теплофизические свойства твёрдых тел

ÒÅÏËÎÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÅ ÑÂÎÉÑÒÂÀÒœÄÛÕ ÒÅËÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåïî êóðñóÎáùàÿ èçèêàìèíèñòåðñòâî îáðàçîâàíèÿ è íàóêè ðîññèéñêîé åäåðàöèèìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)Êàåäðà îáùåé èçèêèÒåïëîèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òâ¼ðäûõ òåëÓ÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèåïî êóðñó Îáùàÿ èçèêà2-å èçäàíèå, ïåðåðàáîòàííîå è äîïîëíåííîåÑîñòàâèòåëüÝ.Â. ÏðóòÌÎÑÊÂÀÌÔÒÈ2012ÓÄÊ 536åöåíçåíòÊàíäèäàò èçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê Â.

Ñ. ÁóëûãèíÒåïëîèçè÷åñêèå ñâîéñòâà òâ¼ðäûõ òåë: ó÷åáíî-ìåòîäè÷åñêîåïîñîáèå ïî êóðñó Îáùàÿ èçèêà / ñîñò. Ý. Â. Ïðóò. 2-å èçä., ïåðåðàá.è äîï. Ì.: ÌÔÒÈ, 2012. 32 ñ.Ìåòîäè÷åñêîå ïîñîáèå ïîñâÿùåíî îäíîìó èç ðàçäåëîâ òåðìîäèíàìèêè è ñòàòèñòè÷åñêîé èçèêè òåðìîäèíàìè÷åñêèì óíêöèÿì è èõ ïðèìåíåíèþ.

àññìîòðåíû îñíîâíûå âîïðîñû ñóùåñòâóþùèõ òåîðèé òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ òâ¼ðäûõ òåë è òåïëîâûõ ýåêòîâ, ñîïðîâîæäàþùèõìåõàíè÷åñêèå äåîðìàöèè óïðóãèõ òåë è ðåçèí. Äàííàÿ òåìà èçó÷àåòñÿâ êóðñå îáùåé èçèêè íà ïåðâîì êóðñå â Ìîñêîâñêîì èçèêî-òåõíè÷åñêîì èíñòèòóòå.Ïðåäíàçíà÷åíî äëÿ ñòóäåíòîâ ïåðâîãî è òðåòüåãî êóðñîâ ÌÔÒÈ èäëÿ ïðåïîäàâàòåëåé.ÓÄÊ 536 Ôåäåðàëüíîå ãîñóäàðñòâåííîå àâòîíîìíîåîáðàçîâàòåëüíîå ó÷ðåæäåíèå âûñøåãîïðîåññèîíàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ¾Ìîñêîâñêèé èçèêî-òåõíè÷åñêèé èíñòèòóò(ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò)¿, 20121. Òåïëîâîå ðàñøèðåíèåÂçàèìîäåéñòâèå àòîìîâ òâ¼ðäîãî òåëà ñêëàäûâàåòñÿ èç ñèë ïðèòÿæåíèÿ è ñèë îòòàëêèâàíèÿ.

Ñèëû ýòè ïî-ðàçíîìó çàâèñÿò îò ðàññòîÿíèÿìåæäó âçàèìîäåéñòâóþùèìè ÷àñòèöàìè (ðèñ. 1à).UUUîòrag replaementsr0rrUïðàáèñ. 1. Ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ àòîìîâ: Uîò ýíåðãèÿ îòòàëêèâàíèÿ, Uïð ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ (à); ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè (ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ) è ñ ó÷¼òîì àíãàðìîíè÷íîñòè (ñïëîøíàÿ ëèíèÿ) (á);r0 ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ ïðè T = 0 ÊÏðè ðàññìîòðåíèè êîëåáàíèé àòîìîâ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåø¼òêè, àòàêæå òåïëî¼ìêîñòè òâ¼ðäûõ òåë, ñâÿçàííîé ñ ýòèìè êîëåáàíèÿìè, ïðåäïîëàãàåòñÿ, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó àòîìàìè, óïðóãèå è àòîìûñîâåðøàþò ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ ñ ìàëûìè àìïëèòóäàìè îêîëî èõñðåäíèõ ïîëîæåíèé ðàâíîâåñèÿ.

Ýòî ïîçâîëÿåò ðàçäåëèòü âåñü ñïåêòðêîëåáàíèé íà íåçàâèñèìûå ìîäû, ðàññ÷èòàòü â ýòîì ïðèáëèæåíèè òåïëîâóþ ýíåðãèþ êðèñòàëëà è ïîëó÷èòü îðìóëó äëÿ òåïëî¼ìêîñòè, õîðîøîîïèñûâàþùóþ å¼ ïîâåäåíèå ïðè íèçêèõ è âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ.Îäíàêî ïðåäñòàâëåíèå î ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèÿõ ñâÿçàííûõ ìåæäó ñîáîé ÷àñòèö, èñïîëüçóåìîå ïðè òåîðåòè÷åñêîì àíàëèçå òåïëî¼ìêîñòèòâ¼ðäûõ òåë, îêàçûâàåòñÿ íåäîñòàòî÷íûì äëÿ îáúÿñíåíèÿ òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, ïîñêîëüêó â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè òâ¼ðäîå òåëî âîîáùå íå îáëàäàåò òåïëîâûì ðàñøèðåíèåì. Òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ÿâëÿåòñÿïðîñòåéøèì ñëó÷àåì èçìåíåíèÿ ðàçìåðîâ è îðìû òåëà ïîä äåéñòâèåìîäíîé ëèøü òåìïåðàòóðû (òåïëîâàÿ äåîðìàöèÿ).

Àíàëèç ïîêàçûâàåò,3÷òî òåïëîâîå ðàñøèðåíèå ïîÿâëÿåòñÿ òîëüêî â ñèñòåìå âçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, õàðàêòåðèçóåìîé àñèììåòðè÷íîé êðèâîé ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ.Ñòåïåíü èçìåíåíèÿ îáú¼ìà îò òåìïåðàòóðû õàðàêòåðèçóåòñÿ îáú¼ìíûì êîýèöèåíòîì òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ β ∗ . Ïî îïðåäåëåíèþ êîýèöèåíòîì òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ íàçûâàþò îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèåîáú¼ìà ïðè íàãðåâàíèè òåëà íà 1 Ê è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå1 ∂V∗β =,V ∂T Pãäå V îáú¼ì òâ¼ðäîãî òåëà. ñëó÷àå òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ îãðàíè÷èì íàø àíàëèç ïðîñòîé ìîäåëüþ äâóõ àòîìîâ, ðàñïîëîæåííûõ ïî ñîñåäñòâó.1.1. àðìîíè÷åñêèå è àíãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿàññìîòðèì âçàèìîäåéñòâèå äâóõ îòäåëüíî âçÿòûõ àòîìîâ, íàõîäÿùèõñÿ â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ: ñèëà ïðèòÿæåíèÿ ðàâíà ñèëå îòòàëêèâàíèÿ.

Åñëè âûâåñòè àòîìû èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, òî îíè íà÷íóòêîëåáàòüñÿ îòíîñèòåëüíî íåêîòîðîãî ñðåäíåãî ïîëîæåíèÿ.Ïðè àíàëèçå êîëåáàíèé ðåø¼òêè â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U âçàèìîäåéñòâèÿ àòîìîâ â êðèñòàëëå ÿâëÿåòñÿêâàäðàòè÷íîé óíêöèåé ñìåùåíèÿ àòîìîâ èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ(ðèñ.

1á, ïóíêòèðíàÿ ëèíèÿ). Ïóñòü x ñìåùåíèå àòîìà èç ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ, a êîýèöèåíò êâàçèóïðóãîé ñèëû. Òîãäà õàðàêòåðíîéîñîáåííîñòüþ êîëåáàíèÿ àòîìîâ â ïàðàáîëè÷åñêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìåU (x) =ax22(1.1)ÿâëÿåòñÿ ñîõðàíåíèå ñèììåòðèè êîëåáàíèé îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ ïðè óâåëè÷åíèè àìïëèòóäû êîëåáàíèé (ò.å. ïðè ïåðåõîäåîñöèëëÿòîðà íà áîëåå âûñîêèå ýíåðãåòè÷åñêèå óðîâíè). Ïîýòîìó âîçáóæäåíèå îñöèëëÿòîðà â ãàðìîíè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè íå ïðèâîäèò êèçìåíåíèþ ñðåäíåãî ïî âðåìåíè ïîëîæåíèÿ àòîìà îòíîñèòåëüíî òî÷êèðàâíîâåñèÿ r = r0 .Ñèëû, âîçíèêàþùèå ïðè ñìåùåíèè àòîìà èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ,èìåþò îäíó è òó æå âåëè÷èíó íåçàâèñèìî îò òîãî, ñìåùàåòñÿ ëè àòîì êáëèæàéøåìó ñîñåäó (ò.å.

ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè óìåíüøàåòñÿ) èëèóäàëÿåòñÿ îò íåãî:∂U (x)= −ax.f (x) = −(1.2)∂x4PSfrag replaementsUxx00x3T3A3A2A1T2B3x2T1 x1B2B1U0èñ. 2. Çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îòñìåùåíèÿ ñ ó÷¼òîì òîëüêî ãàðìîíè÷åñêîãî ÷ëåíà:T1 < T2 < T3Ñëåäîâàòåëüíî, ñðåäíåå ïîëîæåíèå àòîìîâ íå áóäåò çàâèñåòü îò àìïëèòóäû åãî êîëåáàíèé â ýòîì ñëó÷àå.

Åñëè êîëåáàíèÿ àòîìîâ âîçíèêàþò âðåçóëüòàòå íàãðåâàíèÿ, òî ñðåäíèå ðàçìåðû òàêîé äâóõàòîìíîé ìîäåëèòåëà îò òåìïåðàòóðû íå çàâèñÿò.Ïîêàæåì, ÷òî åñëè ñèëû, óäåðæèâàþùèå àòîìû â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ, çàâèñÿò îò åãî ñìåùåíèÿ ëèíåéíî, òî òåïëîâîå ðàñøèðåíèå îòñóòñòâóåò âîâñå, ò.å. ðàçìåðû òâ¼ðäîãî òåëà íå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû.Äîïóñòèì, ÷òî ìåæäó äâóìÿ àòîìàìè, ðàñïîëîæåííûìè ïî ñîñåäñòâó, èìååò ìåñòî óïðóãàÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ.

Êàê áûëî âûøå ïîêàçàíî, ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ñèëû îò ñìåùåíèÿ x àòîìà èç ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ ïðè x = x0 ñîîòâåòñòâóåò ïàðàáîëè÷åñêèé âèä ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè (ðèñ. 2).Èç ðèñ. 2 âèäíî, ÷òî ïðè òåìïåðàòóðå T1 àòîìû êîëåáëþòñÿ è ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå èçìåíÿåòñÿ îò A1 äî B1 ñî ñðåäíèì çíà÷åíèåì x1 == x0 , ïðè T2 ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèå ìåíÿåòñÿ îò A2 äî B2 ñî ñðåäíèìçíà÷åíèåì x2 = x0 è ò.ä. Òàê êàê êðèâàÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèììåòðè÷íà îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé x = x0 , òî ñðåäíåå ìåæàòîìíîå ðàññòîÿíèåx íå çàâèñèò îò àìïëèòóäû êîëåáàíèé àòîìîâ è îñòà¼òñÿ ðàâíûì x0 ïðè5ëþáîé òåìïåðàòóðå.Ýòîò êà÷åñòâåííûé ðåçóëüòàò ýëåìåíòàðíî ìîæíî ïîëó÷èòü è ìàòåìàòè÷åñêè.

Ñîãëàñíî ðàñïðåäåëåíèþ Áîëüöìàíà âåðîÿòíîñòü îòêëîíåíèÿ àòîìà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ íà ðàññòîÿíèå x ñîñòàâëÿåòU (x)P (x) = A exp −(1.3).kTÏî îïðåäåëåíèþ ñðåäíåå ñìåùåíèå ðàâíîx=∞R−∞∞RxP (x) dx=P (x) dx−∞∞R2x exp − axdxkT−∞∞R−∞exp2− axkTïîñêîëüêó ïðè ëþáîì íå÷¼òíîì n∞Z−∞= 0,(1.4)dxax2dx = 0.xn exp −kTÒàêèì îáðàçîì, ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè, ñîâåðøàþùèìè ãàðìîíè÷åñêèå êîëåáàíèÿ, ïðè íàãðåâàíèè íå èçìåíÿåòñÿ, òàê êàê èõ ñðåäíååñìåùåíèå x = 0, à ñëåäîâàòåëüíî, è òåïëîâîå ðàñøèðåíèå äîëæíî îòñóòñòâîâàòü, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò ðåàëüíîé ñèòóàöèè. Âñå òâ¼ðäûå òåëà ïðèíàãðåâàíèè ðàñøèðÿþòñÿ. äåéñòâèòåëüíîñòè êîëåáàíèÿ ðåø¼òêè íå ÿâëÿþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè.

Ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà àíãàðìîíèçìà çàêëþ÷àåòñÿ â àñèììåòðèè ñèë,äåéñòâóþùèõ íà àòîì ïðè åãî ñìåùåíèè. àññìîòðèì êàêîé-ëèáî àòîì âîäíîìåðíîé öåïî÷êå. Ñìåñòèì àòîì èç ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ê ñîñåäóñëåâà. Ïðè ýòîì ðàññòîÿíèå ìåæäó âûáðàííûì àòîìîì è ñîñåäîì ñëåâàóìåíüøèòñÿ, à ðàññòîÿíèå äî ñîñåäà ñïðàâà óâåëè÷èòñÿ.  ðåçóëüòàòåíåëèíåéíîñòè ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ íà ñìåù¼ííûé àòîì ñî ñòîðîíû ëåâîãî ñîñåäà äåéñòâóåò áîëüøàÿ ñèëà, ÷åì ñî ñòîðîíû ñîñåäà ñïðàâà, õîòÿîáå ñèëû ñòðåìÿòñÿ âåðíóòü àòîì â ïîëîæåíèå ðàâíîâåñèÿ.Ñëåäîâàòåëüíî, ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ àòîìîâ ÿâëÿåòñÿ àñèììåòðè÷íîé êðèâîé (ñïëîøíàÿ êðèâàÿ, ðèñ. 1á), ïðåäñòàâëÿþùåé ñîáîé ðåçóëüòàò ñëîæåíèÿ äâóõ ðàçíûõ êðèâûõ êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé ïðèòÿæåíèþ, è êðèâîé, ñîîòâåòñòâóþùåé îòòàëêèâàíèþ àòîìîâ(ðèñ.

1à). ×àùå âñåãî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ñèë âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè îïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ïîòåíöèàëà ËåííàðäàÄæîíñà:U =−BA+ n.mrr6(1.5)WUr0rPSfrag replaementsW5W3W1èñ. 3. Ïîëíàÿ ýíåðãèÿ äâóõ àòîìîâ: U == f (r) êðèâàÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè(øòðèõîâàÿ ëèíèÿ ãàðìîíè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå), òî÷êè ñìåùåíèå ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïðè èçìåíåíèè ïîëíîé ýíåðãèèÇäåñü A è B êîíñòàíòû, r ðàññòîÿíèå ìåæäó âçàèìîäåéñòâóþùèìè àòîìàìè. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ n > m, è ÷åì áîëüøå êðèâàÿ ýíåðãèÿâçàèìîäåéñòâèÿ îòêëîíÿåòñÿ îò ïàðàáîëû, òåì ñèëüíåå ýòî íåðàâåíñòâî.Òàêèì îáðàçîì, äëÿ ëåâîé ÷àñòè êðèâîé, èçîáðàæàþùåé ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ àòîìîâ, îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò ñèëûîòòàëêèâàíèÿ, äëÿ ïðàâîé ñèëû ïðèòÿæåíèÿ; r0 ðàâíîâåñíîå ðàññòîÿíèå ìåæäó àòîìàìè, ñîîòâåòñòâóþùåå ìèíèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè.

Ïîêà àìïëèòóäà êîëåáàíèé àòîìîâ âáëèçè ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿìàëà, äåéñòâóþùàÿ íà íèõ ñèëà ïðîïîðöèîíàëüíà ñìåùåíèþ F = −ax(ãàðìîíè÷åñêîå ïðèáëèæåíèå). Ñ ðîñòîì àìïëèòóäû êîëåáàíèé ñèëà îòòàëêèâàíèÿ ìåæäó àòîìàìè ïðè èõ ñáëèæåíèè âîçðàñòàåò áûñòðåå, ÷åìñèëà ïðèòÿæåíèÿ ïðè óäàëåíèè îäíîãî àòîìà îò äðóãîãî. Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà àòîì, â ýòîì ñëó÷àå íå ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîéóíêöèåé ñìåùåíèÿ.Òî æå ïðîèñõîäèò è ïðè òåïëîâûõ êîëåáàíèÿõ àòîìîâ, ïðè êîòîðûõðàññòîÿíèÿ ìåæäó àòîìàìè â ðåø¼òêå èçìåíÿþòñÿ íåðåãóëÿðíûì îáðàçîì: â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè êàæäûé àòîì îêàçûâàåòñÿ áëèæå ê êàêîìó-ëèáî îäíîìó èç ñâîèõ ñîñåäåé, ÷åì ê äðóãèì, è âîçíèêàþùèå ñèëû7Wr00T5A5A3A1rr5B5T3 r3B3T1 r1B1U0èñ. 4.

Çàâèñèìîñòü ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè îò ñìåùåíèÿ ñ ó÷¼òîì àíãàðìîíè÷åñêîãî ÷ëåíà: T1 < T2 < T3 < T4 < T5îòòàëêèâàíèÿ âñåãäà ïðåâûøàþò ñèëû ïðèòÿæåíèÿ. Òàêàÿ àñèììåòðèÿñèë âçàèìîäåéñòâèÿ îçíà÷àåò, ÷òî âûðàæåíèå äëÿ U ñîäåðæèò ÷ëåíû ñx â ñòåïåíè áîëåå âûñîêîé, ÷åì âòîðàÿ.àññìîòðèì êîëåáàíèÿ îäíîãî àòîìà îòíîñèòåëüíî äðóãîãî ïðè çàäàííîé ïîëíîé ýíåðãèè â êëàññè÷åñêîì ïðèáëèæåíèè. Ïóñòü ðàçëè÷íûåçíà÷åíèÿ ïîëíîé ýíåðãèè èçîáðàæåíû ãîðèçîíòàëüíûìè ëèíèÿìè W1 ,W2 , W3 . . .

(ðèñ. 3). ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ r = r0 ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ àòîìà ðàâíàíóëþ, à êèíåòè÷åñêàÿ ìàêñèìàëüíà. Óäàëÿÿñü îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ, àòîì ïðèîáðåòàåò ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ, ìàêñèìàëüíàÿ âåëè÷èíà êîòîðîé äîñòèãàåòñÿ ïðè íàèáîëüøåì ñìåùåíèè àòîìà èç ïîëîæåíèÿðàâíîâåñèÿ è ñîîòâåòñòâóåò òî÷êàì ïåðåñå÷åíèÿ êðèâîé ïîòåíöèàëüíîéýíåðãèè ñ ãîðèçîíòàëüíîé ïðÿìîé W .