Теория универа (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 4

Это следует из того, что F(x2) = p(X < x2) = p(X < x1) + p(x1 ≤ X < x2) ≥ F(x1).3) lim F ( x) = 0, lim F ( x) = 1. В частности, если все возможные значения Х лежат наx → −∞x → +∞интервале [a, b], то F(x) = 0 при х ≤ а и F(x) = 1 при х ≥ b. Действительно, X < a –событие невозможное, а X < b – достоверное.4) Вероятность того, что случайная величина примет значение из интервала [a, b],равна разности значений функции распределения на концах интервала:p ( a < X < b ) = F(b) – F(a).Справедливость этого утверждения следует из определения функциираспределения (см.

свойство 2).Для дискретной случайной величины значение F(x) в каждой точке представляет собойсумму вероятностей тех ее возможных значений, которые меньше аргумента функции.Пример. Найдем F(x) для предыдущего примера:0, x ≤ 00,12, 0 < x ≤ 1F ( x) = 0,12 + 0,46 = 0,58, 1 < x ≤ 2 0,58 + 0,42 = 1, x > 2Соответственно график функции распределения имеет ступенчатый вид:Биномиальное распределение.14PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comВернемся к схеме независимых испытаний и найдем закон распределения случайнойвеличины Х – числа появлений события А в серии из п испытаний.

Возможныезначения А: 0, 1, …, п. Соответствующие им вероятности можно вычислить поформуле Бернулли:p ( Х = k ) = C nk p k q n− k(4.2)( p – вероятность появления А в каждом испытании).Такой закон распределения называют биномиальным, поскольку правую частьравенства (4.2) можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона:( p + q ) n = C nn p n + C nn −1 p n−1q + ... + C nk p k q n− k + ...

+ C n0 q n .Пример. Составим ряд распределения случайной величины Х – числа попаданий при 5выстрелах, если вероятность попадания при одном выстреле равна 0,8.р(Х=0) = 1·(0,2)5 = 0,00032; р(Х=1) = 5·0,8·(0,2)4 = 0,0064; р(Х=2) = 10·(0,8)2·(0,2)3 =0,0512; р(Х=3) = 10·(0,8)3·(0,2)2 = 0,2048; р(Х=4) = 5·(0,8)4·0,2 = 0,4096; р(Х=5) = 1·(0,8)5= 0,32768. Таким образом, ряд распределения имеет вид:12345х 0р 0.00032 0.0064 0.0512 0.2048 0.4096 0.32728Распределение Пуассона.Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую только целыенеотрицательные значения (0, 1, 2,…, т,…), последовательность которых неограничена. Такая случайная величина называется распределенной по законуПуассона, если вероятность того, что она примет значение т, выражается формулой:а т −ар ( Х = т) =е ,(4.3)т!где а – некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.Покажем, что сумма всех вероятностей равна 1:∞∞ат−а(=)== е −а ⋅ е а = 1рХте∑∑т =0т = 0 т!(использовано разложение в ряд Тейлора функции ех).Рассмотрим типичную задачу, приводящую к распределению Пуассона.

Пусть на осиабсцисс случайным образом распределяются точки, причем их распределение удовлетворяет следующим условиям:1) вероятность попадания некоторого количества точек на отрезок длины l зависиттолько от длины отрезка и не зависит от его расположения на оси ( то есть точкираспределены с одинаковой средней плотностью);2) точки распределяются независимо друг от друга ( вероятность попадания какоголибо числа точек на данный отрезок не зависит от количества точек, попавший налюбой другой отрезок);3) практическая невозможность совпадения двух или более точек.Тогда случайная величина Х – число точек, попадающих на отрезок длины l – распределена по закону Пуассона, где а – среднее число точек, приходящееся на отрезок длины l.Замечание.

В лекции 3 говорилось о том, что формула Пуассона выражает биномиальноераспределение при большом числе опытов и малой вероятности события. Поэтому законПуассона часто называют законом редких явлений.Лекция 5.15PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comФункция распределения и плотность распределения непрерывной случайнойвеличины, их взаимосвязь и свойства. Равномерное распределение вероятностей.Определение и свойства функции распределения сохраняются и для непрерывнойслучайной величины, для которой функцию распределения можно считать одним из видовзадания закона распределения.

Но для непрерывной случайной величины вероятностькаждого отдельного ее значения равна 0. Это следует из свойства 4 функциираспределения: р(Х = а) = F(a) – F(a) = 0. Поэтому для такой случайной величины имеетсмысл говорить только о вероятности ее попадания в некоторый интервал.Вторым способом задания закона распределения непрерывной случайной величиныявляется так называемая плотность распределения (плотность вероятности, дифференциальная функция).Определение 5.1.

Функция f(x), называемая плотностью распределения непрерывнойслучайной величины, определяется по формуле:f (x) = F′(x),(5.1)то есть является производной функции распределения.Свойства плотности распределения.1) f(x) ≥ 0, так как функция распределения является неубывающей.x2) F ( x) =∫ f (t )dt , что следует из определения плотности распределения.−∞3) Вероятность попадания случайной величины в интервал (а, b) определяетсяbформулойр (а < X < b) = ∫ f ( x)dx.abДействительно, р (а < X < b) = F (b) − F (a ) =∫af ( x)dx −−∞∫−∞bf ( x)dx = ∫ f ( x)dx.a+∞4)∫ f ( x)dx = 1 (условие нормировки).

Его справедливость следует из того, что−∞+∞∫ f ( x)dx = F (+∞), а−∞lim F ( x) = 1.x → +∞5) lim f ( x) = 0, так как F ( x) → const при x → ±∞.x → ±∞Таким образом, график плотности распределения представляет собой кривую, расположенную выше оси Ох, причем эта ось является ее горизонтальной асимптотой приx → ±∞ (последнее справедливо только для случайных величин, множеством возможныхзначений которых является все множество действительных чисел).

Площадькриволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции, равна единице.Замечание. Если все возможные значения непрерывной случайной величины сосредоточены на интервале [a, b], то все интегралы вычисляются в этих пределах, а вне интервала[a, b] f(x) ≡ 0.Пример 1. Плотность распределения непрерывной случайной величины задана формулойCf ( x) =, −∞ < x < +∞.1+ x2Найти: а) значение константы С; б) вид функции распределения; в) p(-1 < x < 1).Решение.

а) значение константы С найдем из свойства 4:16PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com+∞С∫−∞1 + х 2 dx = Сarctgxx+∞−∞1π π = C  +  = Cπ =1, откуда C = .π2 2111б) F ( x) = ∫dt = arctg t2π −∞1 + tπx=−∞1π 11 arctgx +  = arctgx + .π2 π21111в) p (−1 < x < 1) = ∫dx = arctgx2π −11 + xπ1=1 π π  +  = 0,5.π 4 4−1Пример 2. Функция распределения непрерывной случайной величины имеет вид:0, x ≤ 2 x − 2F ( x) = , 2< x≤4 2 1, x > 4.Найти плотность распределения.Решение.0′, x ≤ 2 0, x ≤ 2′ x − 2 f ( x) =  , 2 < x ≤ 4 = 0,5, 2 < x ≤ 4 2  0, x > 4.1′, x > 4Равномерный закон распределения.Часто на практике мы имеем дело со случайными величинами, распределеннымиопределенным типовым образом, то есть такими, закон распределения которых имеетнекоторую стандартную форму.

В прошлой лекции были рассмотрены примеры такихзаконов распределения для дискретных случайных величин (биномиальный и Пуассона).Для непрерывных случайных величин тоже существуют часто встречающиеся видызакона распределения, и в качестве первого из них рассмотрим равномерный закон.Определение 5.2. Закон распределения непрерывной случайной величины называетсяравномерным, если на интервале, которому принадлежат все возможные значенияслучайной величины, плотность распределения сохраняет постоянное значение ( f(x) =const при a ≤ x ≤ b, f(x) = 0 при x < a, x > b.Найдем значение, которое принимает f(x) при x ∈ [a, b]. Из условия нормировки следует,bb1.b−aaaВероятность попадания равномерно распределенной случайной величины на интервалβ1β −αdx =.[α , β ] (a ≤ α < β ≤ b) равна при этом ∫b−ab−aαчто∫ f ( x)dx = ∫ cdx = c(b − a) = 1, откудаf ( x) = c =Вид функции распределения для нормального закона:0, x < a x − aF ( x) = , a≤ x≤bb − a1, x > b.17PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comПример.

Автобусы некоторого маршрута идут с интервалом 5 минут. Найти вероятностьтого, что пришедшему на остановку пассажиру придется ожидать автобуса не более 2минут.Решение. Время ожидания является случайной величиной, равномерно распределенной в12интервале [0, 5]. Тогда f ( x ) = , p (0 ≤ x ≤ 2) = = 0,4.5518PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 6.Нормальный закон распределения вероятностей. Нормальная кривая. ФункцияЛапласа. Вычисление вероятности попадания в заданный интервал нормальнойслучайной величины. Правило трех сигм. Показательное распределение. Функциянадежности.

Показательный закон надежности.Определение 6.1. Непрерывная случайная величина называется распределенной понормальному закону, если ее плотность распределения имеет вид:f ( x) =1e−( x−a ) 22σ 2.(6.1)σ 2πЗамечание. Таким образом, нормальное распределение определяется двумя параметрами:а и σ.График плотности нормального распределения называют нормальной кривой (кривойГаусса). Выясним, какой вид имеет эта кривая, для чего исследуем функцию (6.1).1) Область определения этой функции: (-∞, +∞).2) f(x) > 0 при любом х (следовательно, весь график расположен выше оси Ох).3) lim f ( x) = 0, то есть ось Ох служит горизонтальной асимптотой графика при| x| → ∞x → ±∞.4)f ′( x) = −x−aσ32πe−( x−a ) 22σ 2= 0 при х = а; f ′( x) > 0 при x > a, f ′( x) < 0 при x < a.1 Следовательно,  a, - точка максимума. σ 2π 5) F(x – a) = f(a – x), то есть график симметричен относительно прямой х = а.6)f ′′( x) = −1σ 3 2πe−( x−a ) 22σ 2 ( x − a) 21 −σ2 = 0приx = a ±σ ,тоестьточки1  являются точками перегиба. a ± σ ,σ 2π e Примерный вид кривой Гаусса изображен на рис.1.хРис.1.Найдем вид функции распределения для нормального закона:xF ( x) =∫ f (t )dt = σ1x∫e−(t − a )22σ 2dt.(6.2)2π −∞Перед нами так называемый «неберущийся» интеграл, который невозможно выразитьчерез элементарные функции.