Теория универа (Теория вероятностей и математическая статистика. Теория и примеры решения задач), страница 3

Следовательно,р (А) · р (В/А) = р (В) · р (А/В).(2.7)Определение 2.3. Событие В называется независимым от события А, если появлениесобытия А не изменяет вероятности В, то есть р (В/А) = р (В).Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Действительно, из (2.7)следует при этом, что р (А) · р (В) = р (В) · р (А/В), откуда р (А/В) = р (А). Значит,свойство независимости событий взаимно.Теорема умножения для независимых событий имеет вид:р (АВ) = р (А) · р (В) ,(2.8)то есть вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей.При решении задач теоремы сложения и умножения обычно применяются вместе.Пример.

Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени. Вероятности их попаданияпри одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Найти вероятности следующихсобытий:А – хотя бы одно попадание при двух выстрелах;В – ровно одно попадание при двух выстрелах;С – два попадания;D – ни одного попадания.Решение. Пусть событие Н1 – попадание первого стрелка, Н2 – попадание второго.

ТогдаА = Н1 + Н2, В =Н1 ⋅ Н 2 + Н 1 ⋅ Н 2 , С = Н 1 ⋅ Н 2 , D = H 1 ⋅ H 2 . События Н1 и Н2 совместны инезависимы, поэтому теорема сложения применяется в общем виде, а теорема умножения– в виде (2.8). Следовательно, р(С) = 0,6·0,7 = 0,42,р(А) = 0,6 + 0,7 – 0,42 = 0,88,р(B) = 0,6·0,3 + 0,7·0,4 = 0,46 (так как события Н 1 ⋅ Н 2 и Н 1 ⋅ Н 2 несовместны),р(D) = 0,4·0,3 = 0,12. Заметим, что события А и D являются противоположными, поэтомур(А) = 1 – р(D).Вероятность появления хотя бы одного события.Теорема 2.4. Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событийА1, А2,…, Ап равнар (А) = 1 – q1q2…qn ,(2.9)где qi – вероятность события Аi , противоположного событию Аi .Доказательство.Если событие А заключается в появлении хотя бы одного события из А1, А2,…, Ап, тособытия А и А1 А2 ...

Ап противоположны, поэтому по теореме 2.2 сумма их вероятностейравна 1. Кроме того, поскольку А1, А2,…, Ап независимы, то независимы и А1 , А2 ,..., Ап ,следовательно, р( А1 А2 ... Ап ) = р ( А1 ) р ( А2 )... р ( Ап ) = q1 q 2 ...q n . Отсюда следуетсправедливость формулы (2.9).Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9выпал хотя бы один герб?Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события (выпадения цифры) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя быодного герба при п выстрелах равна 1- (0,5)п .

Тогда из решения неравенства 1- (0,5)п > 0,9следует, что п > log210 ≥ 4.10PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 3.Формула полной вероятности и формула Байеса. Схема и формула Бернулли.Приближение Пуассона для схемы Бернулли.Определение 3.1. Пусть событие А может произойти только совместно с одним из событийН1, Н2,…, Нп, образующих полную группу несовместных событий. Тогда события Н1,Н2,…, Нп называются гипотезами.Теорема 3.1.

Вероятность события А, наступающего совместно с гипотезами Н1, Н2,…, Нп,равна:nр ( А) = ∑ p ( H i ) p ( A / H i ),(3.1)i =1где p(Hi) – вероятность i- й гипотезы, а p(A/Hi) – вероятность события А при условииреализации этой гипотезы. Формула (3.1) носит название формулы полной вероятности.Доказательство.Можно считать событие А суммой попарно несовместных событий АН1, АН2,…, АНп.Тогда из теорем сложения и умножения следует, чтоnр ( А) = р ( АН 1 + АН 2 + ...

+ АН п ) = р ( АН 1 ) + р ( АН 2 ) + ... + р ( АН п ) = ∑ p( H i ) p ( A / H i ),i =1что и требовалось доказать.Пример. Имеются три одинаковые урны с шарами. В первой из них 3 белых и 4 черныхшара, во второй – 2 белых и 5 черных, в третьей – 10 черных шаров. Из случайно выбранной урны наудачу вынут шар. Найти вероятность того, что он белый.Решение. Будем считать гипотезами Н1, Н2 и Н3 выбор урны с соответствующим номером.1Так как по условию задачи все гипотезы равновозможны, то р ( Н 1 ) = р ( Н 2 ) = р ( Н 3 ) = .33Найдем условную вероятность А при реализации каждой гипотезы: р ( А / Н 1 ) = ,721 3 1 2 15р ( А / Н 2 ) = , р ( А / Н 3 ) = 0.

Тогда р ( А) = ⋅ + ⋅ + ⋅ 0 =≈ 0,238.73 7 3 7 321Формула Байеса (теорема гипотез).Пусть известен результат опыта, а именно то, что произошло событие А. Этот факт можетизменить априорные (то есть известные до опыта) вероятности гипотез. Например, впредыдущем примере извлечение из урны белого шара говорит о том, что этой урной немогла быть третья, в которой нет белых шаров, то есть р (Н3/А) = 0. Для переоценкивероятностей гипотез при известном результате опыта используется формула Байеса:p( H i ) p ( A / H i )(3.2)р ( Н i / A) =.p ( A)Действительно, из (2.7) получим, что p ( A) p ( H i / A) = p ( H i ) p ( A / H i ), откуда следуетсправедливость формулы (3.2).Пример.

После двух выстрелов двух стрелков, вероятности попаданий которых равны 0,6и 0,7, в мишени оказалась одна пробоина. Найти вероятность того, что попал первыйстрелок.Решение. Пусть событие А – одно попадание при двух выстрелах, а гипотезы: Н1 – первыйпопал, а второй промахнулся, Н2 – первый промахнулся, а второй попал, Н3 – оба попали,Н4 – оба промахнулись. Вероятности гипотез: р(Н1) = 0,6·0,3 = 0,18, р(Н2) = 0,4·0,7 = 0,28,р(Н3) = 0,6·0,7 = 0,42, р(Н4) = 0,4·0,3 = 0,12. Тогда р(А/Н1) = р(А/Н2) = 1,11PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comр(А/Н3) = р(А/Н4) = 0.

Следовательно, полная вероятность р(А) = 0,18·1 + 0,28·1 + 0,42·0 +0,12·0 = 0,46. Применяя формулу Байеса, получим:0,18 ⋅ 1 9р ( Н 1 / А) ==≈ 0,391.0,4623Схема повторения испытаний. Формула Бернулли.Рассмотрим серию из п испытаний, в каждом из которых событие А появляется с одной итой же вероятностью р, причем результат каждого испытания не зависит от результатовостальных. Подобная постановка задачи называется схемой повторения испытаний.Найдем вероятность того, что в такой серии событие А произойдет ровно к раз (неважно, вкакой последовательности). Интересующее нас событие представляет собой сумму равновероятных несовместных событий, заключающихся в том, что А произошло в некоторых киспытаниях и не произошло в остальных п – к испытаниях. Число таких событий равночислу сочетаний из п по к, то есть С пк , а вероятность каждого из них: pkqn-k, где q = 1 – p –вероятность того, что в данном опыте А не произошло.

Применяя теорему сложения длянесовместных событий, получим формулу Бернулли:p n (k ) = C nk ⋅ p k ⋅ q n −k .(3.3)Пример. Для получения приза нужно собрать 5 изделий с особым знаком на этикетке.Найти вероятность того, что придется купить 10 изделий, если этикетки с этим знакомимеют 5% изделий.Решение. Из постановки задачи следует, что последнее купленное изделие имеет особыйзнак. Следовательно, из предыдущих девяти эти знаки имели 4 изделия.

Найдем вероятность этого по формуле Бернулли: p9 (4) = C 94 ⋅ (0,05) 4 ⋅ (0,95) 5 = 0,0006092. Тогдар = 0,0006092·0,05 = 0,0000304.Приближение Пуассона для схемы Бернулли.Формула Бернулли требует громоздких расчетов при большом количестве испытаний.Можно получить более удобную для расчетов приближенную формулу, если при большомчисле испытаний вероятность появления А в одном опыте мала, а произведение пр = λсохраняет постоянное значение для разных серий опытов ( то есть среднее число появлений события А в разных сериях испытаний остается неизменным).

Применим формулуБернулли:n−kn(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1) kn(n − 1)...(n − k + 1)  λ   λ p n (k ) =p (1 − p) n −k =  1 −  .k!k!n  nНайдем предел полученного выражения при n → ∞ :n−k  1  2   k − 1  λ  n −k  λkλkλk −λ λ  λlim1 ⋅ 1 − 1 − ...1 −1−   =lim1 −  1 −  =⋅ e ⋅ 1.p n (k ) ≈k! n→∞  n  n  n  n   k! n→∞ n   n k!kТаким образом, формула Пуассонаλk e − λ(3.4)k!позволяет найти вероятность к появлений события А для массовых (п велико) и редких(р мало) событий.p n (k ) =12PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comЛекция 4.Случайные величины.

Закон распределения и функция распределения дискретнойслучайной величины. Биномиальное распределение и распределение Пуассона.Наряду с понятием случайного события в теории вероятности используется и болееудобное понятие случайной величины.Определение 4.1. Случайной величиной называется величина, принимающая врезультате опыта одно из своих возможных значений, причем заранее неизвестно, какоеименно.Будем обозначать случайные величины заглавными буквами латинского алфавита (Х,Y,Z,…), а их возможные значения – соответствующими малыми буквами (xi, yi,…).Примеры: число очков, выпавших при броске игральной кости; число появлений гербапри 10 бросках монеты; число выстрелов до первого попадания в цель; расстояние отцентра мишени до пробоины при попадании.Можно заметить, что множество возможных значений для перечисленных случайныхвеличин имеет разный вид: для первых двух величин оно конечно ( соответственно 6 и 11значений), для третьей величины множество значений бесконечно и представляет собоймножество натуральных чисел, а для четвертой – все точки отрезка, длина которого равнарадиусу мишени.

Таким образом, для первых трех величин множество значений изотдельных (дискретных), изолированных друг от друга значений, а для четвертой онопредставляет собой непрерывную область. По этому показателю случайные величиныподразделяются на две группы: дискретные и непрерывные.Определение 4.2. Случайная величина называется дискретной, если она принимаетотдельные, изолированные возможные значения с определенными вероятностями.Определение 4.3. Случайная величина называется непрерывной, если множество еевозможных значений целиком заполняет некоторый конечный или бесконечныйпромежуток.Дискретные случайные величины.Для задания дискретной случайной величины нужно знать ее возможные значения ивероятности, с которыми принимаются эти значения.

Соответствие между ниминазывается законом распределения случайной величины. Он может иметь вид таблицы,формулы или графика.Таблица, в которой перечислены возможные значения дискретной случайной величины исоответствующие им вероятности, называется рядом распределения:xipix1p1……x2p2xnpn……Заметим, что событие, заключающееся в том, что случайная величина примет одно изn(∞ )своих возможных значений, является достоверным, поэтому∑pi =1i= 1.Пример. . Два стрелка делают по одному выстрелу по мишени.

Вероятности их попаданияпри одном выстреле равны соответственно 0,6 и 0,7. Составить ряд распределенияслучайной величины Х – числа попаданий после двух выстрелов.Решение. Очевидно, что Х может принимать три значения: 0, 1 и 2. Их вероятностинайдены в примере, рассмотренном в лекции 3. Следовательно, ряд распределения имеетвид:13PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.comхi 012pi 0,12 0,46 0,42Графически закон распределения дискретной случайной величины можно представить ввиде многоугольника распределения – ломаной, соединяющей точки плоскости скоординатами (xi, pi).x1x2 x3x4x5Функция распределения.Определение 4.4. Функцией распределения F(x) случайной величины Х называетсявероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее х:F (x) = p (X < x).(4.1)Свойства функции распределения.1) 0 ≤ F(x) ≤ 1.Действительно, так как функция распределения представляет собой вероятность,она может принимать только те значения, которые принимает вероятность.2) Функция распределения является неубывающей функцией, то есть F(x2) ≥ F(x1) прих2 > x1.