Lektsia_17_dlya_studentov2 (Лекции по линейной алгебре АВТИ)

-1-Лекция 17. Кривые второго порядкаП.1. Эллипс и его свойстваОпределение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости,сумма расстояний которых до двух фиксированных точек плоскости F1 и F2 естьпостоянное число ( равное 2а ). Точки F1 и F2 называются фокусами эллипса.Расстояние между этими точками называется фокусным расстоянием иобозначается 2с.Числа = (, ) и = (, ) называются фокальными радиусамиточки М. + = 2,>(1)Рис.

1Введем каноническую систему координат, как показано на рисунке:точка O совпадает с серединой отрезка F1F2; ось OX совпадает понаправлению с вектором F1F2Теорема. В канонической системе координат уравнение эллипса имеет вид:+=1, ≥ >0.Доказательство. Пусть точка (, ) принадлежит эллипсу. Перепишемусловие (1):>√( + ) + +√( − ) + =2a,√( + ) + = 2 − √( − ) + + 2 + + = 4 + − + + − 4√( − ) + √( − ) + = − − 2 + + = − 2 + ( − ) + = ( − )4+= 1.Здесь = − ,≥ >0.Уравнение (2) называется каноническим уравнением эллипса.Докажем, что верно обратное: если координаты точки М удовлетворяют(2)-2-соотношению (2), то для точки М выполнено + = 2.Имеем: = √( + ) + = √ + 2 + + − ( − )=√+ 2 + + ==√Здесь учтено, что+ 2 + = √(≤+ ) = |+ | = +.= < .Аналогично докажем, что =−.Отсюда действительно + = 2.Замечание.

В случае а=b ( т.е. фокусы совпадают ) эллипс превращается вокружность радиуса a с центром в точке О.Свойства эллипса1. Оси OX и OY являются осями симметрии эллипса.2. Если точка M(x,y) принадлежит эллипсу, то эллипсу принадлежат точки: (−, ), (−, −), (, −).3. Все точки эллипса лежат в прямоугольнике, ограниченном прямыми = ±, = ±.4. В первой четверти: = √ − , ∈ [0, ] ;а) () непрерывна, убывает, ∈ [0, ] ;в) (0) = 0, () = ∞;б) (0) < 0 ⇒ график имеет выпуклость вверх.Рис. 2Определение.

=− эксцентрисититет эллипса,0 ≤ ≤ 1, для окружности = 0.-3- <Рис.3Чем меньше эксцентриситет, тем эллипс менее «сжат» по вертикали.= √ − == √1 −Отсюда получаем для фокальных радиусов: = + ; = − .Определение. Прямые : = −и : = называютсядиректрисами эллипса.Теорема. Точка (, ) лежит на эллипсе с фокусами F1 , F2 идиректрисами D1, D2 тогда и только тогда, когда(, ) (, )== ,0 < < 1.(, ) (, )Рис. 4-4-Теорема.

(О свойствах касательной эллипса).Касательная к эллипсу в произвольной точке M0 эллипса составляетравные углы с прямыми M0F1 , M0F2 , где F1 и F2 - фокусы эллипса.Рис.5Теорема обосновывает оптическое свойство эллипса:если поместить точечный источник света в один из фокусов эллипса, то луч,вышедший из источника, после отражения от внутренней зеркальной поверхностиэллипса, обязательно пройдет через второй фокус:Рис.

6Иными словами, если поместить в один из фокусов эллипса точечный источниксвета, то во втором фокусе появится линейный точечный источник.Замечание.Уравнение+ = 1, где < , определяет эллипс, вытянутый вдоль оси OY.При этом фокусы будут лежать на оси OY, а директрисы будут параллельны осиOX:Рис.7-5-Пример.Вычислим параметры эллипса. Найдем его директрисы, фокусы−= 1.Решение. = 25 ⇒ = 5 = 16 ⇒ = 4 = √ − = 44= = ;Директрисы : : = − = − ;4 : == ;4Фокусы : (−4, 0), (4, 0).Пример. Определим тип кривой − 2 + 4 + 8 = 0.Решение.Перепишем уравнение кривой( − 1) + 4( + 1) = 5( − 1)( + 1)+= 1.5⁄204Это уравнение есть уравнение эллипса с полуосями = 2√5; =точке (1, -1).Контрольные вопросы√, c центром в-6-П.2.

Гипербола и её свойстваОпределение. Гиперболой называется геометрическое место точекплоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двухфиксированных точек F1 и F2 плоскости есть величина постоянная ( равная2а ). Точки F1 и F2 называются фокусами гиперболы, расстояние между ниминазывается фокальным расстоянием ( обозначим его 2с ).Числа = (, ) ( = 1, 2 ) называются фокальными радиусами точки M.= 1,2) − = 2, < Рис.8Введем каноническую систему координат так же, как и в случае эллипса.Свойства гиперболы1.

Оси ОХ, ОY являются осями симметрии гиперболы, начало координатявляется центром симметрии гиперболы. Ось OX называется вещественнойосью гиперболы, ось OY называется мнимой осью. Числа а и b называютсявещественной и мнимой полуосями гиперболы.2. Все точки гиперболы лежат в вертикальных углах− ⁄ ≤ ≤ ⁄ ( при > 0) и ⁄ ≤ ≤ − ⁄ ( при < 0 ).3.

Прямые = ± ⁄ содержат диагонали прямоугольника ≤ , ≤ ,называемого основным. График гиперболы состоит из двух частей: левой ветви (для х<0 ) и правой ветви ( для х>0 ) .4. В первой четверти: = ⁄ √ − , ≥ ;а) () непрерывна и возрастает на (, ∞), () = 0; = ± ⁄ ;б) () = ∞;в) Прямые = ± ⁄ являются наклонными асимптотами гиперболы.Рис.

9-7-Определение.Число = называется эксцентриситетом гиперболы.Замечание.Очевидно, для гиперболы ε>1.Имеем: = √1 + ⁄ ,= √ − 1, отсюда = - ( + );для левой ветви гиперболы = - ( − ); = + ;для правой ветви гиперболы = − .Определение. Прямые D1 и D2, заданные в канонической системе координатуравнениями : = − ⁄ , : = ⁄ , называются директрисами гиперболы.Теорема. (О директориальном свойстве гиперболы)Точка M(x,y) принадлежит гиперболе с фокусами F1, F2 и директрисами D1 , D2тогда и только тогда, когда выполнены соотношения( ,)( ,)=( ,)( ,)=.Рис.10Теорема. (О свойствах касательной гиперболы)Касательная к гиперболе в произвольной точке М0 гиперболы составляетравные углы с прямыми M0F1, M0F2, где F1 и F2 – фокусы гиперболы.Рис.

11-8-Теорема о свойствах касательной гиперболы обосновывает оптическое свойствогиперболы:если поместить точечный источник света в один из фокусов гиперболы, то луч,вышедший из этого источника, после отражения от зеркальной поверхностигиперболы будет идти так, как будто выпущен из другого фокуса. Таким образом,в другом фокусе появится мнимый источник.Рис. 12Замечание.

Уравнение−= −1определяет гиперболу, сопряженную к гиперболе− = 1.Для сопряженной гиперболы фокусы лежат на оси OY, директрисыгоризонтальны, = :Рис.13Примеры.1) Вычислим параметры гиперболы− = 1.Найдем еѐ директрисы, фокусы.Решение.Имеем: = 9 ⇒ = 3; = 16 ⇒ = 4.

Отсюда с = √ + = 5.Найдем эксцентриситет и директрисы: = с⁄ = 5⁄3 , директрисы : = − = − ; : = = .Фокусы: (−5, 0), (5, 0).-9-2) Определим тип кривой − 4 − 2 − 4 = 0.Решение.Перепишем уравнение кривой:( − 2) − 2( + 1) = 2⇕( + 1)( − 2)−= 1.21Это уравнение есть уравнение гиперболы с полуосями = √2, = 1 и с центромв точке (2,-1).Контрольные вопросыП.3. Парабола и еe свойстваОпределение.

Параболой называется геометрическое место точек плоскости,для которых расстояние до некоторой фиксированной точки F плоскости(называемой фокусом) равно расстоянию до некоторой фиксированной прямой D(называемой директрисой).Расстояние от фокуса до директрисы называется фокальным параметромпараболы и обозначается через р. Эксцентриситет параболы равен 1.Рис.14- 10 -Введем каноническую систему координат: ось ОХ проведем через фокус Fперпендикулярно директрисе D; за начало координат возьмем точку O, лежащую наоси ОХ, равноудаленную от фокуса F и директрисы D.Теорема. Уравнение параболы в канонической системе координат имеет вид: = 2>0(4)Доказательство.

Точка М(, ) принадлежит параболе тогда и только тогда,когда(, ) = (, )√( − ) + = +22 − + + = + + 44 = 2Замечание. Уравнение (4) называется каноническим уравнением параболы.Свойства параболы1. Ось ОХ является осью симметрии параболы. Она называется осью параболы.Начало координат – точка О – называется вершиной параболы.2. Для всех точек параболы ≥ 0.3. В первой четверти: = √2 ( ≥ 0);а) y(x) непрерывна и возрастает на [0,+∞); (0) = 0, lim() = ∞ ;б) (0) = ∞ ⇒ вертикальная касательная в точке х=0;в) (0) < 0 ⇒ парабола имеет выпуклость вверх.Замечание.

Директориальное свойство параболы запишется в виде = 1.Теорема (О свойствах касательной к параболе).Касательная к параболе в точке М составляетодинаковые углы с осью ОХ и спрямой МF.Рис.15Теорема о свойствах касательной к параболе обосновывает оптическоесвойство параболы:( , )( , )=- 11 -если поместить точечный источник в фокус параболы, то, после отражения отвнутренней зеркальной поверхности параболы, лучи света пойдут параллельно осиOX (то есть появляется бесконечно удаленный источник).Обратно: лучи света, выпущенные бесконечно удаленным источником, послеотражения от внутренней поверхности параболического зеркала, пройдут черезфокус F, то есть в фокусе появляется мнимый источник.Примеры.1) Вычислим параметры параболы = 4.Ответ.