1-16 (Все лекции 2020 [Яроц]), страница 8

Скорость движения в этой точке υ. Составляющие этой скорости поосям координат - υx , υy ,υz .Проведём через точку О горизонтальную линию, параллельнуюоси О’X. Точки пересечения с гранями параллелепипеда – точка А(грань 1234) и точка В (грань 5678).Давление в этих точках по оси О’X соответственно равно – pA и pB .Гидростатическое давление изменяется непрерывно линейно, иприращение давления на единицу длины dx - равно∂p∂pdz .dy ; dz - равно∂z∂yСледовательно, давления в точках А∂pdx ; dy ∂xравноразличаться на величинуиВпо оси О’Xбудут1∂pdx .2 ∂xДавления в точках А и В выразим в следующем виде:pA = p -1∂pdx2 ∂xиpB = p +1∂pdx .2 ∂xРассмотрим равновесие параллелепипеда, находящегося в движущейся жидкости, используяпринцип Д’аламбера.Принцип Д’аламбера заключается в следующем:При движении системы ее положение может рассматриваться, как положение равновесия, если кактивным силам, действующим на систему, прибавить фиктивные силы (силы инерции).Тогда, проецируя все силы на ось О’X , получим:( pгде1∂p1∂pdx )dydz - (p +dx )dydz + q x ρdxdydz + j x ρdxdydz = 0 ,2 ∂x2 ∂x1-е и 2-е слагаемое – силы давления на левую и правую грани;3-е слагаемое – проекция массовой силы на ось О’X;4-е слагаемое – проекция силы инерции на ось О’X.2-Яроц ВВdxdydzРаскрыв скобки, разделив полученное уравнение наjx = -ax = -dυxdt, получим:qx -1 ∂p dυx=ρ ∂xdtи, учитывая, что.(1)Аналогично можно получить уравнения по осям О’Y и О’Z, а именно:1 ∂p dυ yqy =ρ ∂y dtqz -;1 ∂p dυz=ρ ∂z dt.(2)Уравнения (1) и (2) можно записать в виде системы:qx -1 ∂p dυx=ρ ∂xdt1 ∂p dυ yqy =ρ ∂y dtqz -(3)1 ∂p dυz=ρ ∂z dtВ общем случае величины υx , υy ,υz являются функцией координат x, y, z, а также времени t.Следовательно, полный дифференциал скорости υx будет равен:dυx =∂υx∂υ∂υ∂υdx + x dy + x dz + x dt .∂x∂y∂z∂tРазделив леву и правую части уравнения на dt, получим:dυx ∂υx dx ∂υx dy ∂υx dz ∂υx=+++dt∂x dt ∂y dt ∂z dt ∂tТогда имеем:,гдеdxdzdy= υx ;= υz .= υy ;dtdtdtdυx ∂υx∂υx∂υx∂υx=υ +υ +υ +dt∂x x ∂y y ∂z z ∂tАналогично можно получить дифференциалы скоростей -dυ ydt;dυ zdt.и, внеся их в систему,получим:∂υx∂υx∂υx1∂p ∂υxqx =υ +υ +υ +ρ ∂x ∂x x ∂y y ∂z z ∂t∂υ y∂υy∂υy1 ∂p ∂υ yqy =υ +υ +υ +ρ ∂y ∂x x ∂y y ∂z z ∂t1∂p ∂υz∂υz∂υz∂υzqz =υ +υ +υ +ρ ∂z ∂x x ∂y y ∂z z ∂t(4)3-Яроц ВВУравнения(4)представляют собой дифференциальные уравнения движения идеальной(невязкой) жидкости - уравнения Эйлера.Уравнения Эйлера выражают связь между проекциями действующих сил, скоростей, давления иплотности жидкости.Уравнения гидродинамики для потоков реальной (вязкой) жидкостиОтличия этих потоков:- скорости течения по сечению распределены неравномерно из-за эффекта прилипания к стенкам иналичия трения между слоями жидкости и стенок внутри поверхности жидкости;- диссипация механической энергии (рассеивание), обусловленное внутренним трением в потоке.Нормальное (живое) сечение в потоке.Нормальное сечение(живое) – это в общем случае поверхность в пределах потока,проведённая нормально к линиям тока.В дальнейшем будем рассматривать в потоках такиеучастки, в которых струйки можно считать параллельнымии, следовательно, живые сечения – плоскими.Скорость движения частиц в живом сечении –скорость струйки υ.Расход, проходящий через площадь dF в единицувремени dt равен:dQ = υdF , [м3/с].Общий объёмный расход жидкости через любоенормальное сечение будет представлять собой суммуэлементарных расходов струек, т.е.

не что иное, как:Если жидкость несжимаема, тоQ= ∫υdFF.Q1 = Q2 = Qi = const.Количество жидкости, протекающее в единицу времени через любое нормальное сечение,можно измерить через весовой и массовый расход:dG = ρgdQ, [Н/сек],dM = ρdQ, [кг/сек].Если же величина скорости по нормальному сечению одинакова, то объёмный расход равен:Q = υF .Однако, если закон изменения скорости по нормальному сечению неизвестен, то вводимпонятие о средней скорости υср.Средняя скорость – это воображаемая скорость, равномерно распределённая по сечению, прикоторой расход равен действительному расходу.ТогдаQ=∫F υdF =υср F ,υdF∫т.е.υср =FF;υср =QF.Средняя скорость вводится даже в тех случаях, когда известен закон изменения скорости,так как это существенно упрощает расчёт.4-Яроц ВВУравнение неразрывности (уравнение постоянства расхода).Рассмотрим движение несжимаемой жидкости в вдоль твёрдой стенки (например, в трубе).Вывод уравнения начнём для установившегося движения.При таком потоке жидкость между сечениями (1) и (2) ненакапливается.

Количество жидкости, проходящее через обасечения одинаково.Следовательно,m1 = m2, т.е. ρ1υср1 F1 = ρ2υср2 F2 .Но т.к. для капельных жидкостей имеем:Тогда получаем, что:υср1 F1 = υср2 F2 = const.ρ1 = ρ2 = ρ .- уравнение неразрывности.Все потоки в каналах принято делить на две основные группы:- равномерные;- неравномерные.Во втором случае имеет место неравномерное распределение скорости по потоку, а,следовательно, и неравномерное распределение механической энергии вдоль потока.Из предыдущей лекции мы знаем, что напор элементарной струйки равен:p υ2H = z++, [м].ρg 2 gВведём понятие мощности элементарной струйки, которая представляет собой произведениеудельной энергии жидкости в данной точке на элементарный массовый расход:dN  gH  dQ , [Вт].Но так как, расход элементарной струйки равен:dQ = υdF , [м3/с],то тогда мощность всего потока будет равна:p 2N   gH  dQ   g  ( z )  dF .g2gFFВведя понятие средний напор потока, получим:H ср гдеN, [м],gQρgQ – число весовых единиц;Нср – средний запас уд.

мех. энергии, приходящейся на единицу веса перемещающейся ж-ти.Тогда получаем:5-Яроц ВВ1p 2H ср   ( z ) dF ,QFg 2 gгде 1-х два слагаемых представляют собой статический напор, а 3-е слагаемое – динамический(скоростной) напор.Отсюда получаем:илиH cтH ср  H ст  H ск1p  (z ) dF ;QFgH cк1 3  ( )  dF .Q F 2gУмножив и разделив выражение для Нск на υср3 и зная, что Q = υсрF, получим:3ср3ср2 1   ср23H cк ( )  dF dF   ,2 gср F F ср32 g F F  ср 2gгде1F F  срH cк   илиср22g,3 dF - коэффициент кинетической энергии, учитывающий неравномерностьраспределения скорости по нормальному сечению (α – величина безразмерная).При υ ≠ υср , => α > 1;, α ≥ 1.При υ = υср , => α = 1;Вычислим также значение Нст для равномерных потоков жидкости.Рассмотрим движущийся поток жидкости.

Выделим внутри потока элементарный объёмжидкости и рассмотрим равновесие этого объёма под действием всех сил в проекции на ось z.Тогда,∑ z = 0;pdF  ( p  dp)dF  g  dFdz  0 .Раскрыв скобки и проведя сокращения, получим:dp  g  dz  0 ; d ( p  g  z)  0 .z+Следовательно:p= const .ρgПотенциальная энергияжидкости в потоке одинакова.В частности для точки С имеем:H ст  zср pсрgдлявсехzср pсрgчастиц co n s ,t.Полученное уравнение справедливо для следующих потоков:потоки малой кривизныДолжно быть b << Rпотоки с малой конусностьюУгол раствора:Ɵ < (10° - 15°)6-Яроц ВВБаланс напоров.диссипации механической энергии), т.е.гдеНапор в сечении 1: H1  z1 p12 1 1 ;g2gНапор в сечении 2: H 2  z2 p22 2 2g2gПри движении реальной (вязкой) жидкости H2 < H1 (из-заH2 - H1 = hп ,hп – гидравлические потери энергии напора.В итоге получаем:p112p222z1  1 z2  2 hп ,g2gg2gДанное уравнение является уравнением Бернулли для конечного потока реальной (вязкой)жидкости при установившемся движении.От уравнения для элементарной струйки идеальной жидкости это уравнение отличаетсячетвертым членом - потерей полного напора, и коэффициентами кинетической энергии α 1 и α2,учитывающими неравномерность распределения скоростей.Скорости, входящие в это уравнение, являются средними скоростями в первом и второмсечениях потока.Это уравнение Бернулли применимо не только для жидкостей, но и для газов, при условии, чтоскорость их движения значительно меньше скорости звука.Графически это уравнение представляется диаграммой подобно уравнению Бернулли дляидеальной жидкости с учётом потерь напора.

Потери напора вдоль потока возрастают.Яроц ВВ1Лекция № 9.Гидравлические потери энергии (напора).Общие сведения.Потери удельной механической энергии (напора) или так называемые гидравлические потеризависят от формы, размера и шероховатости канала, а также от скорости и вязкости жидкости.Во многих случаях течения гидравлические потери примерно пропорциональны величинескоростного напора:υ2.2gПотери удельной механической энергии разделяют на два вида:- потери энергии на местных гидравлических сопротивлениях (местные потери);- потери энергии на трение по длине трубопроводов (потери на трение).1) Местные потери напора обусловлены наличием так называемых местных гидравлическихсопротивлений (вентиль, угольник, диафрагма, внезапное расширение, внезапное сужение и т.д.), гдепоток претерпевает деформацию и скорости меняются и по величине и по направлению.Общая формула (или формула Вейсбаха)определения местных сопротивлений имеет вид:υ2hм = ζ (),2gгдеζ – безразмерный коэффициент местногосопротивления;υ – характерная скорость.При определении потерь на местных сопротивлениях по формуле Вейсбаха используютсреднюю скорость жидкости в трубопроводе, в котором имеется местное сопротивление.Если же диаметр трубопровода, а, следовательно, и скорость потока меняются по длине, то зарасчётную скорость удобнее принимать бо’льшую, т.е.

скорость соответствующую меньшемудиаметру.2) Потери на трение обусловлены трением слоёв жидкости относительно друг друга и трением овнутренние стенки канала и определяется по формуле (формула Вейсбаха-Дарси):hтргдеl υ2=λ,d 2gλ – безразмерный коэффициент сопротивления трения.Коэффициенты ζ и λ определяются опытным путём. (Для некоторых коэффициентовполучены эмпирические зависимости, составлены таблицы экспериментальных значений, которыесодержатся в справочниках по гидравлическим сопротивлениям).При определении суммарных потерь удельной энергии исходят из так называемого принципаналожения потерь (т.е. исключают взаимное влияние гидравлических сопротивлений) – полнаяпотеря удельной энергии определяется алгебраической суммой потерь, вызванных каждымсопротивлением в отдельности.При использовании этого метода могут возникать погрешности.Поэтому замеры параметров потоков следует проводить на прямых участках трубопровода(длиной ≥ 10 d до и после исследуемого местного сопротивления.Яроц ВВ2Примеры анализа гидродинамическихявлений на основе уравненийгидродинамики.1) Истечение жидкости через малые круглые отверстия(при постоянном напоре).Рассмотрим резервуар с жидкостью под давлением ратм,имеющий в днище малое круглое отверстие, черезкоторое происходит истечение жидкости в атмосферу.Движение жидкости считаем установившимся.Запишем для сечений (1-1) и (2-2) уравнение Бернулли:p1υ12p2υ22z1 ++ α1= z2 ++ α2+ hпρg2gρg2gДля нашего случая - F1 >> F2 ;z1  H ;υ1 << υ2 .p1  pатм; 1  0; z2  0; p2  pатм;В итоге, получаем:H  2222g hп ,гдеυ22hп = ζ.2gТогда, подставив это значение вместо hп и выразив скорость υ2 , получим:1υ2 =2 gH = φ 2 gH ,α2 + ζгдеφ =1- коэффициент скорости (величина безразмерная).α2 + ζТак как, α2  1иζ  0 ⇒ φ  1.В случае идеальной жидкости -   1и  0    1 и скорость истечения идеальнойжидкости равна теоретической скорости:T  2 gH .Из рассмотрения этих формул можно заключить, что коэффициент скорости φ есть отношениедействительной скорости истечения жидкости к теоретической скорости:φ=υсυ= с  1 , где2 gH υТυс – скорость струи.Коэффициент φ < 1 из-за наличия вязкости у реальной жидкости.Степень сжатия струи оценивается коэффициентом сжатия ε, равным отношению площадисжатого поперёчного сечения струи к площади отверстия:ε=Fcd= ( c )2 .FodoУмножив скорость струи в сжатом сечении υc = φ 2 gH на площадь сечения сжатой струиFc = ε∙Fo , получим выражение для расхода жидкости через отверстие с острой кромкой присовершенном сжатии:Qc = υc Fc = εFoφ 2 gH = μFo 2 gH ,где = ε∙φ - коэффициент расхода.Коэффициентом расхода при истечении из круглого отверстия μкоэффициента сжатия ε на коэффициент скорости φ.называется произведение3Яроц ВВ2) Труба Вентури.Она представляет собой устройство, устанавливаемое в трубопроводах и осуществляющеесужение потока – дросселирование.Труба Вентури состоит из 2-х участков – плавносужающегося (сопло) и постепенно расширяющегося(диффузора).Скорость потока в суженном месте возрастает, адавление падает.