25 (Решённый вариант 25 (из Чудесенко)), страница 2

события A и B независемы, то искомая вероятность равнаn −1n + m −1 1  1 10!  1 Px = P ( A) ⋅ P ( B) = C ⋅   ⋅ =⋅   = 10.25% 2  2 4!⋅ 6!  2 1041011Ч _ 2 _17 _ 25p n0.7 14т.к. ( (n + 1) p ) − дробное число, тодля нахождения наиболее вероятного числа выйгравших билетов,воспользуемся формулой m0 = [( n + 1) ⋅ p] = 10по формуле Бернулли найдем соответствующую вероятностьP = Cnm0 ⋅ p m0 ⋅ q n−m0 = Cnmo ⋅ p m0 ⋅ (1 − p) n−m0 = C1410 ⋅ 0.710 ⋅ 0.34 = 22.90%Ч _ 2 _18 _ 25n n114 4n24p1p20.21 0.39n3 = n − n1 − n2 = 6p3 = 1 − p1 − p2 = 0.4A = {получено n1 крупных выйгрышей и n2 мелких}любой билет из n может быть с крупным выйгрышем, с мелким выйгрышем ибез выйгрыша.

Причем эти события попарно несовместны. Тогда P( A) можнонайдти по полиномиальной схемеP ( A) = Pn (n1 , n2 , n3 ) =n!14!⋅ p1n1 ⋅ p2n2 ⋅ p3n3 =⋅ 0.214 ⋅ 0.394 ⋅ 0.46 = 3.87%4!⋅ 4!⋅ 6!n1!⋅ n2!⋅ n3!Ч _ 2 _19 _ 25m np9 600 0.01т.к. n велико, то воспользуемся приближенной формулой для биномиальногораспределения, основанной на формуле Пуассона(np) m − np 69 −6Pn (m) =e = e = 6.88%m!9!Ч _ 2 _ 20 _ 25np k1 k2200 0.4080т.к. n достаточно велико ( n ⋅ p ⋅ q = n ⋅ p ⋅ (1 − p) = 200 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6 = 48 > 9),воспользуемся приближенной формулой, основанной на интегральной теоремеМуавра − Лапласа. x1 =k − npk − npx==⇒npqn ⋅ p ⋅ (1 − p )x = 2Pn ( k1 ; k2 ) = ϕ ( x2 ) − ϕ ( x1 )0 − 200 ⋅ 0.4= −11.547200 ⋅ 0.4 ⋅ 0.680 − 200 ⋅ 0.4=0200 ⋅ 0.4 ⋅ 0.6Pn ( k1 ; k2 ) = 0 + 0.5 = 50%замечаниеϕ ( x) − функция Лапласа (таблица значений в задачнике Чудесенко, стр 114)Ч_2_21_25Дана плотность распределения вероятностей p ( x) .

Найти: γ , математическоеoжидание M ξ , дисперсию D ξ , вероятность выполнения неравенства x1 < ξ < x2 . 0.5,p ( x) =  0.5,1+γ21)1dx = 1;2∫1−γ22)3)Mξ =1x21− γ 1+ γx ∈[;]221− γ 1+ γx ∈[;]221+γ21−γ2+∞1.5−∞−0.5∫ xp( x)dx = ∫= 1, 0.5 ⋅ γ = 1,1 x20.5 xdx = ⋅2 2Dξ = M ξ − ( M ξ )2 =21.5∫−0.5x1 = 0x2 = 3.γ = 2, x ∈ [−0.5; 1.5 ] .1.5=−0.51( 2.25 − 0.25 ) = 0.5 .40.5 x1 x3dx − 0.52 = ⋅12 31.52−−0.51 1 27 1 1 1= ( + )− = .4 6 8 8 4 3x4)Функция распределения F ( x) равна: F ( x) =приx ≤ -0.5F ( x) = 0-0.5 < x ≤ 1.5 F ( x) =приx > 1.5 F ( x) = 1 .1P ( 0 < ξ < 3 ) = F (3) − F ( 0 ) = 1 −x1 , принадлежитинтервалу ( -0.5; 1.5],1∫ 1.5 + 0.5 dx = 2 x−0.55)поэтому.xпри∫ p( x)dx ,−∞а x2 > 1,5.x−0.5=1( x + 0.5 ) .21(0 + 0.5 ) = 0.75 , т.к.

числo2.Найти число γ , математическое ожидание M ζ , дисперсию Dζ ,функцию распределения, вероятность выполнения неравенства x1 < ζ < x2 .213a = −3 , b = 3 , c = −1 , x1 = , x2 = , p ( x) = γ e − 3 x +3 x − 1 .22Ч_2_22_25+∞1) Число γ находим из условия∫ γe− 3 x 2 +3 x − 1dx = 1 .(1)−∞Используем формулу+∞−3x∫ γeПолучаем:2+∞12π ⋅ σ+3 x − 1dx = γ−∞+∞−3x∫e2∫e−( x − a )2dx = 12σ 2(2)−∞+3 x − 1dx = γ+∞∫e− 3 ( x−1 2 1) −24dx =−∞−∞1 2+∞−3 ( x −)1 1−1/ 42=  используем (1) при σ =edx = γ e −1/ 4 ⋅ 2π ⋅. =γe∫66−∞116 −1/46 − 3 ( x − 2 )2Согласно (1) получаем γ e −1/ 4 ⋅ 2π ⋅=1⇒ γ =e .

Тогда p ( x) =e.62π2π Делаем замену переменной+∞1+∞6 − 3 ( x − 2 )2 = 6 ( te − 3 t 2 dt +edx = 2) M ζ = ∫ x ⋅∫ t = x − 1 . Тогда dt = dx2π2π −∞−∞2++∞621e − 3 t dt ) =∫2 −∞=2π =согласно(2)+∞( ∫ te − 3 t ⋅2−∞62π(−3) Dζ = M ζ 2 − ( M ζ )2 =d( − 3t ) 1+ ∫e−6t2 −∞t21−2(6)2dt ) =22111lim e − 3 t + lim e − 3 t + ⋅6 x →+∞6 x →−∞2+∞∫−∞x2 ⋅62π+∞6+∞2e− 3 ( x−1 2)2dx − (+∞1 2 ) =2+∞1.26делаем замену переменной2π ⋅1)=t = x−12Тогда dt = dx=+∞222211611=(t + )2 e − 3 t dt − =( ∫ (t 2 e− 3 t dt + ∫ t e − 3 t dt + ∫ e − 3 t dt ) − =∫244 −∞42π −∞2π −∞−∞+∞2 используем результаты вычис − 6111( ∫ t 2 e− 3 t dt + 1 ⋅ 0 +⋅ 2π ⋅)− .= =442π −∞6 ления интегралов из пункта 22Используем метод интегрирования по частям:u = t,du = dt ,dv = te − 3 t dt ,v = ∫ te− 3 t dt = ∫ te − 3 t26Dζ =2π2d (− 3t 2 )1= − e− 3 t .−6t6+∞222111111lim te − 3 t + lim te − 3 t + ∫ e− 3 t dt +2π ⋅)−6 x →+∞6 x →−∞6446−∞11 111 1( ⋅ 2π ⋅+ ⋅ 2π ⋅)− = .4 62π 66 46x21Функция Лапласа есть Φ ( x) =e− t / 2 dt .∫2π 01.5P(=6=4)(−21.56 − 3 ( x−13< ζ < ) = ∫ p ( x)dx = ∫e222π0.50.56=∫012πe− t2/21 2)2Получаем:1dx = t = ( x − ) ⋅ 6 =2dt = Φ( 6 ) = 0.4927 .При этом значение Ф( 6 ) нашли по таблице.

Функция Лапласа нечетная: Ф(-x)=-Ф(x).x5)Функция распределения F ( x ) равна: F ( x) =∫−∞xp ( x)dx =∫−∞62πe− 3 ( x−1 2)2dx .Ч_2_23_25ЗаконПуассонаP( ζ = κ ) =ak −ae , a > 0, κ = 0, 1, . ..k!0.65k −0.65a = 0.65, P( ζ = κ ) =e . Найти характеристическую функциюk!математическое ожидание M ζ , дисперсию D ζ .Решение.1.Находим характеристическую функцию∞2. .∞kakϕ (t ) = ∑ e ⋅ e − a = e− ak!k =0∑Согласно свойствамхарактеристической функции, M ζ =itkk =0ititit(eit a )= e − a ⋅ ee ⋅a = e a ( e −1) = e0.65( e −1) .k!ϕ '(0)iit⋅ ai ⋅ e ⇒ ϕ '(0) = ai ..Находим производную: ϕ '(t ) = (e a ( e −1) )'t = e a ( e −1)aiЗначит, M ζ = = a = 0.65.i2D ζ = −ϕ ''( 0 ) + [ ϕ '( 0 )] .Находим вторую производную:it3.ϕ (t ) ,ϕ ''( t ) = ai (e a ( eitВ итоге−1) + it)'t = aie a ( eit−1) + it⋅ (aieit + i ) = −aea ( eD ζ = a (a + 1) + (ia ) 2 = a = 0.65.itit−1) + it⋅ (aeit + 1) ⇒ ϕ ''(0) = −a(a + 1) .Ч_2_24_25p ( x) =1δ 2πe−( x − a )22δ 2- нормальный закон с параметрами M ζ = a , D ζ = b .Найти характеристическую функцию ϕ ( t ) .a = 4.7,Значит, δ = Dζ = b = 1.9 = 1.38 ,b = 1.9.Решение.Введем случайную величину X =Тогда MX =1δM (ζ − a ) = 0,DX =1δ2p ( x) =11.38 2πe−( x − 4.7) 23.8ζ −a.δM ((ζ − a ) 2 ) = 1 .

Величина Х распределенатакже по нормальному закону. Находим характеристическую функцию ϕ X (t )величины Х:+∞1ϕ X (t ) = M (e ) =iXt2π∫eitxex2−2dx =−∞e−t222π∞∫e( x −it )2−2dx =et22 +∞−it2π−∞−−z22∫−∞−itez2−2dz =et22∞2π−∞−∫e−x22dx =e−Здесь использована аналитичность функции eи теорема Коши. Посколькуζ = δ X + a , то по свойству характеристической функцииϕ (t ) = e ⋅ eita−δ 2t 22= e 4.7 it ⋅ e −0.95t .2t22.Дана плотность распределения pξ ( x) случайной величиныЧ_2_25_25распределенияξ . Найти плотностьpη ( y ) , математическое ожидание M η и дисперсию Dη случайной величины η ,которая представляет собой площадь круга радиуса ξ . 2( x − a ) /(b − a) 2 , x ∈ [a; b]( x − 3) / 2,,pξ ( x) = a = 3, b = 5, pξ ( x) = ,, x ∈ [ a; b ] 00x ∈ [ 3; 5]x ∈ [3; 5].Решение.1.

Площадь круга равна: η = πξ 2 , причем ξ ≥ 0 . Значит,функция η является монотонно возрастающей. Поэтому справедлива формулаpη ( y ) = pξ [ψ ( y )] ⋅ ψ '( y ) ,(1)где ψ ( y ) - функция, обратная функции y = ϕ ( x) . У нас y = π x 2 = ϕ ( x) ⇒ при x ≥ 01. Подставляя в (1), получаем:x = y / π = ψ ( y ) . Находим производную: ψ '( y ) =2 πypη ( y ) = pξ [yπ]⋅12 πy=14 πy2. Согласно формуле M η ==3.

Dη =π x(2 45− x3 )==3+∞π2 52π∫ (x34π yπ25. Т. к. 3 ≤ x ≤ 5, то y ∈ [9π , 25π ] .y ∈ [9π , 25π ]y ∈ [9π , 25π ]+∞5−∞32∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = ∫ π x ⋅.( x − 3)πdx = ∫ ( x 3 − 3 x 2 )dx =2235(136 − 98) = 19π .2∫ [ϕ ( x) − Mη ] pξ ( x)dx =−∞=πy −3 π− 3) =( y − 3 π ) /(4π y ),pη ( y ) = ,0В итоге4y(+∞5222 4∫ ϕ ( x) pξ ( x)dx − [Mη ] = ∫ π x ⋅−∞− 3 x 4 )dx − 361π 2 =3π26( x − 3)dx − (19π ) 2 =25x3− x 5 ) − 361π 2 =2 6 53(14896 86465651π 2236π 2() − 361π 2 =−− 361π 2 == 155.28176 .26515152Ч_2_26_25Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей2( x − a ) /(b − a ) 2 , x ∈ [a; b]pξ ( x) = ;, x ∈ [ a; b ]0Другая случайная величина η связана с ξ функциональной зависимостью η = 2ξ m + 1 .Определить математическое ожидание M η и дисперсию D η случайной величины η .( x − 3) / 2 , x ∈ [3; 5].a = 3, b = 5, m = 4 ⇒ η = 2ξ 4 + 1pξ ( x) = , x ∈ [3; 5]0Решение.Имеем зависимость y = 2 x 4 + 1 = ϕ ( x),x ∈ [3; 5] .1)Mη =+∞54∫ ϕ ( x) ⋅ pξ ( x)dx = ∫ (2 x + 1) ⋅−∞3( x − 3)1dx = ∫ (2 x 5 + x − 6 x 4 − 3)dx =223552xx 6x= 0.5(+ −− 3 x) = 0.5(4965.3333 + 8 − 3458.4 − 6) = 754.47 .625362)Dη =+∞2552242∫ ϕ ( x) pξ ( x)dx − (Mη ) = ∫ (2 x + 1) ⋅−∞3( x − 3)dx − 754.47 2 =25= 0.5∫ (4 x9 + 4 x5 + x − 12 x8 − 12 x 4 − 3)dx − 569224.98 =354 x10 4 x 6 x 2 12 x 9 12 x 5++ −−− 3 x) − 569224.98 =1062953= 0.5(3882630.4 + 9930.6666 + 8 − 2577922.6 − 6916.8 − 6) − 569224.98 = 84636.82 .= 0.5(2_27_25Случайная величина ξ имеет плотность распределения вероятностей pξ ( x) .

Найтиплотность распределения вероятностей pη ( y ) случайной величины η = ϕ (ξ ) .pξ ( x) =1,π (1 + x 2 )η = 4ξ + 5 .Решение.Функция y = 4 x +5 = ϕ ( x) монотонна на всей оси, поэтому воспользуемся формулойpη ( y ) = pξ ( Ψ ( y )) ⋅ Ψ ' ( y )где Ψ ( y ) = x - функция, обратная функции y = ϕ ( x) .y = 4 x + 5 = ϕ ( x) ⇒ x =(1)Обратная функцияравна :y −51= Ψ ( y ) ⇒ Ψ '( y ) = .44По формуле (1) получаем :1144⋅ ==, − ∞ < y < +∞ .22y − 5 2 4 π (16 + ( y − 5) ) π ( y − 10 y + 41)) )π ⋅ (1 + (44Плотность распределения случайной величины η равна: pη ( y ) =, − ∞ < y < +∞ .π (16 + ( y − 5) 2 )pη ( y ) =Ч_2_28_25По заданной плотности распределения p1 ( x) случайной величины ξ1 определитьфункцию распределения случайной величины ξ 2 = ϕ (ξ1 ) .Функция ξ 2 = ϕ (ξ1 ) заданаграфически.Построить график функции распределения и, используя дельта-функцию, найтивыражение для плотности распределения p2 ( y ) случайной величины ξ 2 .1p1 ( x) =.π (1 + x 2 )Решение.Функция распределения F2 ( y ) случайной величины ξ 2 выражается через плотностьраспределения p1 ( x) случайной величины аргумента ξ1 :F2 ( y) = ∑∫k ∆ ( y)kp1( x)dx(1)где ∆ k ( y ) - интервалы, в которых выполняется неравенство ϕ ( x) < y .

Суммирование вформуле (1) распространяется на все интервалы. −1 , ξ1 ≤ −1Из условий примера следует, что ξ 2 =  ξ1 , ξ1 ∈ [−1;1] 1, ξ > 11Величина ξ 2 , очевидно, принимает значения из интервала [ −1;1]a) y ≤ −1 . Неравенство ϕ ( x ) < y не выполняется, поэтому F2 ( y ) = 0b) y = −1 . ТогдаP (ξ 2 = −1) = P (ξ1 ≤ −1) ==−1−111dx=arctgx| =()∫2π−∞−∞ π (1 + x )1 π πarctg ( −1) − lim ( arctg ( x ) ) ) =  − +  = 0, 25 = p(ππ  4 21x →−∞1b) −1 > y ≤ 1 .

ТогдаF2 ( y ) = P (ξ 2 < y ) = P (ξ 2 = −1) + P ( −1 < ξ 2 < y ) = 0, 25 + P ( −1 < ξ1 < y ) =yy111dx=0,25+arctgx|= 0, 25 + ( arctg ( y ) − arctg ( −1) ) =()2ππ−1−1 π (1 + x )= 0, 25 + ∫= 0, 25 +π 11 arctg ( y ) +  = arctg ( y ) + 0,5π4 πc) y = 1. ТогдаP (ξ 2 = 1) = P (ξ1 > 1) =+∞112=11=+∞∫ π (1 + x ) dx = π arctg ( x ) |1arctg ( x ) ) − arctg (1)  = xlim(π  →+∞1 π π −= 0, 25 = p2π  2 4 d) y > 1 . Тогда F2 ( y ) = 1 , т.к. неравенство ϕ ( x ) < y выполняется всегда.Таким образом, 0 , y ≤ −11F2 ( y ) =  arctg ( y ) + 0,5 , − 1 < y ≤ 1π1 , y > 1График этой функции приведен на следующем рисункеЗапишем F2 ( y ) в виде:nF2 ( y ) = F%2 ( y ) + ∑ pk ⋅ η ( y − yk )(2)k =1где F%2 ( y ) - непрерывная функция, yk - точки разрыва функции F2 ( y ) , pk скачки 1,функции в точках yk .