11 Неявные функции. Градиент (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 2

НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТÔÍ-12Пример 11.8. Уравнению (y − x)2 = 0 соответствует функция F (x, y) = (y − x)2 , непрерывно дифференцируемая всюду в R2 . В точке (0, 0) выполнены первое и второе условия теоремы11.1, однако третье условие нарушено, так как Fy0 (x, y) = 2(y − x) и Fy0 (0, 0) = 0. Тем не ме-ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 11.7. а.

Рассмотрим уравнение y 2/3 − x = 0. Оно разрешимо относительно переменного x и определяет функцию x = y 2/3 (рис. 11.3). Ясно, что в окрестности точки (0, 0)рассматриваемое уравнение не разрешимо относительно переменного y,yтак как любому значению x > 0 соответствуют два противоположных познаку значения y, в то время как при x < 0 уравнение вообще не имеет решений. Такая ситуация указывает на нарушение условий теоремы11.1. Действительно, в точке (0, 0) выполнено первое условие теоремы, ноxOнарушены второе и третье условия, так как в точке (0, 0) не определеначастная производная функции f (x, y) = y 2/3 − x по переменному y.б.

Уравнение y 2 − x3 = 0, как нетрудно увидеть, эквивалентно предыдущему уравнению y 2/3 − x = 0, но ему соответствует функция F (x, y) =Рис. 11.3= x3 − y 2 , непрерывно дифференцируемая на всей плоскости. Новое уравнение по-прежнему не разрешимо в окрестности точки (0, 0) относительнопеременного y (так как оно эквивалентно прежнему).

Теорема 11.1 не применима, и единственной причиной этого в данном случае является нарушение третьего условиятеоремы. Отметим, что в других точках в R2 , удовлетворяющих уравнению y 2/3 − x = 0 (илиy 2 − x3 = 0), условия теоремы 11.1 выполнены, а уравнение в области x > 0 задает неявнуюфункцию y = x3/2 для точек выше оси абсцисс и y = −x3/2 для точек ниже оси абсцисс.ÔÍ-12ÔÍ-12что представляет собой иную запись формулы (11.3).Теоремы 11.1–11.2 содержат три условия, которые являются достаточными для локальногосуществования неявной функции и ее дифференцируемости.

В случае нарушения хотя бы одногоиз этих условий применение указанных теорем невозможно и следует искать другие подходык выявлению разрешимости системы нелинейных уравнений. Покажем на примерах, что принарушении условий теоремы о неявной функции ее утверждение может выполняться, а можети нет.ÌÃÒÓÌÃÒÓ∂yÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ46нее уравнение разрешимо относительно переменного y и задает функцию y = x, определеннуюи непрерывно дифференцируемую всюду в R. В данном случае утверждение теоремы (в части существования неявной функции) верно, хотя применение этой теоремы невозможно из-занарушения ее условий.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ.

ГРАДИЕНТИз этого определения и содержащегося в нем соотношения (11.4) легко сделать вывод о том,что производная по направлению вектора представляет собой скорость изменения значенийфункции f в точке a в направлении вектора n.Теорема 11.3. Если функция f : Rn → R дифференцируема в точке a ∈ Rn , то в этой точкеона имеет производную по направлению любого ненулевого вектора n, причемn∂f (a) X ∂f (a)=νi ,∂n∂xii=1(11.5)где n◦ = (ν1 , . .

. , νn ) = n/|n|.J Рассмотрим функцию g(s) = f (a + sn◦ ) одного действительного переменного s. Посколькуфункция нескольких переменных f (x) дифференцируема в точке a = (a1 , . . . , an ), то сложнаяфункция g(s) = f (x(s)), где x(s) = a + sn◦ , дифференцируема в точке s = 0 иnnXXdf (a1 + sν1 , . . . , an + sνn ) ∂f (a1 + sν1 , . . . , an + sνn ) ∂f (a)dg(s) ===ννi .ids s=0ds∂x∂xiis=0s=0i=1i=1Приравнивая правые части полученных равенств, получаем утверждение теоремы.

IПример 11.9. Функция двух переменных f (x, y) = exy имеет частные производныеfx0 (x, y) = yexy , fy0 (x, y) = xexy , являющиеся непрерывными функциями в R2 . Поэтому она,ÔÍ-12Из существования последнего предела вытекает и существование равного ему одностороннегопредела при s → +0. Поэтомуdg(s) ∂f (a)f (a + sn◦ ) − f (a)=lim=.ds s=0 s→+0s∂nÌÃÒÓВ то же время, согласно определению производной функции действительного переменного, имеемdg(s) g(s) − g(0)f (a + sn◦ ) − f (a)=lim=lim.s→0ds s=0 s→0ssÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12если этот предел существует.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(11.4)ÔÍ-12ÔÍ-12∂f (a)f (a + sn◦ ) − f (a)= lim,s→+0∂nsÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 11.1. Производной функции f : Rn → R в точке a ∈ Rn по направлениювектора n называют числоÔÍ-12ÔÍ-12Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R определена в некоторой окрестноститочки a ∈ Rn и задан вектор n 6= 0.

Обозначим через n◦ единичный вектор, имеющий то женаправление, что и вектор n:nn◦ == (ν1 , . . . , νn ).|n|ÌÃÒÓÌÃÒÓ11.2. Производная по направлениюÌÃÒÓÔÍ-12согласно теореме 9.3, дифференцируема в каждой точкеf (x, y) имеет производную по любому направлению. Взявπ1π= √ ,n = cos , sin442ÌÃÒÓ47плоскости. В точке (1, 0) функциявектор1√ ,2ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.

НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТудовлетворяющий условию knk = 1 и направленный под углом π/4 к оси абсцисс, получимÌÃÒÓÔÍ-12Определение 11.2. Пусть функция нескольких переменных f : Rn → R в точке x имеет всечастные производные первого порядка. Векторgrad f (x) = fx0 1 (x), . . . , fx0 n (x) ,составленный из частных производных первого порядка функции f (x) в точке x, называютградиентом функции f в точке x.Понятие градиента позволяет упростить запись формулы (11.5) для вычисления производной по направлению вектора n дифференцируемой в точке x функции.

Используя стандартноескалярное умножение в Rn , формулу (11.5) можно записать в виде∂f (x)= (grad f (x), n◦ ) .∂n(11.6)u0x = 2x − z sin xz,u0y = −6y 2 ,u0z = −x sin xz.Градиент функции u(x, y, z) существует в любой точке и имеет видÔÍ-12Пример 11.10. Найдем производную функции u = x2 − 2y 3 + cos xz трех переменных x, yи z в точке M (2; 1; 0) по направлению вектора n = (−1, 2, 2).Функция u(x, y, z) дифференцируема в любой точке в R3 . Найдем ее частные производныепервого порядка в произвольной точке (x, y, z):ÌÃÒÓÌÃÒÓ11.3. ГрадиентÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ111∂f (0, 0)= fx0 (1, 0) √ + fy0 (1, 0) √ = √ .∂n222ÌÃÒÓЗамечание 11.2.

Пусть вектор n задает направление, совпадающее с направлением одногоиз векторов стандартного базиса в Rn (в R3 или R2 такое направление совпадает с направлением соответствующей координатной оси). Например, n = (0, . . . , 1, . . . , 0), где единица стоитÔÍ-12Замечание 11.1. Непосредственно из определения вытекает, что при изменении направления вектора n на противоположное, т.е.

при замене вектора n вектором −n, производная понаправлению дифференцируемой функции меняет знак. 1∂u(2, 1, 0)2216= (grad u(2, 1, 0), n◦ ) = 4 · −+ (−6) · + 0 · = − .∂n3333ÌÃÒÓПодставляя в это выражение координаты точки M (2; 1; 0), находим grad u(2, 1, 0) = (4, −6, 0).Для заданного вектора n вычисляем единичный вектор n◦ с тем же направлением. Так как|n| = 3, то n◦ = (−1/3, 2/3, 2/3). Воспользовавшись формулой (11.6), окончательно получаемÔÍ-12grad u(x, y, z) = 2x − z sin xz, −6y 2 , −x sin xz .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12на i-м месте. Тогда в соответствии с определением 11.1 производной по направлению вектораполучаем∂f (x)f (x1 , .

. . , xi−1 , xi + s, xi+1 , . . . , xn ) − f (x)∂f (x)= lim=.s→+0∂ns∂xiТаким образом, производная по направлению базисного вектора совпадает с соответствующей частной производной. Однако обратим внимание на то, что производная по направлениюопределяется односторонним пределом, а частная производная — двусторонним. Поэтому возможна ситуация, когда производная по базисному направлению существует, а соответствующаячастная производная — нет.

Учитывая изложенное, можно сказать, что производная по направлению вектора обобщает понятие частной производной первого порядка, распространяя этопонятие на случай произвольного направления в заданной точке.Замечание 11.3. Производная по направлению имеет простую геометрическую интерпретацию. Рассмотрим, например, функцию двух переменных f (x, y) в окрестности точки(a, b) и некоторый вектор n = (p, q).

Единичный вектор n◦ в этом случае имеет координаты(cos α, sin α), где α — угол между вектором и осью абсцисс, а производная по направлениювектора n в точке (a, b) равна∂ff (a + t cos α, b + t sin α)= lim,∂n t→+0tzÔÍ-12(рис. 11.4). А тогда односторонняя производная функции ϕ(t) представляет собой тангенсугла наклона ϑ односторонней касательной в точке P к сечению графика функции z = f (x, y)указанной плоскостью.

Поскольку производную действительной функции одного действительного переменного в точке интерпретируют как скорость роста функции, производную функцииf (x, y) по направлению вектора n можно трактовать как скорость роста этой функции в направлении этого вектора.ÌÃÒÓт.е. совпадает с правосторонней производной функции ϕ(t) = f (a + t cos α, b + t sin α) в точкеt = 0.

График функции ϕ(t) можно представить как сечение поверхности z = f (x, y) вертикальной плоскостью, пересекающей координатную плоскость xOy по прямой L, заданнойпараметрическими уравнениямиx = a + t cos α,y = b + t sin α,z = 0ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ48ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТÌÃÒÓÌÃÒÓJPyaObxLОстановимся на некоторых свойствах градиента функции.Свойство 11.1.