09 Дифференцируемые функции нескольких переменных (Лекции Линейная алгебра и ФНП), страница 2

ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕÌÃÒÓ(∆x)2 ∆y∆f (0, 0) = f (0+∆x, 0+∆y) − f (0, 0) =.∆x2 + ∆y 2Если бы функция была дифференцируемой в точке (0, 0), то, учитывая значение частных производных, мы имели бы равенство вида (9.3):p(∆x)2 ∆y=α(∆x,∆y)∆x2 + ∆y 2 ,∆x2 + ∆y 2где α(∆x, ∆y) → 0 при (∆x, ∆y) → (0, 0). Но последнее равенство при ∆y = ∆x принимаетвид√1∆x = 2|∆x|α(∆x, ∆x),2√откуда при ∆x 6= 0 имеем |α(∆x, ∆x)| = 2/4, а это противоречит тому, что α(∆x, ∆y) являетсябесконечно малой при (∆x, ∆y) → (0, 0).∆f (x, y) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y) == f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) ++ f (x, y + ∆y) − f (x, y) = ∆x f (x, y + ∆y) + ∆y f (x, y).ÔÍ-12J Упрощая выкладки, докажем утверждение теоремы для частного случая функции двух независимых переменных, т.е. при n = 2. В общем случае доказательство аналогично.Пусть задана точка a = (x, y) ∈ R2 .

Согласно условию теоремы, можно выбрать такое числоδ > 0, что функция f (x, y) будет иметь частные производные в любой точке (x + ∆x, y + ∆y)при |∆x| < δ и |∆y| < δ. Полное приращение функции f (x, y) удобно представить как суммудвух слагаемых:ÌÃÒÓТеорема 9.3 (достаточное условие дифференцируемости). Если функция нескольких переменных f : Rn → R в некоторой окрестности точки a определена и имеет частныепроизводные по всем переменным, причем все производные непрерывны в самой точке a, тофункция f дифференцируема в точке a.ÔÍ-12В случае действительных функций одного действительного переменного дифференцируемость функции в точке эквивалентна существованию в этой точке конечной производной функции. Однако уже для функций двух переменных существование частных производных в точкене означает, что функция дифференцируема в этой точке (см.

пример 9.2). Существованиечастных производных является необходимым, но не достаточным условием дифференцируемости. Чтобы при наличии частных производных гарантировать дифференцируемость функциинескольких переменных, нужны дополнительные условия.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓВ точке (0, 0) частные производные тоже существуют, причем fx0 (0, 0) = 0, fy0 (0, 0) = 0 (см.пример 9.2). Отметим, что частные производные не являются непрерывными в точке (0, 0),так как, например, fx0 (x, y) → 1/2 6= 0 при (x, y) → (0, 0) по множеству y = x.Докажем, что функция f (x, y) не дифференцируема в точке (0, 0).

Полное приращениефункции f (x, y) в точке (0, 0), соответствующее приращениям ∆x и ∆y переменных, имеет видÔÍ-12ÔÍ-12Следовательно, функция f (x, y) непрерывна в R2 .Рассматриваемая функция имеет частные производные всюду в R2 . Действительно, приx2 + y 2 6= 02xy 3x2 (x2 − y 2 )0fx0 (x, y) = 2,f(x,y)=.y(x + y 2 )2(x2 + y 2 )2ÌÃÒÓÌÃÒÓx2 y= 0 = f (0, 0).(x, y)→(0, 0) x2 + y 2limÌÃÒÓÔÍ-12и свойства 8 предела функции нескольких переменных (см.

8.3) следует существование пределаÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ24ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ25Каждое из этих слагаемых есть частное приращение функции, которое можно интерпретировать как приращение функции одного переменного. Например, ∆x f (x, y + ∆y) есть приращениефункцииϕ(t) = f (t, y + ∆y)в точке t = x, соответствующее приращению ∆x независимого переменного t, так какÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕФункция ϕ(t) на интервале (x − δ, x + δ) непрерывна и дифференцируема, поскольку при t ∈(x − δ, x + δ) точка (t, y + ∆y) удовлетворяет условиям |t − x| < δ, |∆y| < δ и существуетпроизводная ϕ0 (t) = fx0 (t, y + ∆y).На отрезке [x, x+∆x] (или [x+∆x, x] в случае ∆x < 0) функция ϕ(t) удовлетворяет условиямтеоремы Лагранжа.

Следовательно, существует такое число ϑ1 ∈ (0, 1), чтоÌÃÒÓÌÃÒÓ∆x f (x, y + ∆y) = f (x + ∆x, y + ∆y) − f (x, y + ∆y) = ϕ(x + ∆x) − ϕ(x).∆x f (x, y + ∆y) = ϕ0 (x + ϑ1 ∆x)∆x = fx0 (x + ϑ1 ∆x, y + ∆y)∆x.Аналогично (с помощью функции ψ(t) = f (x, t)) можно показать, что существует такое числоϑ2 ∈ (0, 1), для которого∆y f (x, y) = fy0 (x, y + ϑ2 ∆y)∆y.Значит,∆f (x, y) = fx0 (x + ϑ1 ∆x, y + ∆y)∆x + fy0 (x, y + ϑ2 ∆y)∆y.Применяя в окрестности точки a к функциям fx0 и fy0 теорему 8.4 о связи функции, ее пределаи бесконечно малой, а также учитывая, что частные производные являются непрерывнымифункциями в точке a, заключаем, что|β∆x + γ∆y||∆x||∆y|6 |β|+ |γ|6 |β| + |γ| → 0ρρρпри ρ → 0, так как |∆x|/ρ 6 1, |∆y|/ρ 6 1, а β, γ → 0 при ρ → 0. Следовательно, β∆x + γ∆y == αρ, где α → 0 при ρ → 0. Итак,∆f (x, y) = fx0 (x, y)∆x + fy0 (x, y)∆y + αρ,Для произвольной области X ⊂ Rn через C 1 (X) обозначают множество всех функций нескольких переменных f : X → R, определенных в X и имеющих в X непрерывные частныепроизводные по всем переменным.

Для дифференцируемости функции нескольких переменныхf в области X достаточно, чтобы она принадлежала множеству функций C 1 (X). Функции измножества C 1 (X) называют непрерывно дифференцируемыми в области X.ÔÍ-12где α → 0 при ρ → 0. Поэтому, согласно определению 9.1, функция f дифференцируема в точке(x, y). IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓгде β = β(∆x, ∆y) и γ = γ(∆y) — бесконечно малые функции при (∆x, ∆y) → (0, 0).

Следовательно,∆f (x, y) = fx0 (x, y) + β ∆x + fy0 (x, y) + γ ∆y = fx0 (x, y)∆x + fy0 (x, y)∆y + β∆x + γ∆y.(9.4)pОбозначим |(∆x, ∆y)| = (∆x)2 + (∆y)2 через ρ. ТогдаÌÃÒÓÔÍ-12fy0 (x, y + ϑ2 ∆y) = fy0 (x, y) + γ,ÔÍ-12ÔÍ-12fx0 (x + ϑ1 ∆x, y + ∆y) = fx0 (x, y) + β,ÌÃÒÓÌÃÒÓили с учетом конкретного вида функции ϕ(t)ÔÍ-12ÔÍ-12ϕ(x + ∆x) − ϕ(x) = ϕ0 (x + ϑ1 ∆x)∆x,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-129.3. Частные производные высших порядковПредположим, что функция нескольких переменных f : Rn → R во всех точках в некоторойокрестности U(a, δ) точки a имеет частную производную fx0 i (x). Эта частная производнаясама является функцией нескольких переменных, определенной в окрестности U(a, δ), и можетоказаться, что она имеет частную производную в точке a, например по переменному xj . Частную производную∂f (x) ∂0 0fxi xj (a) =∂xj∂xix=aфункции fx0 i (x) называют частной производной второго порядка функции f (x) в точкеa по переменным xi и xj и обозначают∂ 2 f (a)∂xj ∂xiилиfx00i xj (a).Производные fx0 i (x) в связи с этим называют частными производными первого порядка.Всего у функции f (x1 , x2 , .

. . , xn ), имеющей n переменных, в заданной точке a может быть2n частных производных fx00i xj (a) второго порядка. При i 6= j их называют смешанными. Приj = i используют обозначения∂ 2 f (a),∂x2ifx00i xi (a)илиfx002 (a).i∂xnкоторую называют матрицей Гессе.Пример 9.5. У функции трех переменных u = xy + y z + ln(xz) в первом октанте, т.е.

вобласти(x, y, z) ∈ R3 : x > 0, y > 0, z > 0 ,ÔÍ-12∂xn ∂x2ÌÃÒÓЕсли для функции f (x1 , x2 , . . . , xn ) в точке x существуют все частные производные второгопорядка, то из них можно составить квадратную матрицу порядка n 2∂ f1 (x)∂ 2 f1 (x)∂ 2 f1 (x)...∂x1 ∂x2∂x1 ∂xn  ∂x21 2∂ 2 f2 (x)  ∂ f2 (x) ∂ 2 f2 (x)...∂x2 ∂xn  ,∂x22f 00 (x) =  ∂x2 ∂x1 . .

. . . . . . . . . . . . . . .  ∂ 2 f (x) ∂ 2 f (x)∂ 2 fm (x)mm...2∂xn ∂x1ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ26ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕu0y = xy ln x + zy z−1 ,1u0z = y z ln y + .zЭта функция в первом октанте имеет и частные производные второго порядка, которые вычисляются как частные производные первого порядка от уже найденных производных.Вычисляя частные производные первого порядка функции u0x по переменным x, y и z, находим1u00x2 = y(y − 1)xy−2 − 2 , u00xy = xy−1 + yxy−1 ln x, u00xz = 0.xАналогично, используя частные производные u0y и u0z , получаемu00y2 = xy ln2 x + z(z − 1)y z−2 ,u00yz = y z−1 + zy z−1 ln yÌÃÒÓu00yx = yxy−1 ln x + xy−1 ,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121u0x = yxy−1 + ,xÌÃÒÓÌÃÒÓсуществуют все частные производные первого порядка:ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12и1.z2Отметим, что смешанные производные во всех точках первого октанта удовлетворяют равенствамu00yx = u00xy , u00xz = u00zx , u00zy = u00yz .u00zx = 0,u00zy = zy z−1 ln y + y z−1 ,u00z2 = y z ln2 y −Пример 9.6.

Найдем все частные производные второго порядка для функции двух переменных f (x, y) = 3x2 y + y 2 + 5 и запишем для нее матрицу Гессе.Решение имеет вид6y 6x00f (x) =.6x 2Обратим внимание на то, что в ответе получилась симметрическая матрица, т.е. в данномслучае (как, кстати, и в примере 9.5) значение смешанных производных второго порядка независит от порядка дифференцирования (последовательности, в которой вычисляются частныепроизводные первого порядка).

#Как показывают рассмотренные примеры, в некоторых случаях смешанные производные,которые отличаются лишь порядком дифференцирования, совпадают. Следующая теорема даетдостаточные условия для такого совпадения, т.е. условия, при выполнении которых значениесмешанной производной не зависит от порядка дифференцирования.g(∆x, ∆y) = f (p+∆x, q+∆y) − f (p+∆x, q) − f (p, q+∆y) + f (p, q).ÔÍ-12J При доказательстве теоремы значения всех переменных, кроме xi и xj , можно считать фиксированными.

Поэтому можно вести речь о функции, имеющей только два аргумента xi иxj , которые удобно переобозначить: xi = x, xj = y. Итак, пусть функция f (x, y) в некоторойокрестности U точки (p, q) имеет частные производные первого порядка и смешанные производ0000, причем обе смешанные производные непрерывны в самой точке (p, q). Покажем,, fyxные fxyчто в этой точке смешанные производные равны.Выберем такое число δ > 0, что при |∆x| < δ, |∆y| < δ точка (p + ∆x, q + ∆y) попадает вокрестность U . Тогда в квадрате |∆x| < δ, |∆y| < δ определена функцияÌÃÒÓТеорема 9.4 (теорема о смешанных частных производных). Пусть функцияf (x1 , x2 , . . .

, xn ) (n > 1) в некоторой окрестности точки a ∈ Rn имеет частные производныепервого порядка fx0 i и fx0 j , i 6= j, а также смешанные производные fx00i xj и fx00j xi . Если эти смешанные производные являются непрерывными в точке a функциями по части переменных xiи xj , то в этой точке их значения совпадают, т.е.

fx00i xj (a) = fx00j xi (a).ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ27ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12 ФУНКЦИИЛЕКЦИЯ 9. ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫЕg(∆x, ∆y) = ϕ(p + ∆x) − ϕ(p).Функция ϕ(x) на отрезке [p, p + ∆x] (или [p + ∆x, p] при ∆x < 0) имеет производнуюϕ0 (x) = fx0 (x, q + ∆y) − fx0 (x, q)и потому непрерывна на этом отрезке. Следовательно, к функции ϕ(x) на указанном отрезкеможно применить теорему Лагранжа. Согласно этой теореме, существует такое число ϑ ∈∈ (0, 1), чтоϕ(p + ∆x) − ϕ(p) = ϕ0 (p + ϑ∆x)∆x = fx0 (p + ϑ∆x, q + ∆y) − fx0 (p + ϑ∆x, q) ∆x.g(∆x, ∆y) = ϕ(p + ∆x) − ϕ(p) = fx0 (p + ϑ∆x, q + ∆y) − fx0 (p + ϑ∆x, q) ∆x.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Итак,ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓДля функции ϕ(x) = f (x, q + ∆y) − f (x, q) одного переменного имеемÌÃÒÓÌÃÒÓ28Разность в квадратных скобках представляет собой приращение функции λ(y) = fx0 (p + ϑ∆x, y)одного переменного на отрезке [q, q + ∆y] (или минус приращение на отрезке [q + ∆y, q] при∆y < 0):λ(q + ∆y) − λ(q) = fx0 (p + ϑ∆x, q + ∆y) − fx0 (p + ϑ∆x, q).На отрезке [q, q + ∆y] функция λ(y) имеет производную00λ0 (y) = fxy(p + ϑ∆x, y)и является поэтому непрерывной на этом отрезке.