11 Неявные функции. Градиент (Лекции Линейная алгебра и ФНП)

ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÌÃÒÓÏÅÐÅÌÅÍÍÛÕÔÍ-12Êîíñïåêò ëåêöèéÌÃÒÓÌÃÒÓÔÓÍÊÖÈÈ ÍÅÑÊÎËÜÊÈÕÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 11Пример 11.3. Уравнение x2 + y 2 + 1 = 0 не имеет решений и потому не задает ни одно изпеременных как функцию от другого.42ÔÍ-12Пример 11.1. Уравнение 3x2 − y + 20 = 0 может быть записано в эквивалентном видеy = 3x2 + 20, и мы видим, что это уравнение задает переменное y как функцию переменного x.

Выполненное преобразование уравнения — это фактически его решение относительнопеременного y (мы выразили y через x).√Пример 11.2. Из уравнения x2 + y 2 − 9 = 0 тоже можно выразить y через x: y = ± 9 − x2 .Однако в этом случае каждому значению x ∈ (−3, 3) соответствуют уже два значения√y. Мыполучаем из√уравнения не одну, а две функции, определенные на отрезке [−3, 3]: h1 (x) = 9 − x2и h2 (x) = − 9 − x2 .ÌÃÒÓгде функции f1 (x), .

. . , fm (x) определены в некоторой области X ⊂ Rn+m . Предположим,что эта система разрешима относительно части переменных, например xn+1 , . . . , xn+m . Разрешимость системы в данном случае следует понимать в широком смысле как существованиедля любых значений x1 , . . . , xn единственного решения системы относительно переменныхxn+1 , . .

. , xn+m . Тогда определена функция нескольких переменных y = h(x), которая точкеx = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ставит в соответствие точку y = (xn+1 , . . . , xn+m ) ∈ Rm так, что всовокупности переменные x1 , . . . , xn+m составляют решение рассматриваемой системы. В этомслучае о функции h(x) говорят как о неявной функции, или неявно заданной функции.Отметим, что термин «неявная функция» относится не к виду или структуре функции, а лишьк способу ее задания.В математическом анализе важную роль играют условия, при выполнении которых система уравнений вида (11.1) разрешима относительно части переменных.

Отметим, что весьмане просто определить, разрешима ли система в заданной области. Условия же локальной разрешимости системы (11.1), т.е. ее разрешимости в некоторой окрестности заданной точки,достаточно просты и связаны в первую очередь с дифференциальными свойствами функций f1 ,f2 , . . . , fm .Пусть z = f (x, y) — функция двух переменных. Уравнение f (x, y) = 0 будем называтьуравнением с двумя неизвестными. Остановимся на вопросе о том, при каких условиях это уравнение определяет переменное y как неявную функцию переменного x. Рассмотримнесколько примеров.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(11.1)ÌÃÒÓÌÃÒÓРассмотрим систему уравненийf1 (x1 , x2 , . .

. , xn+m ) = 0,f (x , x , . . . , x2 12n+m ) = 0,. . . . . . . . . . . . .fm (x1 , x2 , . . . , xn+m ) = 0,ÔÍ-12ÔÍ-1211.1. Неявные функцииÌÃÒÓÌÃÒÓНеявные функции. Теорема о существовании (без док-ва) и дифференцируемости неявнойФНП. Производная ФНП по направлению и градиент, их свойства.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓНЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Пример 11.4.

Задает ли уравнение ey + y − x + ln x = 0 переменное y как функциюпеременного x или переменное x как функцию переменного y? Ответить на этот вопрос сложно,так как не ясно, каким образом одно из переменных можно выразить через другое, преобразуяэто уравнение. #Приведенные примеры показывают, что не так-то просто, исходя из вида уравнения f (x, y) == 0, выяснить, задает оно неявную функцию или нет. Как отмечено выше, ответить на этотвопрос можно в окрестности заданной точки, если использовать дифференциальные свойствафункции двух переменных f (x, y).Отметим, что прямоугольник P , построенный в доказательстве теоремы 11.1, выбран так,что график функции y = ϕ(x) расположен внутри этого прямоугольника и соединяет две точкина противоположных вертикальных сторонах прямоугольника.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 11.6. Функция f (x, y) = ey + y − x + ln x из примера 11.4 удовлетворяет условиюfy0 (x, y) = ey +1 > 0 всюду в правой полуплоскости x > 0.

Значит, если это уравнение имеет хотябы одно решение (a, b), то в окрестности этого решения уравнение разрешимо относительнопеременного y и задает y как функцию переменного x. Например, это справедливо и для точки(1, 0), поскольку f (1, 0) = 0. Согласно теореме 11.1, в некотором прямоугольнике с центром вточке (1, 0) рассматриваемое уравнение неявно задает функцию y = ϕ(x), причем эта функцияÌÃÒÓÌÃÒÓ}ÔÍ-12Пример 11.5. Уравнение f (x, y) = x2 + y 2 − 9 = 0 из примера 11.2 задает окружностьрадиуса 3.

Условия теоремы 11.1 выполнены во всех точках окружности, кроме точек (3, 0)и (−3, 0), в которых fy0 = 0. Для любой точки (a, b) окружности в верхней полуплоскостисуществует прямоугольникP , в котором уравнение разрешимо отно√y2сительно y: y = 9−x (рис. 11.1). В качестве такого прямоугольникаPподходит любой прямоугольник в верхней полуплоскости со сторонаb} yми, параллельными осям координат, центром в точке (a, b), такой,что окружность пересекается с его боковыми сторонами.

Для точекxa3 xокружности√в нижней полуплоскости в соответствующем прямоуголь3Oнике y = − 9−x2 . В окрестности точек (3, 0) и (−3, 0) уравнениенеразрешимо относительно y. Например, возьмем точку (3, 0). Тогдапри любом x > 3 уравнение не имеет решений, а при x < 3 оно имеетРис.

11.1два решения, т.е. в окрестности этой точки уравнение не определяетy как функцию x. Отметим, что в этих особых точках касательные кокружности вертикальны.ÌÃÒÓТеорема 11.1 (теорема о неявной функции). Пусть уравнение f (x, y) = 0, x, y ∈ R,удовлетворяет следующим трем условиям:1) координаты точки (a, b) удовлетворяют уравнению, т.е. f (a, b) = 0;2) функция f (x, y) определена в некоторой окрестности U точки (a, b) и непрерывно дифференцируема в U , т.е.

f ∈ C 1 (U );3) частная производная функции f (x, y) в точке (a, b) по переменному y отлична от нуля,т.е. fy0 (a, b) 6= 0.Тогда на плоскости существует прямоугольник P , определяемый неравенствами |x − a| < δx ,|y − b| < δy , имеющий центр симметрии в точке (a, b), такой, что в P уравнение f (x, y) = 0разрешимо относительно переменного y и тем самым задает функцию y = ϕ(x), x ∈ T == (a − δx , a + δx ). При этом функция y = ϕ(x) непрерывно дифференцируема на T , а еепроизводная может быть вычислена по формулеfx0 (x, y) 0ϕ (x) = − 0. #(11.2)fy (x, y) y=ϕ(x)ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ43ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.

НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ44имеет непрерывную производную−1 + 1/x .ϕ (x) = − ye + 1 y=ϕ(x)0Подставив координаты точки (1, 0) в найденное выражение производной, заключаем, чтоϕ0 (1) = 0. Следовательно, в точке x = 1 неявно заданная функция y = ϕ(x) может иметьэкстремум. Поэтому продолжим исследование поведения этой функции в окрестности точкиx = 1. Найдем вторую производную неявной функции y = ϕ(x), дифференцируя ее первуюпроизводную как сложную функцию:11yy 0−1+e+1+ey2xϕ00 (x) = x,(ey + 1)20,60,4ÔÍ-12где y = ϕ(x), y 0 = ϕ0 (x). В точке x = 1 находим ϕ00 (1) = 0,5 > 0. Следовательно, неявнозаданная функция y = ϕ(x) в точке x = 1 имеет минимум, а ее график в окрестности точки(1, 0) является выпуклым вниз (рис.

11.2).ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11. НЕЯВНЫЕФУНКЦИИ. ГРАДИЕНТ1,5Рис. 11.2Итак, не имея явного выражения для функции ϕ(x), мы смогли ее исследовать в окрестноститочки x = 1. Отметим, что функция f (x, y) = ey + y − x + ln x при фиксированном x монотонновозрастает как функция переменного y на всей числовой оси. При этом f (x, y) → +∞ приy → +∞ и f (x, y) → −∞ при y → −∞. Значит, уравнение f (x, y) при любом x > 0 относительно y имеет решение, и притом единственное. Таким образом, рассматриваемое уравнение неявнозадает переменное y как функцию переменного x при x > 0 и в данном конкретном случае в качестве прямоугольника P можно взять любой прямоугольник в правой полуплоскости x > 0 состоронами, параллельными осям координат, нижние вершины которого расположены в нижнейполуплоскости, а в верхних вершинах функция f имеет положительные значения.

Из найденного выражения для производной определяем, что неявная функция убывает при 0 < x < 1 ивозрастает при x > 1.Теорему 11.1 несложно обобщить на случай одного уравнения с n + 1 неизвестными.(x, y) ∈ Rn+1 : |x − a| < δx , |y − b| < δy ,в которой уравнение f (x, y) = 0 разрешимо относительно y, т.е. в окрестности U (a, δx ) == {x ∈ Rn : |x − a| < δx } определена функция нескольких переменных ϕ(x), удовлетворяющаяÔÍ-12Теорема 11.2. Пусть в окрестности V точки (a, b), a ∈ Rn , b ∈ R, задана функция f (x, y)от n + 1 переменных (x ∈ Rn , y ∈ R), удовлетворяющая условиям:а) f (a, b) = 0;б) функция f (x, y) непрерывно дифференцируема в V ;в) fy0 (a, b) 6= 0.Тогда точка (a, b) имеет окрестность видаÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121ÌÃÒÓÌÃÒÓ0,5ÔÍ-12ÔÍ-120ÌÃÒÓÌÃÒÓ0,2ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ45тождеству f x, ϕ(x) ≡ 0.

При этом функция ϕ(x) непрерывно дифференцируема в U (a, δx ), аее частные производные в U (a, δx ) могут быть вычислены по формуламϕ0xk (xk )fx0 k (x, y) =− 0,fy (x, y) y=ϕ(x)k = 1, n. #(11.3)Из этого уравнения находим∂z∂y∂x= − ∂zk ,∂xkÔÍ-12Теоремы 11.1 и 11.3 не только дают формулы для вычисления производных неявных функций, но и дают достаточные условия дифференцируемости неявной функции.

Покажем, чтоформулы дифференцирования неявной функции могут быть получены, если использовать предположение о дифференцируемости неявной функции и правило дифференцирования сложнойфункции. Пусть функция ϕ(x), x ∈ G ⊂ Rn , определена неявно уравнением f (x, y) = 0. Тогдав области G имеем f (x, ϕ(x)) ≡ 0. Считая, что функции y = ϕ(x) и z = f (x, y) дифференцируемы в соответствующих точках, причем fy0 (x, y) 6= 0, по правилу дифференцирования сложнойфункции получаем∂z∂z ∂y+= 0, x ∈ G.∂xk ∂y ∂xkÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 11.