T(+αT0T1T2èñ.

5. Çàâèñèìîñòü ðàçìåðîâ òåëà îòòåìïåðàòóðûëèíåéíûé çàêîí èçìåíåíèÿ ðàçìåðîâ òåëà ïðè íàãðåâàíèè èìååò ìåñòîòîëüêî â íåêîòîðîé îáëàñòè ñðåäíèõ òåìïåðàòóð (ðèñ. 5).Òàáëèöà 1Çàâèñèìîñòü êîýèöèåíòîâëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿîò òåìïåðàòóðû (10−6 Ê−1 )ÂåùåñòâîKCl KBr KI0000,74 2,23 4,517,5 22,5 26,036,9 38,5 40,9Òåìïåðàòóðà, Ê020652831.3. Ïðèìåð ðàñ÷¼òà êîýèöèåíòà ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ êà÷åñòâå ïðèìåðà ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà àòîìû ïðîòèâîïîëîæíî çàðÿæåíû îäíîêðàòíûìè èîíàìè. Ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ ñêëà2äûâàåòñÿ èç êóëîíîâñêîé ñèëû ïðèòÿæåíèÿ − re2 è ñèëû îòòàëêèâàíèÿ,îïèñûâàåìîé ïîòåíöèàëîì, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíûì ïðèáëèçèòåëüíî äåâÿòîé ñòåïåíè ðàññòîÿíèÿ óäàëåíèÿ, òàê ÷òî ñèëà îòòàëêèâàíèÿïðîïîðöèîíàëüíà rγ10 .13Âåëè÷èíà êîýèöèåíòà ïðîïîðöèîíàëüíîñòè γ îïðåäåëÿåòñÿ èçóñëîâèÿ, ÷òî ïðè ðàâíîâåñíîì ðàññòîÿíèè r0 îáå ñèëû ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû:e2γ= 10 ,r02r0γ = e2 r08 .Ïîýòîìó ñèëà f ðàâíàe2 r08e2+.r2r10Ïîäñòàâèâ r = r0 + x, ðàçëîæèì f ïî ñòåïåíÿì x:f =−f =−52e28e2x + 4 x2 + .

. .3r0r0Ïîñòîÿííûå a è b èìåþò, ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèÿa=8e2,r0b=52e2.r04Ïîäñòàâëÿÿ a è b â (1.15), ïîëó÷àåìα=52 kr0.64 e2Ñ ó÷¼òîì, ÷òî ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà k = 1,4·10−16 ýðã/K è e == 4,8·10−10 ÑÑ è r0 = 3·10−8 ñì, ïîëó÷èì β = 1,4·10−5 . Ýòî çíà÷åíèåïî ïîðÿäêó âåëè÷èíû ñîãëàñóåòñÿ ñ íàáëþäàåìûìè äëÿ èîííûõ ðåø¼òîêêîýèöèåíòàìè ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ. òàáëèöå 2 ïðèâåäåíû êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ.Òàáëèöà 2Òåìïåðàòóðíûå êîýèöèåíòû ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿ βïðè êîìíàòíîé òåìïåðàòóðå (10−6 Ê−1 )ÂåùåñòâîβLi56B2Cu16,6Gs18Ge5,8Fe12Co12Ag19Cd32,5Au141.4.

Êðàòêèé îáçîð ìîäåëåé ëèíåéíîãî ðàñøèðåíèÿòâ¼ðäûõ òåëÂûøå áûë ðàññìîòðåí âûâîä îðìóëû äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãîðàñøèðåíèÿ â ñëó÷àå äâóõàòîìíîé ìîäåëè òâ¼ðäîãî òåëà. Íåñìîòðÿ íà14ýëåìåíòàðíîñòü ìîäåëè è ðÿä äîïóùåíèé, ñäåëàííûõ ïðè âûâîäå îðìóëû (1.15), îíà äà¼ò ïðàâèëüíûé ïîðÿäîê âåëè÷èíû êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ.Äàëüíåéøèì øàãîì â ðàçâèòèè òåîðèè òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ïîñëóæèë ïåðåõîä îò äâóõàòîìíîé ìîäåëè òâ¼ðäîãî òåëà ê ðàññìîòðåíèþ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ öåïî÷êè àòîìîâ. Ïåðâûé ðàñ÷¼ò òàêîãî ðÿäà áûë ïðîäåëàí Ñîìà è Îæè1 , êîòîðûå âíà÷àëå ðàññìîòðåëè îáû÷íóþ äâóõàòîìíóþ ìîäåëü, ïðèíÿâ äëÿ ïîòåíöèàëà âçàèìîäåéñòâèÿ íåïàðàáîëè÷åñêóþóíêöèþ, è âûâåëè îðìóëó äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿâ âèäå1 kε,α=(1.19)r0 4A2 Dãäå r0 ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå; A íåêîòîðàÿ ïîñòîÿííàÿ, çàâèñÿùàÿîò îðìû êðèâîé, õàðàêòåðèçóþùåé ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âáëèçèòî÷êè ðàâíîâåñèÿ; D ýíåðãèÿ äèññîöèàöèè; ε âåëè÷èíà, ñâÿçàííàÿ2Dñ òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ Tïë (ε2 = 4AkTïë ).Äàëåå àâòîðû ïîêàçàëè, ÷òî îáîáùåíèå âûáðàííîãî èìè ïîòåíöèàëàíà ñëó÷àé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêè ñ 3N ñòåïåíÿìè ñâîáîäû ïðèâîäèòê òàêîìó æå âûðàæåíèþ äëÿ êîýèöèåíòà òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, ÷òîè â ñëó÷àå âûøåèçëîæåííîé ìîäåëè.àñ÷¼ò êîýèöèåíòîâ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, âûïîëíåííûé ïî îðìóëå (1.19), äà¼ò õîðîøåå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè äëÿêîýèöèåíòîâ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ ìåòàëëîâ ñ ãðàíåöåíòðèðîâàííûìè ðåø¼òêàìè è íåñêîëüêî õóäøåå ñîãëàñèå ñ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè äëÿ ìåòàëëîâ ñ îáú¼ìíîöåíòðèðîâàííûìè ðåø¼òêàìè.Áîëüøîé èíòåðåñ ïðåäñòàâëÿåò ðàáîòà Ìàêäîíàëüäà è îÿ2 .