Теория универа (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 6

Следовательно, наряду с математическим ожиданием желательно знать, насколько значения случайной величины отклоняются от него. Для характеристики этогопоказателя служит дисперсия.Определение 7.5. Дисперсией (рассеянием) случайной величины называется математическое ожидание квадрата ее отклонения от ее математического ожидания:24PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comD(X) = M (X – M(X))².(7.6)Пример.Найдем дисперсию случайной величины Х (числа стандартных деталей среди отобранных)в примере 1 данной лекции.

Вычислим значения квадрата отклонения каждого возможного значения от математического ожидания:(1 – 2,4)2 = 1,96; (2 – 2,4)2 = 0,16; (3 – 2,4)2 = 0,36. Следовательно,177 28D ( X ) = 1,96 ⋅ + 0,16 ⋅ + 0,36 ⋅ =≈ 0,373.151515 75Замечание 1. В определении дисперсии оценивается не само отклонение от среднего, а егоквадрат. Это сделано для того, чтобы отклонения разных знаков не компенсировали другдруга.Замечание 2. Из определения дисперсии следует, что эта величина принимает тольконеотрицательные значения.Замечание 3. Существует более удобная для расчетов формула для вычисления дисперсии,справедливость которой доказывается в следующей теореме:Теорема 7.1. D(X) = M(X ²) – M ²(X).(7.7)Доказательство.Используя то, что М(Х) – постоянная величина, и свойства математического ожидания,преобразуем формулу (7.6) к виду:D(X) = M(X – M(X))² = M(X² - 2X·M(X) + M²(X)) = M(X²) – 2M(X)·M(X) + M²(X) == M(X²) – 2M²(X) + M²(X) = M(X²) – M²(X), что и требовалось доказать.Пример.

Вычислим дисперсии случайных величин Х и Y, рассмотренных в начале этогораздела. М(Х) = (492·0,1 + 502·0,8 + 512·0,1) – 502 = 2500,2 – 2500 = 0,2.М(Y) = (02·0,5 + 100²·0,5) – 50² = 5000 – 2500 = 2500. Итак, дисперсия второй случайнойвеличины в несколько тысяч раз больше дисперсии первой. Таким образом, даже не знаязаконов распределения этих величин, по известным значениям дисперсии мы можемутверждать, что Х мало отклоняется от своего математического ожидания, в то время какдля Y это отклонение весьма существенно.Свойства дисперсии.1) Дисперсия постоянной величины С равна нулю:D (C) = 0.(7.8)Доказательство. D(C) = M((C – M(C))²) = M((C – C)²) = M(0) = 0.2) Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат:D(CX) = C²D(X).(7.9)Доказательство.

D(CX) = M((CX – M(CX))²) = M((CX – CM(X))²) = M(C²(X – M(X))²) == C²D(X).3) Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме ихдисперсий:D(X + Y) = D(X) + D(Y).(7.10)Доказательство. D(X + Y) = M(X² + 2XY + Y²) – (M(X) + M(Y))² = M(X²) + 2M(X)M(Y) ++ M(Y²) – M²(X) – 2M(X)M(Y) – M²(Y) = (M(X²) – M²(X)) + (M(Y²) – M²(Y)) = D(X) + D(Y).Следствие 1. Дисперсия суммы нескольких взаимно независимых случайных величинравна сумме их дисперсий.Следствие 2.

Дисперсия суммы постоянной и случайной величин равна дисперсиислучайной величины.4) Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме ихдисперсий:25PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comD(X – Y) = D(X) + D(Y).Доказательство. D(X – Y) = D(X) + D(-Y) = D(X) + (-1)²D(Y) = D(X) + D(X).(7.11)Дисперсия дает среднее значение квадрата отклонения случайной величины отсреднего; для оценки самого отклонения служит величина, называемая среднимквадратическим отклонением.Определение 7.6.

Средним квадратическим отклонением σ случайной величины Хназывается квадратный корень из дисперсии:σ = D( X ) .(7.12)Пример. В предыдущем примере средние квадратические отклонения Х и Y равнысоответственно σ х = 0,2 ≈ 0,447; σ у = 2500 = 50.Числовые характеристики непрерывных случайных величин.Распространим определения числовых характеристик случайных величин на непрерывные случайные величины, для которых плотность распределения служит в некотором роде аналогом понятия вероятности.Определение 7.7. Математическим ожиданием непрерывной случайной величиныназываетсяМ (Х ) =+∞∫ xf ( x)dx.(7.13)−∞Замечание 1. Общее определение дисперсии сохраняется для непрерывной случайнойвеличины таким же, как и для дискретной (опр. 7.5), а формула для ее вычисленияимеет вид:D( Х ) =+∞∫x2f ( x)dx − M 2 ( X ).(7.14)−∞Среднее квадратическое отклонение вычисляется по формуле (7.12).Замечание 2.

Если все возможные значения непрерывной случайной величины невыходят за пределы интервала [a, b], то интегралы в формулах (7.13) и (7.14) вычисляются в этих пределах.Пример. Плотность распределения случайной величины Х имеет вид:0, x < 2 3 2f ( x) = − ( x − 6 x + 8), 2 ≤ x ≤ 4 40, x > 4.Найти М(Х), D(X), σ.4433  x4232Решение. M ( X ) = − ∫ x( x − 6 x + 8)dx = −  − 2 x + 4 x  = 3;424 42443 2 23  x 5 3x 4 8 x 3  − 9 = 9,2 − 9 = 0,2;D ( X ) = − ∫ x ( x − 6 x + 8)dx − 9 = −  −+424 523 2σ = 0,2 ≈ 0,447.Числовые характеристики случайных величин, имеющих некоторыестандартные законы распределения.26PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com1. Биномиальное распределение.Для дискретной случайной величины Х, представляющей собой число появленийсобытия А в серии из п независимых испытаний (см.

лекцию 6), М(Х) можно найти,используя свойство 4 математического ожидания. Пусть Х1 – число появлений А впервом испытании, Х2 – во втором и т.д. При этом каждая из случайных величин Хiзадается рядом распределения видаXi 0 1pi q pnni =1i =1Следовательно, М(Хi) = p. Тогда M ( X ) = ∑ M ( X i ) = ∑ p = np.Аналогичным образом вычислим дисперсию: D(Xi) = 0²·q + 1²·p – p²= p – p² = p(1 – p),nоткуда по свойству 4 дисперсии D ( X ) = ∑ D( X i ) = np (1 − p ) = npq.i =12. Закон Пуассона.∞∞а т −аа т −1а т −ае = ае −а ∑е , то М(Х) = ∑ т= ае − а е а = а (использоЕсли р(Х = т) =т!т!т =1т =1 ( т − 1)!валось разложение в ряд Тейлора функции ех).∞∞а т −аа т −1 −аДля определения дисперсии найдем вначале М(Х2) = ∑ т 2е = а∑ те =(т − 1)!т!т =1т =1 ∞а т −1 −аа т −1 − а ∞ а т −1 −а е = а ∑ (т − 1)е +∑е  = а (а + 1).(т − 1)!(т − 1)!т =1т =1 ( т − 1)! т =1Поэтому D(X) = a² + a – a² = a.Замечание. Таким образом, обнаружено интересное свойство распределения Пуассона:математическое ожидание равно дисперсии (и равно единственному параметру а,определяющему распределение).3.

Равномерное распределение.Для равномерно распределенной на отрезке [a, b] непрерывной случайной величиныbb1b2 − a2 a + bx2, то есть математическое ожиданиеM (X ) = ∫ xdx ===2(b − a )2(b − a )2b−aaaравномерно распределенной случайной величины равно абсциссе середины отрезка[a, b] .Дисперсияb1(a + b) 2 b 3 − a 3 (a + b) 2 a 2 + ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2D( X ) = ∫ x 2dx −=−=−=b−a43(b − a )434a∞= а ∑ ((т − 1) + 1)(b − a ) 2.124. Нормальное распределение.Для вычисления математического ожидания нормально распределенной случайной=+∞величины воспользуемся тем, что интеграл Пуассона∫e−z22dz = 2π .−∞M (X ) =1σ 2π+∞∫ xe−∞−( x − a )22σ 2x−adx = ( z =)=σ12π+∞∫ (σz + a)e−∞27PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com−z22dz ==1+∞∫ σze−z22∫e−z22a2π = a ( первое слагаемое равно 0, так2π −∞2π −∞2πкак подынтегральная функция нечетна, а пределы интегрирования симметричныотносительно нуля).D( X ) =1σ 2πdz ++∞a+∞∫ ( x − a)−∞2e−dz = 0 +( x −a )22σ 2dx =σ22π+∞∫ z ⋅ ze−z22dz = (u = z , dv = ze−z22)=−∞+ ∞ +∞ z 2 z2 σ2−−σ2 2− 0 + 2π = σ 2 .=+ ∫ e 2 dz  =− z ⋅e2π 2π− ∞ −∞Следовательно, параметры нормального распределения (а и σ) равны соответственно математическому ожиданию и среднему квадратическому отклонению исследуемой случайной величины.()28PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 8.Случайные векторы (системы нескольких случайных величин).

Закон распределения вероятностей дискретной двумерной случайной величины. Функция распределения и плотность распределения двумерной случайной величины, их свойства. Вероятность попадания случайной точки в произвольную область. Отыскание плотностей вероятности составляющих двумерной случайной величины. Равномерное распределение на плоскости.Наряду с одномерными случайными величинами, возможные значения которых определяются одним числом, теория вероятностей рассматривает и многомерные случайные величины.Каждое возможное значение такой величины представляет собой упорядоченный наборнескольких чисел.

Геометрической иллюстрацией этого понятия служат точки п-мерногопространства, каждая координата которых является случайной величиной (дискретной илинепрерывной), или п-мерные векторы. Поэтому многомерные случайные величины называютеще случайными векторами.Двумерные случайные величины.1. Дискретные двумерные случайные величины.Закон распределения дискретной двумерной случайной величины (Х, Y) имеет видтаблицы с двойным входом, задающей перечень возможных значений каждой компонентыи вероятности p(xi, yj), с которыми величина принимает значение (xi, yj):YХx1x2…xi…xny1p(x1, y1)p(x2, y1)…p(xi, y1)…p(xn, y1)…………………yjp(x1, yj)p(x2, yj)…p(xi, yj)…p(xn, yj)…………………ymp(x1, ym)p(x2, ym)…p(xi, ym)…p(xn, ym)При этом сумма вероятностей, стоящих во всех клетках таблицы, равна 1.Зная закон распределения двумерной случайной величины, можно найти законы распределения ее составляющих.

Действительно, событие Х = х1 представляется собой суммунесовместных событий (X = x1, Y = y1), (X = x1, Y = y2),…, (X = x1, Y = ym), поэтомур(Х = х1) = p(x1, y1) + p(x1, y2) +…+ p(x1, ym) (в правой части находится сумма вероятностей,стоящих в столбце, соответствующем Х = х1). Так же можно найти вероятности остальныхвозможных значений Х. Для определения вероятностей возможных значений Y нужносложить вероятности, стоящие в строке таблицы, соответствующей Y = yj.Пример 1. Дан закон распределения двумерной случайной величины:XY-236-0,80,10,30,1-0,50,150,250,1Найти законы распределения составляющих.Решение.

Складывая стоящие в таблице вероятности «по столбцам», получим ряд распределения для Х:Х-236р0,250,550,2Складывая те же вероятности «по строкам», найдем ряд распределения для Y:29PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comYp-0,80,5-0,50,52. Непрерывные двумерные случайные величины.Определение 8.1. Функцией распределения F(x, y) двумерной случайной величины (X, Y)называется вероятность того, что X < x, a Y < y:F( х, у ) = p ( X < x, Y < y ).(8.1)yРис.1.Это означает, что точка (X, Y) попадет в область, заштрихованную на рис.

1, если вершинапрямого угла располагается в точке (х, у).Замечание. Определение функции распределения справедливо как для непрерывной, так идля дискретной двумерной случайной величины.Свойства функции распределения.1) 0 ≤ F(x, y) ≤ 1 (так как F(x, y) является вероятностью).2) F(x, y) есть неубывающая функция по каждому аргументу:F(x2, y) ≥ F(x1, y), если x2 > x1;F(x, y2) ≥ F(x, y1), если y2 > y1.Доказательство. F(x2, y) = p(X < x2, Y < y) = p(X < x1, Y < y) + p(x1 ≤ X < x2, Y < y) ≥≥ p(X < x1, Y < y) = F(x1, y). Аналогично доказывается и второе утверждение.3) Имеют место предельные соотношения:а) F(-∞, y) = 0;b) F(x, - ∞) = 0;c) F(- ∞, -∞) = 0;d) F( ∞, ∞) = 1.Доказательство.

События а), b) и с) невозможны ( так как невозможно событие Х<- ∞или Y <- ∞), а событие d) достоверно, откуда следует справедливость приведенныхравенств.30PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com4) При у = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становитсяфункцией распределения составляющей Х:F(x, ∞) = F1(x).При х = ∞ функция распределения двумерной случайной величины становитсяфункцией распределения составляющей Y :F( ∞, y) = F2(y).Доказательство. Так как событие Y < ∞ достоверно, то F(x, ∞) = р(Х < x) = F1(x).Аналогично доказывается второе утверждение.Определение 8.2.