25 (Решённый вариант 25 (из Чудесенко)), страница 4

+ x8 −1 ⋅ (−8a + x1 + x2 + ... + x8 ) +=2x1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ x8 !da+ e−8 a ⋅ ( x1 + x2 + ... + x8 − 1)a x1 + x2 + ... + x8 − 2 (−8a + x1 + x2 + ... + x8 ) + e −8 a ⋅ a x1 + x2 + ... + x8 −1 ⋅ (−8)) ==e −8 a ⋅ a x1 + x2 + ... + x8 − 2(−8a (−8a + x1 + x2 + ... + x8 ) + ( x1 + x2 + ... + x8 − 1)(−8a + x1 + x2 + ... + x8 ) − 8a )x1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ x8 !1При a = x = ( x1 + x2 + ... + x8 ) получаем:82−8 ae −8 a ⋅ a 8 x − 2d Le ⋅ a8 x − 2=⋅−⋅−++−1)(−8a+8x)−8a)=⋅ ( − 8a ) < 0(8a(8a8x)(8xx1 !⋅ x2 !⋅ ... ⋅ x8 !da 2 x1 !⋅ x2 !⋅ ...

⋅ x8 !Вторая производная отрицательна, значит, точка a = x есть точка максимума.1311Вывод: a = a∗ = x . В итоге a ∗ = (35 + 53 + 43 + 35 + 34 + 44 + 37 + 30) == 38.87588Ч_2_35_25Изветно, что случайная величинаξ имеет биномиальное распределение P (ξ = m ) = Cnm p m (1 − p )n−mнеизвестным является параметр р. Используя метод моментов, найти по реализации выборки( x1 , x2 ,..., x8 ) значение оценки p* неизвестного параметрар.x1 = 35, x2 = 53, x3 = 43, x4 = 35, x5 = 34, x6 = 44, x7 = 37, x8 = 30.n = 60.Решение.Согласно методу моментов следует найти математическое ожидание M ξ величины ξ и приравнять_его к выборочной средней: Μ ξ = x .Находим математическое ожидание:cогласно биномиальному закону производится n независимых испытаний, в каждом из которыхвероятность появления некотрого события А равна p . Случайная велчина ξ представляет собойчисло появления события А в n испытаниях.

Обозначим ξ1 − число появления события в первомиспытании, ξ 2 − во втором, ..., ξ n − в n-ом. Тогда ξ = ξ1 + ξ 2 + ξ n , причем для ξ k , k = 1 , ..., n имеем:ξkp01− p1pПолучаем:согласно свойству математического ожидания:M ξ = Μ (ξ1 + ξ 2 + ... + ξ n ) = M ξ1 + M ξ 2 + ... + M ξ n = n ⋅ M ξ k = n ⋅ ( 0 ⋅ (1 − p ) + 1 ⋅ p ) = n ⋅ pСогласно методу моментов приравниваем математическое ожидание к выборочной средней:___xM ξ = x ⇒ np = x ⇒ p = , гдеn11311p* = ( x1 + x2 + ...

+ xn ) == 0.6479( 35 + 53 + 43 + 35 + 34 + 44 + 37 + 30 ) =n8 ⋅ 608 ⋅ 60**,Ч _ 2 _ 36 _ 25Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с неизвестнымматематическим ожиданием a и известной дисперсией σ 2 . По выборке1 n∑ xi = a *. Определитьn i =1доверительный интервал для неизвестного параметра распределения a,( x1 , x2 ,..., xn ) объема n вычислено выборочное среднееотвечающий заданной доверительной вероятности P.a* = 110n = 150σ 2 = 100P = 0.98Доверительный интервал для математического ожидания a нормальнойслучайной величины при известной дисперсии σ 2 имеет вид :σx − uP ⋅< a < x + uP ⋅σnИз таблицыV находимuP =0,98 = 2,326σn10= 1,9n150доверительный интервалuP ⋅= 2,326 ⋅a * −uP ⋅σ< a < a * +u P ⋅n110 − 1,9 < a < 110 + 1,9108,1 < a < 111,9σnЧ _ 2 _ 37 _ 25Случайная величина ξ имеет нормальное распределение с неизвестнымматематическим ожиданием a и диспервией σ 2 .По выборке ( x1 , x2 ,..., xn ) объема n вычислены оценки a* =1 n∑ xi иn i =11 n(σ ) = n − 1 ∑ ( xi − a *)2 неизвестных параметров.

Найти доверительныйi =1интервал для дисперсии при доверительной вероятности P2 *a* = 2.1(σ )2 *= 0.5n = 31P = 0.98доверительный интервалоя для оценки математического ожижания aнормального распределения при неизвестной дисперсии σ 2 :a * −t P ⋅σ*< a < a * +t P ⋅σ*nnИз таблицыVI имеем t P =0.98 ( k = n − 1 = 30 ) = 2.457Тогдаσ*0.5≈ 0.31n31Искомый доверительный интервал :tP ⋅= 2.457 ⋅2.1 − 0.31 < a < 2.1 + 0.311.79 < a < 2.41.