Задачник по физике (механика), страница 21

Найтисобственную длинуxyBB0стержня, если влабораторнойсистеме отсчета егоyc, 0скорость v =2rдлина l = 1 м иvθуголмеждуxстержнеминаправлениемРис.7.3движения θ = 45°(рис. 7.3).Решение. Линейные размеры стержня в направлении движенияu2сокращаются x = x0 1 − 2 ; аcy0 остается постоянным.Длина стержня в лабораторной системе отсчета l 2 = x 2 + y02 ;yУгол наклона стержня tg θ = 0 ;xl2l2222222Поэтому l = x + x tg θ = x (1 + tg θ); x =;x=21 + tg θ1 + tg 2 θДлина стержня в собственной системе отсчета l0 = x02 + y02xlИз преобразований координат x0 =;x=v21 + tg 2 θ1+ 2cПодставив x в x0 и y0 , получим125x0 =l; y0 = x tg θ =l tg θ.1 + tg θ⎛ v ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ)⎝ c ⎠Окончательно собственная длина стержня равна22⎛ v2 ⎞ 21 + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟ tg θl2l 2 tg 2 θ⎝ c ⎠l0 =l=+=22()1tg+θ⎞⎛⎛ v2 ⎞v⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ )⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + tg 2 θ )⎝ c ⎠⎝ c ⎠⎛c2 ⎞1 + ⎜⎜1 − 2 ⎟⎟1⎝ 4c ⎠ = l 7 = 1,08 м .=l6⎛c2 ⎞⎜⎜1 − 2 ⎟⎟(1 + 1)⎝ 4c ⎠Задача 7.5.

Собственное время жизни некоторой нестабильнойчастицы Δt0 = 10 нс. Какой путь пролетит эта частица до распадав лабораторной системе отсчета, в которой ее время жизниΔt = 20 нс?Решение. Соотношение между указанными временамиΔt0v 2 Δt0Δt =; 1− 2 == 0,5 .cΔtv21− 2c3v2 1 v2 3.Откуда, возведя в квадрат, получим 1 − 2 = ; 2 = ; v = c4 c42cПуть в лабораторной системе отсчета3Δtl = vΔt = c= 5,16 м .2Задача 7.6. На 1 м 2поверхности, перпендикулярнойнаправлению солнечных лучей, около Земли вне ее атмосферыприходится 1,4 кВт энергии излучения Солнца (солнечная постоянная).Какую массу теряет Солнце в секунду за счет излучения света? Накакое время хватит 0,1 массы Солнца, чтобы поддерживать егоизлучение? Расстояние от Солнца до Земли150 млн км. МассаСолнца M C = 2 ⋅ 1030 кг.126Решение. Солнечная постоянная κ = 1,4 кВт/м2 есть удельныйEпоток энергии (интенсивность) κ = , т.е.

энергия, излучаемая сSτединицы поверхности в единицу времени всех длин волн.EПоток энергии (мощность) Φ = = κS = κ 4πl 2 - это энергия,τ2излучаемая в единицу времени, где 4πl - площадь сферы радиуса l.Используя связь массы и энергии E = mc 2 , получимmc 2 ⎛ m ⎞ 22Φ = κ 4πl == ⎜ ⎟c .τ⎝τ⎠Масса, которую теряет Солнце в единицу времени,2⎛ m ⎞ κ 4πl= 4,4 ⋅ 109 кг с .⎜ ⎟=2c⎝τ⎠1/10 массы Солнца –это 2 ⋅ 10 29 кг.Время, за которое масса Солнца уменьшится на 1/10,2 ⋅ 1029 2 ⋅ 10 29= 1,43 ⋅ 1012 лет .t==94,4 ⋅ 10⎛m⎞⎜ ⎟⎝τ⎠Задача 7.7.

Определить релятивистский импульс p икинетическую энергию T электрона, движущегося со скоростьюv = 0,9 c .Решение. Релятивистский импульсvm0vm0v,гдеβ=; β = 0,9 .p = mv ==cv21 − β21− 2cm βcp = 0 2 = 5,6 ⋅ 10−22 кг ⋅ м с .1− βКинетическая энергия – это разность полной энергии и энергиипокоя⎛⎞⎜⎟2mc10T = mc 2 − m0c 2 =− m0c 2 = m0c 2 ⎜− 1⎟ =22⎜⎟vv⎜⎟1− 21− 2cc⎝⎠⎛ 1⎞⎟ = 1,06 ⋅ 10−13 Дж .= m0c 2 ⎜−12⎜ 1− β⎟⎝⎠1277.3.Задачи для самостоятельного решения7.8. Мезон, входящий в состав космических лучей, движется соскоростью, составляющей 95% скорости света.

Какой промежутоквремени Δτ по часам неподвижного наблюдателя соответствует однойсекунде "собственного времени" мезона?7.9. Отношение заряда движущегося электрона к его массе,определенное из опыта, равно 0,88·1011 Кл/кг. Определить массудвижущегося электрона и его скорость.7.10. На сколько процентов изменится продольный размерпротона и электрона после прохождения ими разности потенциалов ϕ =106 В?7.11.

Стержень движется в продольном направлении спостоянной скоростью относительно инерциальной К-системы отсчета.При каком значении v длина стержня в этой системе отсчета будет на η= 0,5 % меньше его собственной длины?7.12. Имеются две системы отсчета K и K', относительнаяскорость которых неизвестна. Параллельный оси x стержень,движущийся относительно системы K со скоростью v2' = 0,1 c, имеет вэтой системе длину l' = 1,1 м. В системе К длина стержня равна l = 1 м.Найти скорость стержня vx в системе K и относительную скоростьсистем v0.7.13. Чему равно относительное приращение длины стержня Δl/l,если ему сообщить скорость v = 0,1с в направлении, образующем сосью стержня угол α? Вычислить Δl/l для α, равных 45° и 90°.7.14. Найти собственную длину стержня, если в лабораторнойсистеме отсчета его скорость v = c/2, длина l = 1 м, угол между ним инаправлением движения α = 45°.7.15.

Имеются два одинаковых стержня. Стержень 1 покоится всистеме отсчета К1, стержень 2 покоится в системе отсчета К2.Системы движутся друг относительно друга вдоль совпадающих осейx. Стержни параллельны этим осям. Какой стержень будет короче: а) всистеме K1, б) в системе K2?7.16. Имеется прямоугольный треугольник, у которого катета = 5,00 м и угол между этим катетом и гипотенузой α = 30°. Найти всистеме отсчета К', движущейся относительно этого треугольника соскоростью v = 0,866с вдоль катета а : а) соответствующее значениеугла α' ; б) длину l' гипотенузы и ее отношение к собственной длине.7.17. В системе К', относительно которой он покоится, стерженьимеет длину l' = 1 м и образует с осью x' угол α' = 45°.

Определитьдлину стержня в системе К и угол α, который стержень образует с128осью x. Относительная скорость систем равна v0 = 0,5 с.7.18. Суммарная поверхность неподвижного тела, имеющегоформу куба, равна S0. Чему равна поверхность S того же тела, еслионо движется в направлении одного из своих ребер со скоростьюv = 0,968c?7.19. Имеется двое одинаковых часов. Часы 1 покоятся в системеотсчета К1, часы 2 покоятся в системе отсчета К2. Системы движутсядруг относительно друга. Какие часы идут быстрее: а) в системе К1, б)в системе K2?7.20. На сколько увеличится масса α -частицы при ускорении ееот начальной скороcти, равной нулю, до скорости, равной 0,9с?7.21.

Плотность покоящегося тела равна ρ0. Найти скоростьсистемы отсчета относительно данного тела, в которой его плотностьбудет на η = 25% больше ρ0. Под плотностью понимается отношениемассы покоя тела к его объёму.7.22. Кинетическая энергия электрона T = 10 Мэв.

1) Во сколькораз его масса больше массы покоя? 2) Сделать такой же подсчет дляпротона.7.23. Найти скорость частицы, если ее кинетическая энергиясоставляет половину энергия покоя.7.24. Во сколько раз релятивистская масса частицы, скоростькоторой отличается от скорости света на 0,01 %, превышает ее массупокоя?7.25. Найти отношение e/m заряда электрона к его массе дляскоростей: v<<c; v = 2 ⋅ 108 м с ; v = 2,4 ⋅ 108 м с ; v = 2,8 ⋅ 108 м с .Построить графики зависимостей m и e/m от величины β = v/с.7.26.

Во сколько раз масса протона больше массы электрона,если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т=1ГэВ?7.27. Найти скорость космической частицы, если ее полнаяэнергия в пять раз больше энергия покоя.7.28. До какой кинетической энергии Т можно ускорить частицыв циклотроне, если относительное увеличение массы не должнопревышать 5%? Задачу решить для электронов и протонов.7.29. Электрон летит со скоростью, равной 0,8 скорости света.Определить кинетическую энергию Т электрона в МэВ.7.30.

Какую разность потенциалов должен пройти электрон(протон), чтобы его собственное время стало в 10 раз меньшелабораторного?7.31. Какую ускоряющую разность потенциалов U долженпройти протон, чтобы его продольные размеры уменьшились в 2 раза?7.32. При какой скорости кинетическая энергия любой частицы129вещества равна ее энергии покоя?7.33. Масса движущегося протона в 1,5 раза больше его массыпокоя. Определить полную Е и кинетическую Т энергии этого протона.7.34.

При каких значениях отношения кинетической энергиичастицы к ее энергии покоя относительная погрешность при расчете еескорости по нерелятивистской формуле не превышает η = 0,01?7.35. Энергия покоя частицы равна E0. Чему равна полнаяэнергия частицы в системе отсчета, в которой импульс частицыравен p?7.36. Электрон движется со скоростью, равной 0,6 скоростисвета. Определить импульс электрона.7.37.

С какой скоростью движется частица, импульс которойравен ее комптоновскому импульсу m0c?7.38. Найти импульс p релятивистской частицы массы m,кинетическая энергия которой равна Т.7.39. Протон движется с импульсом p = 10 ГэВ/c, где c скорость света. На сколько процентов отличается скорость этогопротона от скорости света?7.40. Кинетическая энергия электрона равна его энергии покоя.Найти импульс электрона.7.41. Найти зависимость импульса частицы с массой m от еекинетической энергии. Вычислить импульс протона с кинетическойэнергией 500 МэВ.7.42. При скорости частицы v0 импульс частицы равен p0. Восколько раз η нужно увеличить скорость частицы для того, чтобы ееимпульс удвоился?7.43.

Найти скорость, при которой релятивистский импульсчастицы в η = 2 раза превышает ее ньютоновский импульс.7.44. Какую ускоряющую разность потенциалов должен пройтипротон, чтобы его масса была такой же, как у α-частицы скинетической энергией 1000 МэВ?7.45. Сколько литров воды можно вскипятить, используясобственную энергию 1 л воды? Начальная температура водыt1 = 00 C , удельная теплоемкость воды Cуд = 4,2 ⋅103 Дж (кг ⋅ К ) .7.46.