1-16 (Все лекции 2020 [Яроц]), страница 6

Безразлично, где выбрана вертикальная плоскость;2. Горизонтальная составляющая силы давления не зависит от формы стенки, а зависит отконтура стенки.3-Яроц ВВПлавание тел.Рассмотренный нами способ нахождения вертикальной составляющей силы давления жидкостина криволинейные стенки используют и для доказательства закона Архимеда.Поместим полностью в жидкость тело произвольной формы ABCD объёмом VАВСD.Разделим поверхность тела на две части. Построимобъём тела давления на верхней части и нижней части.Все горизонтальные силы, действующие на тело,должны взаимно уравновешиваться, так как каждойгоризонтальной силе давления, действующей на поверхностьтела в произвольно выбранном направлении, всегда будетсоответствовать другая сила, действующая на тело спротивоположной стороны и равная первой:Рx = Рy =0.Суммарная сила воздействия жидкости на тело будетравна:РZ = РВ2-РВ1 = g VА’ADCС’ -  g VА’AВСС’ =  gVАВСD = GАВСD.гдеРВ1 – вертикальная составляющая силы давления на стенку АВС;РВ2 – вертикальная составляющая силы давления на стенку АDC.Силу РZназывают выталкивающей силой или архимедовой силой, а точка её приложения,т.е.

центр тяжести объёма VАВСD - центром водоизмещения.Закон Архимеда:На тело, погруженное в жидкость, действует выталкивающая сила, направленная вертикальновверх, численно равная весу жидкости, вытесненной телом, и приложенная в центре тяжестиобъёма погруженной части тела.Частные случаи закона Архимеда:1) G > РZ - отрицательная плавучесть (тело тонет);2) G < РZ - положительная плавучесть (тело всплывает и плавает на поверхности жидкости);3) G = РZ - нулевая плавучесть (тело плавает погруженным в жидкость полностью).Относительный покой (равновесие) жидких сред.Рассмотренные случаи равновесного состояния жидкости относятся к случаю абсолютногопокоя, под которым понимается покой находящейся в сосуде жидкости, неподвижном относительноЗемли, т.е. система координат жёстко связана с Землёй.

Частицы жидкости при таком состояниинаходятся под действием только сил тяжести.Если при движении сосуда на частицы жидкости, кроме сил тяжести действуют ещё и силыинерции, то под действием этих сил жидкость принимает новое положение равновесия - положениеотносительного покоя.Относительным покоем называется равновесие жидкости, находящейся под действиемсил тяжести и инерции в движущемся сосуде.4-Яроц ВВРавновесие жидкости в сложных силовых полях.а) Прямолинейное поступательное движение с постоянным ускорением.На жидкость, находящуюся в относительном покое, действуют результирующие массовые силы(сила тяжести и сила инерции переносного движения), а из поверхностных – только силы давления.При относительном покое жидкость перемещается как твёрдое тело.В системе прямоугольных осей координат рассмотрим равновесие жидкости, находящейся впокое относительно сосуда, движущегося с постоянным ускорением а под углом α к горизонту.Ось Оy направлена перпендикулярно плоскости движения.Н.с.

– неподвижная система, связанная с землёй.Для любой частицы жидкости к ускорению силытяжестиgдобавляется ускорение переносногодвиженияj = - a, т.е. оно направлено в сторонупротивоположную ускорению сосуда.Т.е. при движении сосуда в поле силы тяжестивектор единичной массовой силы q в каждой точкежидкости представляет собой сумму единичной силытяжести g и единичной силы инерции j переносногодвижения:q=g + j.Основное свойство поверхностей уровня равнодействующая массовых сил всегда нормальнак этим поверхностям.ВоспользуемсядифференциальнымуравнениемЭйлера:dp =  (qx.dx+qy.dy+ qz.dz),Для нашего случаяqx = а·cos ;qy=0;qz = - g + а·sin ,подставив, получим:dp = ρ·a·cos·dx - ρ·(g - a·sinα)·dz .Проинтегрировав данное выражение, найдём закон распределения давления в жидкостиp = .·a·cosα.x -  .

(g - a·sin)· z + С,где(1)С - постоянная интегрирования.На произвольной ПУ давление постоянно (p = const, dp = 0), тогда уравнение семейства ПРД(плоскостей, параллельных 0y):.·a·cosα.x -  . (g - a·sin)· z + С1 = 0 ,гдеС1 - постоянная интегрирования, уравнения семейства ПРД.(2)5-Яроц ВВТак как СП также является ПУ, для которой – (x = х0 , z = z0). Тогда, с учётом этих условий извыражения (2), найдём значение С1 для СП и затем, подставив его в данное выражение, получимуравнение СП:z - z0 =a cos α( x - x0 ) = tgβ ( x - x0 ) - уравнение для СП.g - a sin αС учётом граничных условий - x = x0; z = z0 и, так как давление на СП равно (р = р0), получимзакон распределения давления по объёму жидкости:p = p0 + ·a·cosα·(x-x0) -  ·(g - a·sin)· (z-z0).Анализ полученного уравнения позволяет сделать заключения:1) Давление в жидкости меняется по всем направлениям, кроме ПРД, которые нормальнысуммарному вектору равнодействующей единичной массовой силы q .2) Давление в жидкости изменяется линейно по любому направлению, кроме оси 0у, которойпараллельны ПРД.3) При опускании (свободном падении) сосуда с жидкостью - =90o; qx =0;qy=0;qz =0;дифференциальное уравнение примет вид dp=0; откуда имеем p1 = p2 = p0 - во всем сосуде давлениеодинаково и не зависит от высоты свободной поверхности.1-Яроц ВВЛекция № 6.Пример 1.Цистерна движется с ускорением а.j – вектор единичной силы инерции переносногодвижения.Определить ускорение a, при котором жидкость небудет выливаться.Решение задач такого рода необходимоначинать с определения по величине и направлениювектора единичной массовой силы – q.tgγ =a;gq = a2 + g2 .Силы давления жидкости на стенки в этом случае, благодаря однородности поля массовых сил,определяются зависимостями, аналогичными тем, которые были приведены в случае равновесияжидкости в неподвижном сосуде.В частности:- силы давления на плоскую стенку:P  pc F .- силы давления на криволинейную стенку:P  РГ2  PВ2 .Пример 2.

В случае решения задачи графоаналитическим методом сила давления жидкости накриволинейную стенку вычисляется суммированием составляющих по координатным осям.Составляющая силы давления по направлению S равна:Ps = qsVТДs,гдеqs – проекция вектора единичной массовой силы нанаправление S;VТДs – объём тела давления, построенного парал-лельнонаправлению S, между поверхностью стенки и ПП.б) Равномерное вращение сосуда с жидкостью вокруг вертикальной оси.Возьмём открытый цилиндрический сосуд с жидкостью и сообщим ему вращение с постояннойугловой скоростью (ω = const) вокруг его вертикальной оси.Силы трения о стенки вращающегося сосуда будутувлекать за собой жидкость. Она постепенно приобретёт туже угловую скорость, что и сосуд, т.е.

приобретётсостояние относительного покоя.Траектория любой частицы жидкости, находящейсяв покое относительно стенок сосуда – есть окружность сцентром на оси вращения.К ускорению силы тяжести частицы жидкости gдобавляется ускорение переносного движения, равное повеличинеипротивоположноепонаправлениюцентростремительному ускорению:j = ω2r,гдеω – угловая скорость вращения;r - радиус расположения вращаемой частицы.2-Яроц ВВПолучим закон распределения давления для данного случая, воспользовавшись ур-нием Эйлера:dp =  (qx.dx+qy.dy+ qz.dz).Для нашего случая проекции вектора единичной массовой силы на оси координат равны:q x = ω2 r cos( x^ r) = ω2 rx= ω2 x .

Аналогично получаем: q y = ω2 y , qz = -g .rПодставляя эти значения в уравнение Эйлера, получим:dp =  (2 x· dx+2y· dy - g· dz)Проинтегрировав данное выражение, получаем:ω2 r 2p = ρ(- gz) + C , где2r2 = x2 + y2.Постоянная интегрирования С может быть получена из следующих начальных условий.Точка А0 (вершина параболоида) имеет координаты (х0, у0, z0), r = r0 = 0 , а давление р = р0,тогда получаем:p0 = - ρgz0 + C , откуда C = p0 + ρgz0 .Подставив значение для С в выражение для р и, приведя его к удобному виду, получим:ω2 r 2p = p0 + ρg [( z0 - z) +].2gПолученное уравнение есть ни что иное, как закон распределения давления в жидкости всосуде, равномерно вращающемся относительно вертикальной оси.Анализ полученного закона:1) ПУ представляют собой конгруэнтные параболоиды вращения, ось которых совпадает с осьювращения сосуда.Примечание: Две геометрические фигуры называются конгруэнтными, если их можно совместить одну сдругой, изменив только её положение в пространстве.В частности для СП ( p = po) уравнение имеет вид:гдеω2 r 2z - z0 =,2gzо – вертикальная координата вершины параболоида СП;r, z – координаты любой точки СП.2) Из закона следует линейность распределения давления в жидкости по вертикальному направлениюи квадратичное распределение давления по горизонтальномунаправлению.На чертеже слева показана эпюра распределения давленияв точках дна сосуда, а справа – эпюра распределения давления повертикали.Если r = R, z – z0 = Hпар , тогда высота параболоида:ω2 R 2H пар =,2g3-Яроц ВВгдеR – радиус сосуда.3) Свойство параболоида.Пусть имеем сосуд, вращающийся с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси.Сосуд заполнен жидкостью таким образом, что при его вращении вершина параболоидакасается дна, а боковая грань - верхнего края цилиндра.Выделим в жидкости элементарный объём в виде кольца,который равен:dV = 2πrdr·z.ω2Обозначив z = A·r , где A =, и проинтегрировав2g2объём кольца, получим:AR 41V = ∫2 πrdr z = ∫2 πr Adr = 2 π= πR 2 AR 2 =42001= πR 2 H пар .2RR3В итоге получили, что объём под параболоидом, также равен объёму параболоида, а именнополовине произведения площади основания цилиндра на высоту:1Vпар  R 2  H пар.2Свойство параболоида вращения – параболоид вращения, построенный в цилиндре, делитцилиндр на две равные части.4) Объём жидкости во вращающемся цилиндрическом сосуде в случае, когда СП жидкостипересекает дно сосуда, определяется по формуле:V = π( R 2 - r 2 )b πg 2=b .2 ω2Общим методом определения сил давления жидкости на стенки сосуда являетсяполучение функции, выражающей закон распределения давления на заданной поверхности иинтегрирование этой функции по площади стенки.в) Равномерное вращение сосуда с жидкостью вокруг горизонтальной оси.В этом случае имеем поле массовых сил, неоднородных и несимметричных относительно осивращения.Равномерность распределения давленияпроисходит при высоких частотах вращения,т.е.