Теория универа (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач)

Министерство образования Российской Федерации“МАТИ”- РОССИЙСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Э. ЦИОЛКОВСКОГОКафедра “Высшая математика”Н. Д. ВЫСККОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙИ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕМосква 2003 г.PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 1.Предмет теории вероятностей. Случайные события. Алгебра событий. Относительная частота и вероятность случайного события. Полная группа событий. Классическое определение вероятности.

Основные свойства вероятности. Основные формулыкомбинаторики.В различных разделах науки и техники нередко возникают ситуации, когда результаткаждого из многих проводимых опытов заранее предугадать невозможно, однако можноисследовать закономерности, возникающие при проведении серии опытов. Нельзя, например, точно сказать, какая сторона монеты окажется сверху при данном броске: герб илицифра – но при большом количестве бросков число выпадений герба приближается к половине количества бросков; нельзя заранее предсказать результат одного выстрела из данного орудия по данной цели, но при большом числе выстрелов частота попадания приближается к некоторому постоянному числу. Исследование вероятностных закономерностеймассовых однородных явлений составляет предмет теории вероятностей.Основным интуитивным понятием классической теории вероятностей являетсяслучайное событие.

События, которые могут произойти в результате опыта, можноподразделить на три вида:а) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта;б) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может;в) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.Например, при броске игральной кости достоверным событием является выпадение числаочков, не превышающего 6, невозможным – выпадение 10 очков, а случайным –выпадение 3 очков.Алгебра событий.Определение 1.1.

Суммой А+В двух событий А и В называют событие, состоящее в том,что произошло хотя бы одно из событий А и В. Суммой нескольких событий, соответственно, называется событие, заключающееся в том, что произошло хотя бы одно из этихсобытий.Пример 1. Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Если событие А –попадание первого стрелка, а событие В – второго, то сумма А+В – это хотя бы однопопадание при двух выстрелах.Пример 2.

Если при броске игральной кости событием Аi назвать выпадение i очков, товыпадение нечетного числа очков является суммой событий А1+А2+А3.Назовем все возможные результаты данного опыта его исходами и предположим, чтомножество этих исходов, при которых происходит событие А (исходов, благоприятныхсобытию А), можно представить в виде некоторой области на плоскости. Тогда множествоисходов, при которых произойдет событие А+В, является объединением множествисходов, благоприятных событиям А или В (рис. 1).АВА+ВРис.1.2PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comОпределение 1.2.

Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее втом, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением несколькихсобытий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события.Пример 3. В примере 1 ( два выстрела по мишени) событием АВ будет попадание обоихстрелков.Пример 4. Если событие А состоит в том, что из колоды карт извлечена карта пиковоймасти, а событие В – в том, что из колоды вынута дама, то событием АВ будет извлечениеиз колоды дамы пик.Геометрической иллюстрацией множества исходов опыта, благоприятных появлениюпроизведения событий А и В, является пересечение областей, соответствующих исходам,благоприятным А и В.АВАВРис.2.Определение 1.3.

Разностью А\B событий А и В называется событие, состоящее в том, чтоА произошло, а В – нет.Пример 5. Вернемся к примеру 1, где А\ В – попадание первого стрелка при промахевторого.Пример 6. В примере 4 А\В – извлечение из колоды любой карты пиковой масти, кромедамы. Наоборот, В \А – извлечение дамы любой масти, кроме пик.АВА-ВРис.3.Введем еще несколько категорий событий.Определение 1.4. События А и В называются совместными, если они могут произойтиоба в результате одного опыта. В противном случае (то есть если они не могут произойтиодновременно) события называются несовместными.Примеры: совместными событиями являются попадания двух стрелков в примере 1 ипоявление карты пиковой масти и дамы в примере 4; несовместными – события А1 – А6 впримере 2.3PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЗамечание 1.

Если изобразить графически области исходов опыта, благоприятныхнесовместным событиям, то они не будут иметь общих точек.Замечание 2. Из определения несовместных событий следует, что их произведениеявляется невозможным событием.Определение 1.5. Говорят, что события А1, А2,…,Ап образуют полную группу, если врезультате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы.Замечание. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате опыта произойдет одно и только одно из них. Такие события называютэлементарными событиями.Пример. В примере 2 события А1 – А6 (выпадение одного, двух,…, шести очков при одномброске игральной кости) образуют полную группу несовместных событий.Определение 1.6.

События называются равновозможными, если нет оснований считать,что одно из них является более возможным, чем другое.Примеры: выпадение любого числа очков при броске игральной кости, появление любойкарты при случайном извлечении из колоды, выпадение герба или цифры при броскемонеты и т.п.Классическое определение вероятности.При изучении случайных событий возникает необходимость количественно сравниватьвозможность их появления в результате опыта. Например, при последовательномизвлечении из колоды пяти карт более возможна ситуация, когда появились карты разныхмастей, чем появление пяти карт одной масти; при десяти бросках монеты болеевозможно чередование гербов и цифр, нежели выпадение подряд десяти гербов, и т.д.Поэтому с каждым таким событием связывают по определенному правилу некотороечисло, которое тем больше, чем более возможно событие.

Это число называетсявероятностью события и является вторым основным понятием теории вероятностей.Отметим, что само понятие вероятности, как и понятие случайного события, являетсяаксиоматическим и поэтому не поддается строгому определению. То, что в дальнейшембудет называться различными определениями вероятности, представляет собой способывычисления этой величины.Определение 1.7. Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта,а) попарно несовместны;б) равновозможны;в) образуют полную группу,то говорят, что имеет место схема случаев.Можно считать, что случаи представляют собой все множество исходов опыта.

Пусть ихчисло равно п ( число возможных исходов), а при т из них происходит некоторое событиеА (число благоприятных исходов).Определение 1.8. Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта,благоприятных этому событию, к числу возможных исходов:тр ( А) =(1.1)п4PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com- классическое определение вероятности.Свойства вероятности.Из определения 1.8 вытекают следующие свойства вероятности:Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.Доказательство.

Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, товсе исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно,Р(А) = 1.Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю.Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р(А) = 0.Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенноемежду нулем и единицей.Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не привсех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.Пример. Из урны, содержащей 6 белых и 4 черных шара, наудачу вынут шар. Найтивероятность того, что он белый.Решение.

Будем считать элементарными событиями, или исходами опыта, извлечение изурны каждого из имеющихся в ней шаров. Очевидно, что эти события удовлетворяютвсем условиям, позволяющим считать их схемой случаев. Следовательно, числовозможных исходов равно 10, а число исходов, благоприятных событию А (появлениюбелого шара) – 6 (таково количество белых шаров в урне). Значит,т 6р ( А) = == 0,6.п 10Относительная частота. Статистическое определение вероятности.Классическое определение вероятности применимо только для очень узкого класса задач,где все возможные исходы опыта можно свести к схеме случаев.