25 (Решённый вариант 25 (из Чудесенко)), страница 3

При этом η ( y ) =  0,y>0y≤0, где η ' ( y ) = δ ( y ) - есть дельта-функцияФормула (2) имеет вид : F2 ( y ) = F%2 ( y ) + 0, 25 ⋅η ( y + 1) + 0, 25 ⋅η ( y − 1)Где непрерывная часть есть0 , y ≤ −111F%2 ( y ) =  arctg ( y ) + , − 1 < y ≤ 14π0,5 , y > 1nОтсюда по формуле p2 ( y ) = p% 2 ( y ) + ∑ pk ⋅ δ ( y − yk )k =1где p% 2 ( y ) = F% '2 ( y ) .Находим плотность распределенияp2 ( y ) = p% 2 ( y ) + 0, 25 ⋅ δ ( y + 1) + 0, 25 ⋅ δ ( y − 1)1 π 1 + y 2 , y ∈ [−1;1]p% 2 ( y ) =  ()0 , y ∉[−1;1](3)Ч_2_29_25По заданной плотности распределения(ξ1 , ξ 2 ) найти плотность распределенияpξ ( x1 , x2 ) двумерной случайной величиныpη ( y1 , y2 )двумерной случайной величины(η1 , η 2 ) ,связанной взаимно – однозначно с (ξ1 , ξ 2 ) указанным ниже соотношением:abpξ ( x1 , x2 ) = 2 2π ( x1 + a 2 )( x2 2 + b 2 )ξ1 = a ⋅ tg (nη1 ), ξ 2 = b ⋅ tg (nη 2 ),поэтомуpξ ( x1 , x2 ) =Решение.Еслиη1 <π2n; η2 <5.π ( x + 25)( x2 2 + 1)2π2n.a = 5, b = 1, n = 2 ,ξ1 = 5tg 2η1 , ξ 2 = tg 2η 2 ,21η1 <π4,η2 <π4.(ξ1 , ξ 2 ) , (η1 ,η 2 ) - двумерные случайные величины, такие, что ξ1 = ϕ1 (η1 ,η2 ),ξ 2 = ϕ 2 (η1 ,η 2 ) , то плотность распределения pη ( y1 , y2 ) двумерной случайной величины(η1 ,η 2 ) выразится через плотность распределения pξ ( x1 , x2 ) случайной величины (ξ1 , ξ 2 ) :pη ( y1 , y2 ) = pξ (ϕ1 ( y1 , y2 ); ϕ2 ( y1 , y2 )) ⋅ J ,где J =У нас x1 = ϕ1 = 5tg 2 y1 , x2 = ϕ2 = tg 2 y2 , поэтомуЯкобиан преобразованияравенJ=∂ϕ2 ∂ϕ 2∂y1 ∂y2.∂ϕ1∂ϕ1∂ϕ 2∂ϕ 2102.=,= 0,= 0,=22∂y1 cos 2 y1 ∂y2∂y1∂y2 cos 2 y210cos 2 2 y10Отсюда pη ( y1 , y2 ) =∂ϕ1 ∂ϕ1∂y1 ∂y202cos 2 y2=20.cos 2 y1 ⋅ cos 2 2 y2225205 ⋅ 204ππ⋅= 2= 2 , y1 < , y2 < .222π (25tg 2 y1 + 25) ⋅ (tg 2 y2 + 1) cos 2 y1 ⋅ cos 2 y2 π ⋅ 25 π4422Ч_2_30_25Двумерная случайная величина ( ξ , η ) имеет равномерное распределение1/ S , если ( x, y ) ∈ ABCвероятностей в треугольной области ABC , т.е.

p ( x, y ) = , 0 , если ( x, y ) ∈ ABCгде S - площадь ∆ ABC . Определить маргинальные плотности распределения pξ ( x) и pη ( y )случайных величин ξ и η , математические ожидания M ξ , M η , дисперсии Dξ , Dη , коэффициент корреляции r .Являются ли случайные величины ξ и η независимыми? Указаны декартовыкоординаты вершин ∆ ABC :A(0; −1), B (−1; 0), C (1; 0) .Решение.Сделаем чертеж, и найдем площадь ∆ ABC . 1 , если ( x, y ) ∈ ABC11Очевидно, что S = ⋅ AO ⋅ BC = ⋅1 ⋅ 2 = 1 , поэтому p ( x, y ) = 22 0 , если ( x, y ) ∈ ABCПрямая AB имеет уравнение y = − x − 1 ⇔ x = − y − 1;прямая AC имеет уравнение y = x − 1 ⇔ x = y + 1 .Плотность распределения случайной величины pξ ( x) случайной величины ξ выражаетсяp ( x, y ) формулой pξ ( x) =через совместную плотность+∞∫p( x, y )dy .

Аналогично для−∞η имеем: pη ( y ) =плотности распределения случайной величины+∞∫p ( x, y ) dx .−∞Одномерные плотности pξ ( x) и pη ( y ) называются маргинальными.Т.к. вне ∆ ABC плотностьp ( x, y ) равна 0 , то при x ∈ [ −1; 1]Из чертежа следует, что ∆ ABC следует разделить на две части :приx ∈ [ −1; 0]pξ ( x) =+∞∫0∫p( x, y )dy =x ∈ [ 0; 1]pξ ( x) =+∞0∫p ( x, y ) dy =−∞Получаемприy ∈ [−1; 0]pη ( y ) =1= 1− x .x −1x ∈ [−1; 0]x ∈ [ 0;1] .x ∈ [−1;1]+∞∫−∞Получаем:∫ 1⋅ dy = yx −11 + x,pξ ( x) = 1 − x,0 ,= 1 + x;− x −1− x −1−∞при01 ⋅ dy = yy +1p ( x, y ) dx =∫y +11 ⋅ dx = x− y −12( y + 1), y ∈[ −1; 0].pη ( y ) = 0 , y ∈ [ −1; 0]= 2( y + 1);− y −1pξ ( x) = 0 .Две случайные величины ξ и η являются независимыми тогда и только тогда,когда выпoлняется условие p ( x, y ) = pξ ( x) ⋅ pη ( y ) .(1).В данном случае равенство (1) не выполняется, значит величины ξ и η являются зависимымиНаходим математические ожидания и дисперсии величин ξ и η :Mξ =+∞∫0xpξ ( x)dx =1∫ x ⋅ (1 + x)dx + ∫ x ⋅ (1 − x)dx = (−1−∞0+∞0x 2 x3+ )2 30+(−1x 2 x3 11 11 1− ) = −( − ) + ( − ) = 0 ;2 3 02 32 31x3 x 4Dξ = ∫ x pξ ( x)dx − ( M ξ ) = ∫ x (1 + x)dx + ∫ x (1 − x)dx − 0 = ( + )3 4−∞−101 11 11= −(− + ) + ( − ) = ;3 43 4 62Mη =+∞∫2+∞∫20ypη ( y )dy =−∞Dη =2∫y ⋅ 2( y + 1)dy =2 ⋅ (−1y 2 pη ( y )dy − ( Mη )2 =−∞20x3 x 4 1+( − ) =3 4 0−1y3 y 2 01 11+ )= −2(− + ) = − ;32 −13 2301 2y 4 y32y⋅2(y+1)dy−(−)=2⋅(+ )∫343−10−−111 1 1 1= −2( − ) − = .94 3 9 18Находим ковариацию:cov(ξ ,η ) =+∞+∞−∞−∞∫ ∫∫−1y ⋅(( y + 1) 2 ( − y − 1)−) dy = 022Находим коэффициент корреляции r =0y +101x2xy⋅1dxdy−0⋅(−)==dyxydx=(y⋅∫∫∫ − y∫−1∫ 23∆ ABC−1−120=xy ⋅ p ( x, y ) dxdy − M ξ ⋅ M η =cov(ξ ,η )=0Dξ ⋅ Dηy +1) dy =− y −1Ч _ 2 _ 31_ 25Используя неравенство Чебышева, оценить вероятность того, что случайнаявеличина ξ отклонится от своего математического ожидания M ξ менее чемна Nσ , где σ = Dξ − среднеквадратическое отклонение случайной величины ξ ;N − номер вариантаНеравенство Чебышева :DξP( x − Mξ < ε ) ≥1 − 2εНаходим :P ( x − M ξ < Nσ ) ≥ 1 −Dξ( Nσ )2=1−DξDξ=1−2 2N σN 2 DξN 2 − 1 624N = 25 ⇒ P ( x − M ξ < Nσ ) ==≈1N2625()2=N2 −1N2Ч_2_32_25Cлучайная величина ξi с одинаковой вероятностью может принимать одно из двухзначений: iα или −iα .

Выяснить, удовлетворяет ли последовательность ξ1 , ξ 2 , ... , ξi , ... попарнонезависимых случайных величин закону больших чисел 1 n1 nlim P ξ−M ξi < ε  = 1, ε > 0 .(1)∑∑ix →∞n i =1 n i =1Решить задачу для двух значений параметра α : α1 = −13, α 2 = 0.49Решение.Теорема Чебышева утверждает: если случайные величины ξ1 , ξ 2 , ... , ξi , ... попарнонезависимы и Dξ i ≤ c , i = 1, 2, ... , где c - некоторая постоянная, то при любом ε > 0 выполняется соотношение (1). При этом предполагается, что величины ξ i имеют конечные матемаM ξi .

В данной задаче по условию величины ξ i попарно независимы.Найдем математические ожидания M ξ i . Закон распределения величины ξ i имеет вид:тические ожиданияξiiα−iαp0.50.5Поэтому M ξ i = x1 p1 + x2 p2 = iα ⋅ 0.5 − iα ⋅ 0.5 = 0; значит, каждая случайная величина имеет конечное математическое ожидание (равное нулю).Проверим, выполняется ли требование равномерной ограниченности дисперсий.Напишем закон распределения ξ i 2 :ξii 2α( −iα ) 2p0.50.5Или, сложив вероятности одинаковых возможных значенийξi 2i 2αp1Дисперсия равна Dξi = M (ξi 2 ) − ( M ξi )2 = i 2α ⋅1 − 02 = i 2α11)при α1 = − 13 имеем: M ξ i = 0, Dξi = i −26 = 26 . Т .к. i - натуральное число, тоii 26 ≥ 1 и Dξ i ≤ 1 = c .

Значит, при α1 = − 13 условия теоремы Чебышева выполняются,и равенство (1) верное.2) при α 2 = 0.49 имеем: M ξ i = 0, Dξ i = i 0.98 . Т.к. i - натуральное число, то неравенствоi 0.98 ≤ c при всех i выполняться не может. Значит, равенство (1) не выполняется.Oтвет:при α1 = − 13 величины ξ i удовлетворяют закону больших чисел, а при α 2 = 0.49 - нет.Ч _ 2 _ 33 _ 25На отрезке [0, α ] случайным образом выбраны n чисел, точнее,рассматриваются n независимых случайных величин ξ1 , ξ 2 ,..., ξ n ,равномерно распределенных на отрезке [0, α ]. Найти вероятность того,nчто их сумма заключена между x1 и x2 , т.е. P  x1 < ∑ ξi < x2 i =1Так как случайные величины распределены равномерно, то для каждой из нихM ξi =Dξi =0 +α α=22(α − 0 )212=α212nЗначит для случайной величины η = ∑ ξi имеемi =1n ⋅αn ⋅α 2и Dη = n ⋅ Dξi =212Тогда согласно центральной предельной теореме, для одинаково распределенныхM η = n ⋅ M ξi =случайных слагаемых имеем x − Mη  x1 − M η P ( x1 < η < x2 ) = Φ  2 − Φ Dη  Dη α = 3 /11n = 1452x1 = 192x2 = 207Mη =n ⋅ α 1452 ⋅ 3 /11== 19822n ⋅ α 2 1452 ⋅ ( 3 /11)Dη ===91212 x − Mη  x1 − M η  207 − 198  192 − 198 P ( x1 < η < x2 ) = Φ  2 − Φ= − Φ = Φ99 Dη  Dη 2= Φ (1) − Φ ( −0.67 ) = Φ (1) + Φ ( 0.67 )По таблице II найдем ΦP = Φ (1) + Φ ( 0.67 ) = 0.34134 + 0.24857 = 0.58991Ч_2_34_25am −ae ,m!неизвестным является параметр a .

Используя метод максимального правдоподобия,Известно, что случайная величина ξ имеет распределение Пуассона P(ξ = m) =найти по реализации выборки (x1 , x2 , ... , x8 ) значения оценки a ∗ неизвестного параметра а.x1 = 35, x2 = 53, x3 = 43, x4 = 35, x5 = 34, x6 = 44, x7 = 37, x8 = 30Решение.Пусть ξ - дискретная случайная величина с распределением P(ξ = am ) = pm = pm ( a ) ,где m = 1, 2,..., am − возможные значения случайной величины ξ , pm ( a ) − соответствующиеkвероятности , зависящие от неизвестного параметра а, причем ∑ pm ( a ) = 1m =1при любом допустимом а. Функцией правдоподобия называется функция параметра а:L ( x1 ,..., xk ; a ) = p1 ( a ) ⋅ p2 ( a ) ⋅ ...

⋅ pk ( a ) . Величина a* , при котором функция L ( x1 ,..., xk ; a )достигнет максимума , является оценкой максимального правдоподобия неизвестного параметра а.Составим функцию правдоподобия:L=(a x1 − a a x2 − aa x8 − aa x1 + x2 + ... + x8⋅ e )(⋅ e ) ⋅ ... ⋅ (⋅ e ) = e −8 a ⋅x1 !x2 !x8 !x1 ! x2 !⋅ ... ⋅ x8 !Находим производную и приравниваем ее к нулю:1dL(−8e −8 a ⋅ a x1 + x2 + ... + x8 + e −8 a ⋅ ( x1 + x2 + ... + x8 ) ⋅ a x1 + x2 + ... + x8 −1 ) ==da x1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ x8 !=x + x2 + ... + x8e −8 a ⋅ a x1 + x2 + ... + x8 −1(−8a + x1 + x2 + ... + x8 ) = 0 ⇒ −8a + x1 + x2 + ... + x8 = 0 ⇒ a = 1=xx1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ x8 !8Т.о. а равна выборочной средней x : a = a ∗ = xНаходим вторую производную:1d2L(−8e−8 a ⋅ a x1 + x2 + ...