Поверхностные электромагнитные волны, страница 2

Ìîæíî óáåäèòüñÿ,÷òî äëÿ íàéäåííîãî ðåøåíèÿ ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ (5) è (6) äëÿèEnEτHτ , Hnóæå âûïîëíåíû. Óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè êàñàòåëüíîé êîìïîíåíòûñâîäèòñÿ ê òðåáîâàíèþEx1 = Ex2 ,÷òî, ñîãëàñíî ðàâåíñòâàì (15) è(16), ýêâèâàëåíòíî óñëîâèþκ1κ2=− .ε1ε2åøàÿ ñèñòåìó óðàâíåíèé (12) è (17) îòíîñèòåëüíî âåëè÷èíû(17)kp ,íàõîäèì çàâèñèìîñòü âîëíîâîãî ÷èñëà èñêîìîé ïîâåðõíîñòíîé âîëíû îò å¼÷àñòîòû, òî åñòü äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå:ωkp =cr7ε1 ε2.ε1 + ε2(18)Êàê óæå ãîâîðèëîñü ðàíåå, çäåñüε1 äåéñòâèòåëüíàÿ âåëè÷èíà, àε2ïðè íàëè÷èè äèññèïàòèâíûõ ïîòåðü â ñðåäå 2 ìîæåò áûòü êîìïëåêñíîé:ε2 = ε′2 + iε′′2 .(19)Òîãäà, â ñîîòâåòñòâèè ñ ñîîòíîøåíèåì (18), ïðèâåëè÷èíàkpε′′2 ,íå ðàâíîì íóëþ,òîæå äîëæíà áûòü êîìïëåêñíîé:kp = kp′ + ikp′′ .(20)Ïîäñòàâèâ îðìóëó (19) è (20) â äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå (18) è ñ÷èòàÿäèññèïàòèâíûå ïîòåðè ìàëûìè, òàê ÷òî|ε′′2 | ≪ |ε′2 |,(21)ñ òî÷íîñòüþ äî ïåðâîé ñòåïåíè ýòîãî ìàëîãî ïàðàìåòðà ïîëó÷èìωkp′ =ckp′′ =ε′′2 ωcsε1 ε′2,ε1 + ε′2ε1 ε′2ε1 +ε′22(ε′2 )23/2≪ kp′ .(22)(23)Åñëè ïîëîæèòü, ÷òî′′′κ12 = κ12+ iκ12,(24)òî èç óðàâíåíèé (12), ïîäñòàâèâ â íèõ âûðàæåíèÿ (24), (22) è (23), ìîæíîïîëó÷èòü′′′κ12∼ ε′′2 ≪ κ12.(25)kp′′ ∼ ε′′2 çàâèñèò îò äèññèïàòèâíûõ ïîòåðü â äèýëåêòðèêå èîïðåäåëÿåò äëèíó Lp , íà êîòîðîé å¼ àìïëèòóäà óìåíüøàåòñÿ â e ðàç ïðèðàñïðîñòðàíåíèè ïî îñè 0x:Âåëè÷èíàLp =ãäå âåëè÷èíàkp′′1,kp′′(26)çàäà¼òñÿ îðìóëîé (23).Àíàëèçèðóÿ ïîëó÷åííûå ñîîòíîøåíèÿ, ìîæíî ñäåëàòü ðÿä âàæíûõêà÷åñòâåííûõ âûâîäîâ.

Ïðåæäå âñåãî âèäíî, ÷òî ðàâåíñòâî (17) ìîæåò′âûïîëíÿòüñÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âåëè÷èíà ε2 , òî åñòü äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü äèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòè îäíîé èç äâóõ ãðàíè÷àùèõñðåä, ÿâëÿåòñÿ îòðèöàòåëüíîé:ε′2 < 0.8(27) ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, ïîëîæèâε′′2 = 0.Êðîìå òîãî, îïðåäåëÿåìàÿ ñîîòíîøåíèåì (22) âåëè÷èíàkp′äîëæíàáûòü äåéñòâèòåëüíîé, ÷òî ïðè óñëîâèè (27) âîçìîæíî òîëüêî åñëè|ε′2 | > ε1 .(28)Ñðåäà, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óñëîâèÿì (27) è (28), íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíîàêòèâíîé ñðåäîé (ÏÀÑ) [5, 6 è 7℄.

Êàê èçâåñòíî, â ñðåäå ñ îòðèöàòåëüíîéäèýëåêòðè÷åñêîé ïðîíèöàåìîñòüþ îäíîðîäíûå, òî åñòü îáú¼ìíûå, âîëíûâîîáùå íå ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ.Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâà (27) è (28), óðàâíåíèå (22) ìîæíî ïåðåïèñàòüâ âèäåkp′ω√=ε1csε′2.− ε1|ε′2 |(29)Èç ýòîãî âûðàæåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî àçîâàÿ ñêîðîñòü ïîâåðõíîñòíîé âîë′íû vp = ω/kp âñåãäà ìåíüøå àçîâîé ñêîðîñòè îáú¼ìíîé âîëíû v =√= c/ ε1 , êîòîðàÿ ìîæåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ â ñðåäå ñ ε1 , òàê êàê â îðìóëå (29) âûðàæåíèå â êâàäðàòíûõ ñêîáêàõ âñåãäà áîëüøå 1. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòíûå âîëíû âñåãäà ìåäëåííûå. Ñëåäîâàòåëüíî, îíè íåìîãóò èçëó÷àòüñÿ íè â ïåðâóþ, íè âî âòîðóþ ñðåäó.àññìîòðèì òåïåðü âîïðîñ î ïðîñòðàíñòâåííîì ðàñïðåäåëåíèè ïîëåéâ ïîâåðõíîñòíîé âîëíå.

Ïîñêîëüêó ïðè óäàëåíèè â îáå ñòîðîíû îò ïî′âåðõíîñòè ïîëÿ ýêñïîíåíöèàëüíî óìåíüøàþòñÿ êàê exp(−κ12 |z|), çà ãëóáèíó ïðîíèêíîâåíèÿ ïîëÿ â êàæäóþ èç ñðåä l12 , êàê îáû÷íî, ïðèìåìäëèíó, íà êîòîðîé ïîëå óìåíüøàåòñÿ â e ðàç. Ñëåäîâàòåëüíî, äîëæíî′κ12l12 = 1, è â ñîîòâåòñòâèè ñ óðàâíåíèåì (17)áûòül1|ε′ |= 2 .l2ε1(30)Òàêèì îáðàçîì, ïîëå ñîñðåäîòî÷åíî ïðåèìóùåñòâåííî â íåàêòèâíîé ñðå′äå è ïðè |ε2 | ≫ ε1 ïî÷òè íå ïðîíèêàåò â ïîâåðõíîñòíî àêòèâíóþ ñðåäó.×òîáû ïîäðîáíåå ðàññìîòðåòü ñòðóêòóðó íàéäåííîé ïîâåðõíîñòíîéâîëíû, ïåðåïèøåì âûðàæåíèÿ äëÿ êîìïîíåíò ïîëåé â áîëåå ïîäðîáíîìâèäå è â ïðåäïîëîæåíèè ìàëîñòè äèññèïàòèâíûõ ïîòåðü, êîãäà âåëè÷è′′íàìè ïîðÿäêà ε2 ìîæíî ïðåíåáðå÷ü âî âñåõ ñîîòíîøåíèÿõ, êðîìå îðìóëû (23).

Ñ÷èòàåì çàäàííûìè ÷àñòîòó âîëíû ω , äèýëåêòðè÷åñêóþ ïðîε1 è äåéñòâèòåëüíóþ ÷àñòü äèýëåêòðè÷å′ñêîé ïðîíèöàåìîñòè àêòèâíîé ñðåäû ε2 , óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì (27)′′è (28), ïðè÷¼ì ε2 = ε2 (ω) èçâåñòíàÿ óíêöèÿ ÷àñòîòû. Íåîáõîäèìî0çàäàòü òàêæå àìïëèòóäó ìàãíèòíîãî ïîëÿ H âîëíû ïðè z = 0. Òîãäà,íèöàåìîñòü íåàêòèâíîé ñðåäû9èñõîäÿ èç îáùåãî ïðåäñòàâëåíèÿ ïîëåé âîëíû (13) è (14) è èìåÿ â âèäóñîîòíîøåíèÿ (15) (17), ïîëó÷èìHy1 = H 0 exp(−κ1′ |z|) exp[i(kp′ x − ωt)],Ez1(31)iHy1Ex1 = p ′,|ε2 | − ε1rε2,= −Hy1ε1 (|ε′2 | − ε1 )(32)(33)Hy2 = H 0 exp(−κ2′ |z|) exp[i(kp′ x − ωt)],Ez2(34)iHy2Ex2 = p ′,|ε2 | − ε1rε1= −Hy2.′|ε2 |(|ε′2 | − ε1 )(35)(36)Çäåñüà âîëíîâîå ÷èñëîkp′κ1′ = kp′rκ2′ = kp′sε1ωε1= p ′,′|ε2 |c |ε2 | − ε1(37)|ε′ |ω|ε′2 |,= p ′2|ε1 |c |ε2 | − ε1(38)äëÿ çàäàííîé ÷àñòîòû îïðåäåëÿåòñÿ èç äèñïåðñèîííîãî óðàâíåíèÿ (29).Èç âûðàæåíèé äëÿ ïîëåé (32) (36) âèäíî, ÷òî ïðîäîëüíàÿ êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Ex12 ñäâèíóòà îòíîñèòåëüíî ïîïåðå÷íîéEz12 íà −180◦ , à îòíîñèòåëüíî ìàãíèòíîãî ïîëÿ íà 90◦ .

Êðîìå òîãî,ìîæíî âèäåòü, ÷òî â íåàêòèâíîé ñðåäå ïîïåðå÷íàÿ êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âñåãäà áîëüøå ïðîäîëüíîé, òî åñòü âîëíà ïðåèìóùåñòâåí′íî ïîïåðå÷íà (îñîáåííî ïðè |ε2 | ≫ ε1 ), à â àêòèâíîé ñðåäå, íàîáîðîò,ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ïðåèìóùåñòâåííî ïðîäîëüíî. Óêàçàííûå îñîáåííîñòè ïîâåðõíîñòíîé âîëíû ìîæíî ïðîèëëþñòðèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: åñëè íàáëþäàòü çàâèñèìîñòü îò âðåìåíè âåêòîðîâ ýëåêòðè÷åñêîãîïîëÿ~ 12Eâ êàêîé-ëèáî èêñèðîâàííîé ïëîñêîñòèëîæåííûõ ïî îáå ñòîðîíû ïîâåðõíîñòèz = 0,x = x0â òî÷êàõ, ðàñïîòî ýòè âåêòîðû, âðàùàÿñüïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, îïèñûâàþò ñîîòâåòñòâåííî âûòÿíóòûé ïî îñèzýëëèïñ â íåàêòèâíîé ñðåäå è ñïëþñíóòûé ýëëèïñ â àêòèâíîé ñðåäå, ÷òîêà÷åñòâåííî ïðåäñòàâëåíî íà ðèñ.

2. Íà ýòîì æå ðèñóíêå èçîáðàæåíàêàðòèíà ñèëîâûõ ëèíèé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû â èêñèðîâàííûéìîìåíò âðåìåíè è ïðèìåðíàÿ çàâèñèìîñòü ïîëåé îò ïîïåðå÷íîé êîîðäèíàòû.10Exrag replaementsε1εmExε1εmEzEzèñ. 2. Ñèëîâûå ëèíèè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ â ÏÝ (ñëåâà) è çàâèñèìîñòü Ex (z) (ñïðàâà) â èêñèðîâàííûé ìîìåíò âðåìåíè çàêëþ÷åíèå ýòîãî ðàçäåëà ñäåëàåì íåêîòîðûå òåðìèíîëîãè÷åñêèåçàìå÷àíèÿ.Êàê ñëåäóåò èç ïðèâåä¼ííûõ âûøå âûðàæåíèé (33) è (36), íîðìàëüíàÿ êîìïîíåíòà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿEz12ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç ïîâåðõíîñòü èñïûòûâàåò ñêà÷îê.

Ýòî ñâèäåòåëüñòâóåò î ïîÿâëåíèè íà ïîâåðõíîñòè âîëíû ïîâåðõíîñòíûõ ïîëÿðèçàöèîííûõ çàðÿäîâ, îáóñëîâëåííîéêîëëåêòèâíûì äâèæåíèåì çàðÿäîâ ñðåäû. Òàêèì îáðàçîì, ïîâåðõíîñòíàÿ âîëíà íå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ýëåêòðîìàãíèòíîé, îíà ïðåäñòàâëÿåò ñîáîéìåõàíèêî-ýëåêòðîìàãíèòíîå âîçáóæäåíèå ïîâåðõíîñòè.  òåîðèè òâ¼ðäîãî òåëà òàêîå ðàñïðîñòðàíÿþùååñÿ âîçáóæäåíèå íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì ïîëÿðèòîíîì. Åñëè òàêîå âîçáóæäåíèå îáóñëîâëåíî êîëëåêòèâíûìèêîëåáàíèÿìè ýëåêòðîíîâ, òî åñòü ïëàçìåííûìè êîëåáàíèÿìè, òî òàêóþïîâåðõíîñòíóþ âîëíó íàçûâàþò ïîâåðõíîñòíûì ïëàçìîí-ïîëÿðèòîíîì(ÏÏÏ, SPP). Êðîìå ÏÏÏ, èçâåñòíû îíîí-ïîëÿðèòîíû, ìàãíîí-ïîëÿðèòîíû è äð. â çàâèñèìîñòè îò ïðèðîäû âîçáóæäåíèÿ.

 ðàäèî÷àñòîòíîìè ñâåðõâûñîêî÷àñòîíîì äèàïàçîíàõ òàêèå ïîâåðõíîñòíûå âîëíû èçâåñòíû êàê âîëíû Òðàéâåëïèñàîóëäà [8℄.Îòìåòèì, ÷òî âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëåé (32), (33), (35) è (36) ñîäåðæàòçíàìåíàòåëü, êîòîðûé ïðè íåêîòîðîé ÷àñòîòå ìîæåò îáðàùàòüñÿ â íóëü.0 ýòîì ñëó÷àå ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ðåøåíèå äàæå ïðè H = 0, òî åñòüïîëå ÿâëÿåòñÿ ÷èñòî ïîòåíöèàëüíûì. Òàêàÿ âîëíà íàçûâàåòñÿ ïîâåðõíîñòíûì ïëàçìîíîì â îòëè÷èå îò îáû÷íîãî ïëàçìîíà, ïðåäñòàâëÿþùåãî ñîáîé îáú¼ìíûå êîëåáàíèÿ ïëàçìû. Ïî ýòîé ïðè÷èíå ïîâåðõíîñòíûéïëàçìîíïîëÿðèòîí ïî òåðìèíîëîãèè, ïðèíÿòîé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå,ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííûì ñîñòîÿíèåì îòîíà è ïîâåðõíîñòíîãî ïëàçìîíà.113.

Ïîâåðõíîñòíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû íàãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ìåòàëëäèýëåêòðèêÊàê áûëî ïîêàçàíî â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿÏÝ íà ãðàíè÷íîé ïîâåðõíîñòè ðàçäåëà äâóõ äèýëåêòðè÷åñêèõ ñðåä ÿâëÿåòñÿ òðåáîâàíèå, ÷òîáû äëÿ îäíîé èç íèõ äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü (â îáùåì ñëó÷àå å¼ äåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòü) õîòÿ áû â êàêîì-ëèáîäèàïàçîíå ÷àñòîò áûëà îòðèöàòåëüíîé è äîñòàòî÷íî áîëüøîé ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Ýòîìó óñëîâèþ óäîâëåòâîðÿåò, íàïðèìåð, íèçêîòåìïåðàòóðíàÿ ýëåêòðîííàÿ ïëàçìà. Êàê èçâåñòíî, [8, 9℄ äèýëåêòðè÷åñêàÿïðîíèöàåìîñòü ïëàçìûεp (ω)èìååò ñëåäóþùèé âèä:2ωpe,ω(ω + iν)(39)4πNe e2me(40)εp (ω) = 1 −ãäåωpe =s ïëàçìåííàÿ ÷àñòîòà (e àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà çàðÿäà ýëåêòðîíà,me åãî ìàññà,Ne ïëîòíîñòü ýëåêòðîíîâ ïëàçìû),ν = 1/τ ÷àñòîòàñòîëêíîâåíèé ýëåêòðîíîâ (τ âðåìÿ ñâîáîäíîãî ïðîáåãà). Ïîñêîëüêóεp (ω) = Re εp (ω) + i Im εp (ω) = 1 −òî ïðèν < ω ≪ ωpe22ωpeν ωpe+i,ω2 + ν 2ω ω2 + νäåéñòâèòåëüíàÿ ÷àñòüεp(41)ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíåìîæåò ñòàòü î÷åíü áîëüøîé ïî ñðàâíåíèþ ñ åäèíèöåé.Ïîâåðõíîñòíûå ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíû íà ñâîáîäíîé ïîâåðõíîñòèïëàçìû äåéñòâèòåëüíî âîçìîæíû, è îíè õîðîøî èçó÷åíû [8℄.

Îäíàêî íàñèíòåðåñóþò êîíäåíñèðîâàííûå ñðåäû, â ÷àñòíîñòè ìåòàëëû. Ïðåæäå âñåãî ìåòàëëû îáëàäàþò õîðîøåé ñòàòè÷åñêîé ýëåêòðîïðîâîäíîñòüþ(ïðèω = 0) σ0è ïî÷òè ïîëíîñòüþ îòðàæàþò ýëåêòðîìàãíèòíûå âîëíûâñåõ ÷àñòîò âïëîòü äî óëüòðàèîëåòà. Ïîýòîìó âîçìîæíàÿ ìîäåëü ìåòàëëà, îòðàæàþùàÿ ýòè ñâîéñòâà, ýòî ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ìåòàëëûÿâëÿþòñÿ èäåàëüíûìè ïðîâîäíèêàìè.

Êàê áóäåò ÿñíî èç äàëüíåéøåãî, âýòîé ìîäåëè ïîâåðõíîñòíàÿ âîëíà íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà íåâîçìîæíà.Ïîýòîìó âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùåé, áîëåå òî÷íîé ìîäåëüþ ìåòàëëà,èçâåñòíîé êàê ýëåêòðîííàÿ ìîäåëü Äðóäå [1, 4℄.Õîòÿ ýòà ìîäåëü èçâåñòíà äîñòàòî÷íî äàâíî îíà áûëà ïðåäëîæåíà÷åðåç òðè ãîäà ïîñëå îòêðûòèÿ â 1897 ãîäó Äæ. Äæ. Òîìñîíîì ýëåêòðîíà, å¼ çíà÷åíèå è ïðåäñêàçûâàåìûå åþ ðåçóëüòàòû ïðåäñòàâëÿþòñÿâàæíûìè äî ñèõ ïîð. Îñíîâíûì ïðåäïîëîæåíèåì ìîäåëè Äðóäå ÿâëÿåòñÿ ïðåäñòàâëåíèå, ÷òî ýëåêòðîíû ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ãàç íåâçàèìîäåéñòâóþùèõ ÷àñòèö, êàê ýòî èìååò ìåñòî äëÿ12îáû÷íîãî èäåàëüíîãî ãàçà. Îäíàêî â ìåòàëëàõ, êðîìå ýëåêòðîíîâ, ñóùåñòâóþò ÷àñòèöû äðóãîãî çíàêà, êîìïåíñèðóþùèå çàðÿä ýëåêòðîíîâ, ïîëîæèòåëüíûå èîíû, ñ÷èòàþùèåñÿ íåïîäâèæíûìè.

Ýòè èîíû ñîñòîÿòèç ïîëîæèòåëüíîãî ÿäðà è ñèëüíî ñâÿçàííûõ ñ ÿäðîì îñòàâøèõñÿ ýëåêòðîíîâ ïîëíîé ýëåêòðîííîé îáîëî÷êè àòîìà.Ê òàêîìó ãàçó ýëåêòðîíîâ ïðîâîäèìîñòè ìîæíî ïðèìåíèòü êèíåòè÷åñêóþ òåîðèþ îáû÷íîãî èäåàëüíîãî ãàçà. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðèè, ïëîòíîñòü òîêà~j = −eN~v(t),ãäå(42)~v (t) ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íîðìèðîâàííîãî äâèæåíèÿ ýëåêòðîíîâ, äèåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå äëÿ êîòîðîé èìååò âèäe ~d~v ~v+ = − E.dtτmÇäåñü~E(43) âíåøíåå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ïðåäïîëàãàåìîå îäíîðîäíûì âïðîñòðàíñòâå, àτ òàê íàçûâàåìîå âðåìÿ ðåëàêñàöèè, ò.å. ñðåäíåå âðåìÿ, çà êîòîðîå ýëåêòðîí èñïûòûâàåò îäíî ñòîëêíîâåíèå è òåðÿåò ñâîþíàïðàâëåííóþ ñêîðîñòü.