16 Дифференцируемость векторных функций нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 3

С учетом этого дифференциалфункции f можно записать в видеÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 16.3. Линейную относительно ∆x часть f 0 (x)∆x полного приращения функции f (x), дифференцируемой в точке x, называют (полным) дифференциалом функции fи обозначают через df (x).ÔÍ-12ÔÍ-12где f 0 (x) — матрица Якоби функции f (x), а функция α(∆x) является бесконечно малой функцией при ∆x → 0. Как и в случае скалярных функций, можно ввести следующее понятие.ÌÃÒÓÌÃÒÓ∆f (x) = f 0 (x)∆x + α(∆x)|∆x|,ÌÃÒÓных y = (y1 , y2 , .

. . , ym ) в окрестности данной точки (a, b) ∈ Rn+m ? Через Fx0 (x, y) =∂f1 (x, y)∂y1∂f2 (x, y)∂y1∂f1 (x, y)∂y2∂f2 (x, y)∂y2∂y1∂y2∂xn...∂f1 (x, y)∂ym∂f2 (x, y)∂ym...0Fy (x, y) = . . . . . . . . . . . . . . . . . . .∂fm (x, y)∂fm (x, y) ∂fm (x, y)....∂ymFy0 (x, y)Отметим, что матрицаявляется квадратной порядка m, а матрица Якоби F 0 (x, y) повсей совокупности переменных может быть записана как блочная матрица Fx0 (x, y) Fy0 (x, y) .Отметим также, что определитель квадратной матрицы Якоби (по части переменных или повсем переменным — неважно) называют якобианом.ÔÍ-12Теорема 16.5 (теорема о неявной функции (общий случай)).

Пусть система mуравнений F (x, y) = 0, x ∈ Rn , y ∈ Rm , удовлетворяет следующим трем условиям:1) координаты точки (a, b) ∈ Rn+m удовлетворяют системе уравнений, т.е. F (a, b) = 0;2) функция F (x, y) определена и непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности Vточки (a, b), т.е. F ∈ C 1 (V );3) матрица Якоби функции F (x, y) в точке (a, b) по части переменных y невырождена, т.е.det Fy0 (a, b) 6= 0.Тогда в Rn+m найдется окрестность U точки (a, b), определяемая неравенствами |x − a| << δx , |y − b| < δy , в которой система уравнений F (x, y) = 0 разрешима относительно группыÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12∂x2ÌÃÒÓÌÃÒÓи∂x1ÔÍ-12ÔÍ-12и Fy0 (x, y) =будем обозначать соответственно матрицы Якоби функции F по части∂yпеременных x и по части переменных y, т.е.∂f1 (x, y)∂f1 (x, y)∂f1 (x, y)...∂x2∂xn ∂x1 ∂f2 (x, y) ∂f2 (x, y)∂f(x,y)2...0Fx (x, y) =  ∂x1∂x2∂xn. .

. . . . . . . . . . . . . . . . .  ∂f (x, y) ∂f (x, y)∂fm (x, y)mm...ÌÃÒÓÌÃÒÓ∂F (x, y)∂F (x, y)∂xÔÍ-12где функции f1 (x), . . . , fm (x) определены в некоторой области X ⊂ Rn+m . Был рассмотренчастный случай системы (16.16) при m = 1, т.е. случай одного уравнения, при котором использовался аппарат скалярных функций нескольких переменных.

Остановимся на общем случаесистемы (16.16), используя аппарат векторных функций нескольких переменных.При изучении системы (16.16) удобно использовать векторные способы записи. Подобнуюсистему будем записывать в виде F (x, y) = 0, где x ∈ Rn объединяет переменные, значениякоторых задаются произвольно (свободные переменные), y ∈ Rm объединяет переменные, относительно которых решается система (зависимые переменные), а F : Rn+m → Rm — некоторая,вообще говоря, векторная функция нескольких переменных.Поставим вопрос: при каких условиях система F (x, y) = 0 разрешима относительно перемен-ÌÃÒÓÌÃÒÓРанее (см.

11.1) было введено общее понятие неявной функции (неявно заданной функции)как решения системы уравненийf1 (x1 , x2 , . . . , xn+m ) = 0,f (x , x , . . . , x2 12n+m ) = 0,(16.16). . . . . . . . . . . . .fm (x1 , x2 , . . . , xn+m ) = 0,ÌÃÒÓÔÍ-1216.4.

Теорема о неявной функции (общий случай)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ85ÌÃÒÓÌÃÒÓy=ϕ(x)y=ϕ(x)y=ϕ(x)Из этого матричного уравнения получаемϕ0 (x) = − Fy0 (x, y)−1y=ϕ(x)Fx0 (x, y),y=ϕ(x)ÔÍ-12Замечание 16.2. Как и в скалярном случае, теорема 16.5 не только дает формулу вычисления матрицы частных производных (матрицы Якоби) неявной функции, но и устанавливаетдостаточные условия существования неявной функции в окрестности заданной точки.Формула (16.17) может быть получена по правилу дифференцирования сложной функции впредположении, что в дополнение к условиям теоремы 16.5 выполнено условие: неявная функция y = ϕ(x), определяемая системой F (x, y), дифференцируема в точке a.

Действительно, внекоторой окрестности U (a) точки a выполняется тождество F (x, ϕ(x)) ≡ 0. Дифференцируяэто тождество в соответствии с правилом дифференцирования сложной функции, находимϕ0 (x) = 0.+ Fy0 (x, y)Fx0 (x, y)ÌÃÒÓÔÍ-12переменных y и тем самым задает функцию y = ϕ(x), x ∈ Ux = {x ∈ Rn : |x − a| < δx }. Приэтом функция y = ϕ(x) непрерывно дифференцируема в области Ux , ϕ(a) = b, а ее матрицаЯкоби ϕ0 (x) может быть вычислена по формуле−1 000ϕ (x) = − Fy (x, y) Fx (x, y) . #(16.17)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ86тявляется дифференцируемой в R4 и удовлетворяет условию F (0, 1, 0, 0) = (0 0) .

Вычислим еематрицу Якоби:−2v 2y2u −2x0F (x, y, u, v) =.2x −2u −2y 2vВ точке (0, 1, 0, 0) значение матрицы Якоби равно0 2 0 00F (0, 1, 0, 0) =.0 0 −2 0Следовательно, согласно теореме 16.5, в некоторой окрестности точки (0, 1, 0, 0) системууравнений (16.18) можно разрешить относительно переменных y и u, т.е. система определяет в окрестности точки x = 0, v = 0 функции y = y(x, v), u = u(x, v), для которыхтF (x, y(x, v), u(x, v), v) ≡ (0 0) . Эти функции, согласно теореме 16.5, дифференцируемы, номожно показать, что на самом деле они дважды непрерывно дифференцируемы.ÔÍ-12Видно, что матрица Якоби F 0 (0, 1, 0, 0) имеет единственный ненулевой минор второго порядка,соответствующий переменным y и u:2 00F(y, u) (0, 1, 0, 0) =.0 −2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12в окрестности точки (x, y, u, v) = (0, 1, 0, 0).

Векторная функция 2u − 2xv + y 2 − 1F (x, y, u, v) =v 2 − 2yu + x2ÌÃÒÓÌÃÒÓ(16.18)ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 16.2. Рассмотрим систему уравнений(u2 − 2xv + y 2 = 1,v 2 − 2yu + x2 = 0ÌÃÒÓÌÃÒÓчто равносильно (16.17).ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12В точке (0, 1, 0, 0) имеем du = dy = 0. Поэтому система (16.20) в этой точке принимает вид(− 2dxdv + d2 y = 0,dv 2 − d2 u + dx2 = 0.В результате получаем вторые дифференциалы функций y(x, v) и u(x, v) в точке (0, 0):d2 y = 2dxdv,d2 u = dx2 + dv 2 .

#ÌÃÒÓТеорема 16.6 (теорема об обратной функции). Пусть функция G: Rn → Rn удовлетворяет условиям:1◦ . Функция G(x) непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности V точки a, т.е.G ∈ C 1 (V ).2◦ . Матрица Якоби функции G(x) в точке a невырождена, т.е. det G0 (a) 6= 0.Тогда найдется такая окрестность U точки b = G(a), что:1∗ . В Uопределена функция G−1 (y), обратная к функции G(x), т.е. G−1 (y) ∈ V при y ∈ U иG G−1 (y) = y, y ∈ U .2∗ . Функция G−1 (y) непрерывно дифференцируема в U (в частности, непрерывна в U ), а еематрица Якоби связана с матрицей Якоби функции G(x) равенством0−1 .G−1 (y) = G0 (x) (16.21)ÔÍ-12Рассмотрим вопрос, при каких условиях функция нескольких переменных G: Rn → Rn имеет обратную функцию G−1 , а также вопрос о том, дифференцируема ли обратная функция.Соответствующие условия в окрестности фиксированной точки можно получить с помощьютеоремы о неявной функции.ÌÃÒÓÌÃÒÓТаким образом, функции y(x, v) и u(x, v) имеют нулевой дифференциал при x = v = 0.Еще раз дифференцируем систему (16.19), учитывая, что dx и dv — это дифференциалынезависимых переменных, а dy и du — это дифференциалы неявно заданных функций.

В результате получаем(du2 + u d2 u − dxdv − dvdx + dy 2 + y d2 y = 0,(16.20)dv 2 − dydu − y d2 u − dudy − u d2 y + dx2 = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12Полученная система двух уравнений является линейной относительно дифференциалов переменных x, y, u, v. В точке (0, 1, 0, 0) она приобретает особенно простой вид(dy = 0,du = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓНайдем первый и второй дифференциалы функций y(x, v) и u(x, v) в точке (0, 0).

Дифференцируя уравнения системы, после сокращения на 2 находим(u du − x dv − v dx + y dy = 0,(16.19)v dv − y du − u dy + x dx = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ87J Рассмотрим функцию F : R2n → Rn , определяемую равенством F (x, y) = G(x) − y. Этафункция непрерывно дифференцируема в окрестности точки (a, b) ∈ R2n , а множество решений системы n уравнений F (x, y) = 0 представляет собой график функции G(x), т.е.

множество точек (x, y), удовлетворяющих условию y = G(x). В частности, F (a, b) = 0. Таккак det G0 (a) 6= 0, то матрица Якоби Fx0 (a, b) = G0 (a) невырождена. Таким образом, дляÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12x=G−1 (y)ÌÃÒÓфункции F (x, y) в окрестности точки (a, b) выполнены условия теоремы 16.5 о неявной функции. Это значит, что система уравнений F (x, y) = 0 в некоторой окрестности W вида W == {(x, y) ∈ R2n : |x − a| < δx , |y − b| < δy } разрешима относительно переменных x, т.е.

существует такая функция ϕ(y), определенная в окрестности |y − b| < δy точки b, чтоF (ϕ(y), y) ≡ 0,(16.22)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ВЕКТОРНЫХÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМОСТЬФУНКЦИЙ НЕСКОЛЬКИХПЕРЕМЕННЫХ88(16.23)Так как F (x, y) = G(x) − y, тождество (16.22) означает, что G ϕ(y) ≡ y, т.е. функцияϕ(y) является обратной к функции G(x). Кроме того, матрица Fy0 (x, y) совпадает с матрицей−E, противоположной единичной матрице E. Поэтому равенство (16.23) сводится к равенству−1ϕ0 (y) = G0 (ϕ(y)) , равносильному (16.21) IПример 16.3. а. Рассмотрим отображение G: R2 → R2 , заданное уравнениями z1 = x1 +ex2 ,z2 = ex1 − x2 . Это отображение непрерывно дифференцируемо всюду в R2 .