Задачник по физике (механика), страница 19

Круговая частота затухающих колебаний равнаω = ω02 − β2 . Так как ω = 2πν , ω0 = 2πν 0 ,то2πν = 4π2ν 02 − β2 , или ν = ν 02 − β2 4π2 .Резонансная частота ω p = ω02 − 2β2 ,или ν p = ν 02 − 2β2 4π2 = ν 02 − β2 2π 2 .Решая уравнения совместно находим ν 0 , исключая β :ν 2 = ν 02 − β2 4π2 ; ν 2p = ν 02 − β2 2π2 Вычитаем 2ν 2 − ν 2p = 2ν 02 − ν 02 = ν 02Находим ν 0 = 2ν 2 − ν 2p = 1002 c −1 .1116.3.Задачи для самостоятельного решения6.12. Через какое время от начала движения точка, совершающаягармоническое колебание, сместится относительно положенияравновесия на половину амплитуды? Период колебаний Т = 24 с,начальная фазаϕ0 = 0.6.13. Найти амплитуду А, период Т, частоту ν и начальную фазу⎛ 39,2t + 5,2 ⎞ϕ0 колебания, заданного уравнением x = 5 sin ⎜⎟ см.

Здесь t5⎝⎠в секундах.6.14. Точка совершает гармонические колебания по законусинуса. Наибольшее смещение точки А = 100 см, наибольшая скоростьv = 20 см/с. Написать уравнение колебаний и найти максимальноеускорение amax точки.6.15. Написать уравнение гармонического колебательногодвижения с амплитудой А = 50 мм, периодом Т = 4 с и начальной фазойϕ0 = π/4. Найти смещение x колеблющейся точки от положенияравновесия при t = 0 и t = 1,5 c.⎛ πt ⎞6.16.

Уравнение движения точки дано в виде x = sin ⎜ ⎟ . Найти⎝6⎠моменты времени t, в которые достигаются максимальная скорость имаксимальное ускорение.6.17. Точка колеблется гармонически по закону x = x0sin (ωt +ϕ0). Найти максимальные значения скорости и ускорения точки.6.18. Начальная фаза гармонического колебания ϕ0 = 0. Черезкакую долю периода скорость точки будет равна половине еемаксимальной скорости?6.19. Как изменится период колебания математическогомаятника при перенесении его с Земли на Луну?6.20. Точка равномерно вращается по окружности противd =часовой стрелки с периодом Т = 12 c. Диаметр окружности20 см.

Написать уравнение движения проекции точки на прямую,касательную к окружности. За начало отсчета принять момент, когдаточка, вращающаяся по окружности, проходит через точку касания.6.21. Точка совершает гармонические колебания с амплитудойА = 10 см и периодом Т = 2 с. Написать уравнение этих колебаний,считая, что при t = 0 смещение x = 0. Определить также фазу ϕ длядвух моментов времени: когда смещение точки х = 6 см; 2) когдаскорость точки v = 10 см/c.6.22.

Найти зависимость скорости гармонического колебанияматериальной точки от смещения.1126.23. Через какое время от начала движения точка, совершающая⎛ πt ⎞колебательное движение по уравнению x = 7 sin ⎜ ⎟ , проходит путь⎝2⎠от положения равновесия до максимального смещения?Уравнениедвиженияточкидановвиде6.24.⎛ πt π ⎞x = 2 sin ⎜ + ⎟ см. Найти период колебания Т, максимальную⎝ 2 4⎠скорость vmax и максимальное ускорение amax точки.6.25 Построить график зависимости скорости гармоническогоколебания материальной точки x = 5 sin(2 πt+ ϕ0) от смещения.6.26. Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt+ ϕ0) от смещения.6.27. Точка колеблется гармонически.

Амплитуда колебанийА = 5 см, круговая частота ω = 2 c-1, начальная фаза ϕ0 = 0. Определитьускорение точки в момент, когда ее скорость v = 8 см/с.6.28. Найти закон, по которому изменяется со временемнатяжение F нити математического маятника, совершающегоколебание ϕ = ϕmcos(ωt). Масса маятника m, длина l.6.29. Частица совершает гармонические колебания вдоль оси xоколо положения равновесия x = 0. Частота колебаний ω = 4 c-1. Внекоторый момент координата частицы x0 = 25 см и ее скорость v0 =100 см/с. Найти координату x и скорость v частицы через t = 2,4 спосле этого момента.6.30.

Точка совершает гармоническое колебание. Периодколебаний Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза ϕ0 = 0.Найти скорость v точки в момент времени, когда смещение точки отположения равновесия x = 25 мм.6.31. Точка совершает гармонические колебания. Максимальнаяскорость точки vmax = 10 см/c, максимальное ускорение amax = 100 см/c2.Найти циклическую частоту ω колебаний, их период t и амплитуду A.Написать уравнение колебаний.6.32. Найти зависимость ускорения гармонического колебанияx = x0 sin(ωt + ϕ0) от скорости.6.33.

Написать уравнение гармонических колебаний, еслимаксимальное ускорение amax = 49,3 см/c2, период колебаний Т = 2 с исмещение точки от положения равновесия в начальный моментвремени x0 = 25 мм.6.34. Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x1 = 5 см. При увеличении фазывдвое смещение точки стало x2 = 8 cм. Найти амплитуду А колебаний.1136.35.

Начальная фаза колебаний точки равна π/3. Периодколебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, вкоторые скорость и ускорение в два раза меньше амплитудныхзначений.6.36. Шарик массы m = 50 г подвешен на пружинес коэффициентом жесткости k = 49 Н/м. Шарик поднимают до такогоположения, когда пружина не напряжена, и отпускают без толчка.Пренебрегая трением и массой пружины, найти а) период Т иамплитуду А возникших колебаний; б) направив ось X вниз исовместив точку х = 0 с начальным положением шарика, написатьзакон движения шарика.6.37. Найти круговую частоту и амплитуду гармоническихколебаний частицы, если на расстояниях x1 и x2 от положенияравновесия ее скорость равна соответственно v1 и v2.6.38.

Начальная фаза гармонического колебания ϕ = 0. Присмещении точки от положения равновесия x1 = 2,4 см скорость точкиv1 = 3 см/с, а при смещении x2 = 2,8 см ее скорость v2 = 2 см/с. Найтиамплитуду А и период Т этого колебания.6.39. Точка совершает гармонические колебания. В некоторыймомент времени t смещение точки x = 5 см, ее скорость v = 20 см/c иускорение a = 80 cм/с2. Найти амплитуду А, циклическую частоту ω,период колебаний Т и фазу ϕ колебаний в рассматриваемый моментвремени.Присложениидвуходинаковонаправленных6.40.гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами,равными 2 и 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой5 см.

Найти разность фаз складываемых колебаний.6.41. Пренебрегая трением, определить частоту ω малыхколебаний ртути, налитой в U-образную трубку с внутреннимсечением σ = 0,5 cм 2. Масса ртути m = 136 г.Плотность ртути равна13600 кг/м3 .6.42. Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt + π/3), x2 = 8 sin(ωt + π/6).6.43.

Найти графически амплитуду А колебаний, которыевозникают при сложении следующих колебаний одного направления:x1 = 3 cos (ωt), x2 = 5 cos (ωt + π/4), x3 = 6 sin (ωt).6.44. Уравнение колебания материальной точки массой m = 10г⎛ π π⎞имеет вид x = 5 sin ⎜ t + ⎟ см.Найти максимальную силу,4⎠⎝6действующую на точку, и полную энергию E колеблющейся точки.1146.45.

Материальная точка массой m = 0,05 кг совершаетгармонические колебания, уравнение которых имеет вид:x = 0,1 sin(5t) м. Найти силу F, действующую на точку: 1) в момент,когда фаза колебания ϕ = 30°,2) в положении наибольшегоотклонения точки.6.46. Материальная точка одновременно участвует в двухвзаимно перпендикулярных колебаниях, описываемых уравнениями⎛ πt ⎞x = 2 cos ⎜ ⎟ и y = – cos (πt). Определить уравнение траектории точки.⎝2⎠6.47.

Точка участвует одновременно в двух колебаниях одногонаправления, которые происходят по законам x1 = a cosωt иx2= a cos 2ωt. Найти максимальную скорость точки.6.48. При сложении двух гармонических колебаний одногонаправления уравнение результирующего колебания точки имеет видx = a cos(2,1t) cos(50,0t), где t - время в секундах. Найти круговыечастоты складываемых колебаний и период биений.6.49.

Точка движется в плоскости XY по закону x = A sin(ωt), y= B cos(ωt), где t, A, ω - постоянные. Найти: а) уравнение траекторииrточки y(x) б) ускорение a точки в зависимости от ее радиус-вектора rотносительно начала координат.6.50. Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движетсяпо закону x = a sin(ωt), y = a sin(2ωt). Изобразить график найденнойтраектории.6.51. Найти уравнение траектории y(x) точки, если она движетсяпо закону x = a sin(ωt), y = a cos(2ωt). Изобразить график найденнойтраектории.6.52. Если увеличить массу груза, подвешенного к спиральнойпружине на 600 г, то период колебанийrOгруза возрастает в 2 раза. Определить массупервоначального груза.6.53.

Однородный стержень длины lсовершаетмалыеколебаниявокругO2горизонтальной оси, перпендикулярной кстержню и проходящей через его верхнийO1Rконец. Найти период колебания. Трениянет.6.54. Из тонкого однородного дискарадиусом R = 20 см вырезана часть,имеющая вид круга радиусом r = 10 смтак, как это показано на рис. 6.11.Рис.6.11Оставшаясячастьдискаколеблетсяотносительно горизонтальной оси О, совпадающей с одной из115образующих цилиндрической поверхности диска. Найти период Тколебания такого маятника.6.55.

Математический маятник длины l0 = 40 см и тонкийоднородный стержень длины l = 60 см совершают синхронно малыеколебания вокруг горизонтальной оси. Найти расстояние от центрастержня до этой оси.6.56. Материальная точка массой m = 0,1 г колеблется согласноуравнению x = 5 sin(20t) см. Определить максимальные значениявозвращающей силы F и кинетической энергии Wкин точки.совершает6.57.Точкагармонические колебания, уравнение которых имеет вид x = 5 sin(2t)см. В момент, когда возвращающая сила впервые достигла значения F= +5 Н, точка обладала потенциальной энергией П = 100 мкДж. Найтиэтот момент времени и соответствующую ему фазу колебаний ϕ.6.58.Определитьотношениепотенциальнойэнергиигармонически колеблющейся точки к ее кинетической энергии, еслиизвестна фаза колебаний.6.59.

Материальная точка совершает колебания по законуx = x0 sin(2πt + π/6) см. В какой момент времени ее потенциальнаяэнергия равна кинетической?6.60. Тело массой m движется под действием силы F = F0cos(ωt).Найти выражение для кинетической энергии тела. Определитьмаксимум кинетической энергии (при t = 0, v = 0 ).6.61. На горизонтальной пружине жесткостью k = 800 Н мукреплено тело массой М = 4 кг , лежащее на гладкой горизонтальнойповерхности. Другой конец пружины прикреплен к вертикальной стене(рис. 6.12.).

Пуля, массой m = 10 г ,летящая сrMскоростьюmv0 горизонтальнойv0 = 600 м с , попадает в тело изастревает в нем. Пренебрегая массойпружины и сопротивлением воздуха,Рис.6.12определить:1) амплитуду колебаний тела; 2) период колебаний тела.6.62. В в воде плавает льдина с площадью основания S = 1 м2 ивысотой H = 0,5 м. Льдину погружают в воду на небольшую глубинуx0 = 5 см и отпускают. Определить период ее колебаний. Плотностьльда ρл = 900 кг/м3, плотность воды ρв = 1000 кг/м3. Силойсопротивления воды пренебречь.6.63. На концах тонкого стержня длиной l = 30 см укрепленыодинаковые грузики по одному на каждом конце.

Стержень сгрузиками колеблется около горизонтальной оси, проходящей черезточку, удаленную на d = 10 см от одного из концов стержня.116Определить приведенную длину lпр и период t колебаний такогофизического маятника. Массой стержня пренебречь.6.64. На стержень длиной l = 30 см укрепили два одинаковыхгрузика - один в середине стержня, другой - на одном из его концов.Стержень с грузиками колеблется около горизонтальной оси,проходящей через свободный конец стержня.