atnasyan-gdz-10-2001 (Геометрия 10 - 11 класс Атанасян)

Домашняя работапо геометрииза 10 класск учебнику «Геометрия. 10-11 класс»Л.С. Атанасян и др., М.: «Просвещение», 2001 г.учебно-практическоепособие4ОглавлениеВведение ...............................................................................4Глава I. Параллельность прямых и плоскостей ...............8Вопросы к главе I ...............................................................39Дополнительные задачи к главе I .....................................42Глава II. Перпендикулярность прямыхи плоскостей...................................................................58Вопросы к главе II..............................................................97Дополнительные задачи к главе II..................................100Глава III.

Многогранники..............................................112Вопросы к главе III ..........................................................162Дополнительные задачи к главе III ................................167Глава IV. Векторы в пространстве................................200Вопросы к главе IV ..........................................................232Дополнительные задачи к главе IV ................................2375ВВЕДЕНИЕ1.Если две точки прямой принадлежат плоскости, то и вся прямаяпринадлежит плоскости.

Поэтому:а) РЕ ⊂ пл. ADB;MK ⊂ пл. BCD, DB = ADB ∩ CBD, DB ∈ ADB, DB ∈ CBD;АВ = ABC ∩ DAB, AB ∈ ABC и AB ∈ DAB;EC ⊂ ABC, т.к. С ∈ АВС, и Е ∈ АВС.б) DK ⊄ ABC, С ∈ DK, C ∈ ABC, значит, DK ∩ ABC = C(см. рис. 5, б) на стр. 6 учебника);Е ∈ СЕ, Е ∈ ABD, CE ⊄ ABC, значит, СЕ ∩ ADB = E;СЕ ∩ ADB = E;в) A, D, B, P, M, E ∈ пл. ADB; D, B, C, M, K ∈ DBC.Точки, лежащие в ADB и DBC одновременно: D, B, M.г) АВС ∩ DCB = BC; ABD ∩ CDA = AD; PDC ∩ ABC – CE.2.а) Точки, лежащие в DCC1: D, D1, C1, C, K, M, R;точки, лежащие в плоскости BQC: B, B1, C1, C, P, Q, M.точки, принадлежащие этим плоскостям: С1, С, М.б) АА1 ⊂ АА1D1 и AA1 ⊂ AA1B1.в) MK ∩ ABD = R; DK ∩ A1B1C1 = D1; BP ∩ A1B1C1 = Q.г) АВ – прямая пересечения АА1В и ACD;ВС – прямая пересечения РВ1С1 и АВС.д) MK и DC пересекаются в точке R; B1C1 и ВР пересекаются вточке Q; C1M и DC пересекаются в точке С.3.а) Да (аксиома А1).б) Неверно.

Например,А, В, С ∈ β, D ∈ β.в) Неверно. Например,6А, В, С, D ∈ α.г) Через любые 3 точки проходит плоскость. Но утверждение оединственности неверно. Не всегда.4.а) Рассмотрим два случаяПо теореме п. 3 D и пряНикакие три точки не лежат наодной прямой. Сама пл. α суще- мая лежат в одной плоскости,ствует по аксиоме А1. Условие за- что противоречит условиюзадачи.дачи выполненоОтвет: нет.б) Если АВ ∩ CD, то через них можно провести плоскость, тогдавсе точки будут в одной плоскости, а это противоречит условию задачи (по следствию из аксиом).Ответ: нет.Ответ: а) нет; б) нет.5.Выберем произвольно т. D ∉ AB.По теореме п.

3 через D и прямую можно провести единственную плоскость, таких плоскостей можно провести бесконечно много, в силу того, что точка D выбрана произвольно.Ответ: бесконечное множество.6.Через три точки можно провести единственную плоскость. В силутого, что две точки каждого отрезка принадлежат этой плоскости (концы отрезков), то и все отрезки лежат в этой плоскости (аксиома А2).77.Пусть l1 ∩ l2 = M; n – произвольная прямая, М ∉ n и n пересекает l1и l2 в точках А иK, значит, через т. А и прямую l2 можно провести единственную плоскость (по теоремеп.

3). Поэтому отрезки АМ, AK и KM лежат водной плоскости (по аксиоме А2 п. 2),и прямые, которым принадлежат эти отрезки, лежат в одной плоскости.Все прямые, проходящие через т. М, не лежат в одной плоскости.Если в теореме п. 3 речь идет только о двух пересекающихсяпрямых, через которые проходит единственная плоскость. Еслипрямых несколько, то утверждение неверно.Например:l3 пересекает пл. α, но М ∈ l3Ответ: нет.8.а) Неверно. Пример:А ∈ α, В ∈ α. Но окружность пересекает α и не лежит в ней.б) Верно, так как три точки однозначно задают окружность, поэтому все ее точки будут лежать в заданной плоскости.Ответ: а) нет; б) да.89.А, В, О ∈ α.Так как А, О ∈ α, по А2, то С ∈ α(поскольку С ∈ АО, АО ⊂ α).

Так какВ, О ∈ α, по А2, то D ∈ α (D ∈ ВО,ВО ⊂ α). Значит, С и D лежат в α.Ответ: да.10.Если MN пересекает стороны ∆АВС,а ∆АВС ∈ α, то М ∈ α и N ∈ α. Из аксиомы А2 прямая MN лежит в пл. α.Прямая l пересекает α в точке В, ноне обязательно лежит в ней.Ответ: а) да; б) нет.11.Пусть есть прямая а, точка Ми М ∉ а.Из теоремы п. 3, через а и Мпроходит единственная плоскость α. Прямые, пересекающиеа, пересекают ее в точке, лежащей в α. Точка М – общая длявсех прямых l1, l2, l3 и М ∈ α.Тогда по аксиоме А2 каждая прямая l1, l2, l3 лежит в плоскость α, таккак две точки каждой прямой лежат в α.12.Поскольку плоскости АВС и ABDимеют общую точку А, то они пересекаются по прямой, проходящейчерез т.

А (аксиома А3).Ответ: да.13.а) Неверно, по аксиоме А3 они пересекаются по прямой.б) Неверно, по той же причине.в) Верно, по аксиоме А3.Ответ: а) нет; б) нет; в) да.914.Рассмотрим два случая:а) Из теоремы п. 3 имеем, что через каждый две пересекающиесяпрямые можно провести единственную плоскость; поэтому черезданные три прямые проведено 3 плоскости.б) Если все три прямые лежат в одной плоскости, то плоскости,упомянутые в п.

а, совпадают.Ответ: или три или одну плоскость.15.Каждая из трех точек принадлежит одновременно прямым.Через три точки по аксиоме А1можно провести единственнуюплоскость α. Поэтому отрезки АВ,ВС и АС лежат в плоскость α(по аксиоме А2), значит, прямые, которым принадлежат эти отрезки, тоже лежат в α.Рассмотрим второй случай:l1, l2 ⊂ α, a l3 ⊄ α, но и пересекается с l2 и l1 в точке М.То есть прямые имеют общую точку, но не лежат в одной плоскости.ГЛАВА IПАРАЛЛЕЛЬНОСТЬ ПРЯМЫХ И ПЛОСКОСТЕЙ1016.Так как М ∈ α, N ∈ α; М ∈ с, N ∈ с, поэтому MN ⊂ α, ⇒ с ⊂ α.17.Поскольку∆ADB: PM средняя линия, то PM || AD;∆ADC: QN средняя линия, то QN || AD.Из условийPM || AD по теореме п. 5 получим: PM || QN.QN || AD Отсюда следует, что P, Q, M и N лежат в 1 плоскости.Получим, что MN и PQ – средние линии в ∆BDC и ∆ABC, значит,MN || BC и PQ || BC.

Имеем из теоремы п. 5 MN || PQ.Значит, 4-угольник MNPO – параллелограмм по определению(т.к. является плоским четырехугольником).PMNPQ = 2 ⋅ PM + 2 ⋅ PQ = 2 ⋅11AD + 2 ⋅ BC = 12 + 13 = 26 .22Ответ: 26 см.18.Так как BB1 || CC1, то эти отрезкилежат в одной плоскости β (из определения). Тогда С ∈ β и В ∈ β, поэтому ВС ⊂ β. Значит, прямые ВВ1, СС1,АВ ⊂ β.Рассмотрим треугольник АВ1В в плоскости β.∆САС1 ~ ∆ВАВ1 (по 2-м углам)Из подобия имеем:CC1 AC CC1 1== ; СС1 = 3,5;72BB1 ABб) АналогичноCC1 AC AC 32== , AB = AC + CB = AC + AC ,,203AB CB 211CC1=20AC33= , CC1 = 20 ⋅ = 12 .5 2 5AC 1 +  3Ответ: а) 3,5 см; б) 12 см.19.По лемме п.

5 CD пересечет α, т.к. CD || AB, а АВ пересекает α.По лемме п. 5 AD пересечет α, т.к. AD || BC, а ВС пересекает α.20.По свойству средней линииBC || MN, MN ⊂ α, а по теореме IBC ||α, следовательно, не пересекает.AD || MN, MN ⊂ α, по теореме IAD||α, следовательно, не пересекает.21.Допустим, прямая l || DC.DC пересекает пл.

ADB, l || DC,значит, (по лемме п. 5.1) l пересечетпл. ADB;DC пересекает пл. АВС, l || DC,значит, (по лемме п. 5.1) l пересечетпл. АВС.Утверждение доказано.22.В ∆АВС: MN – средняя линия.MN || AB. Значит, по теореме IMN || α.1223.По теореме I СВ || ABM, т.к. CD || AB, а АВ ⊂ пл. АВМ.Утверждение доказано.24.Из теоремы I AD || пл. ВМС, т.к. AD || BC, а ВС ⊂ пл. ВМС.25.Из теоремы I l || α, т.к.

l || MN, а MN ⊂ α.Из теоремы I l || β, т.к. l || MN, a MN ⊂ β.26.АС ⊂ АВС (АС || α), и АВС пересекает плоскость α, линия пересечения MN параллельна прямой (АС) (по теореме II).Значит, MN || AC.13AC || MN.∠1=∠2, как соответственные углы, ∠АВС – общий, отсюда∆АВС~∆МВN (по двум равным углам).27.AB 4= , CD || α, CD = 12. Найдем ВЕ.BC 3Т.к.

В – общая точка, то плоскости АВЕ и α пересекаются.Из теоремы II CD || BE.∠1 = ∠2, ∠3 = ∠4 как соответственные, значит, АВЕ ~ ∆ACD подвум углам. Из подобия имеем:AB BE AB − BC 123 12==,, 1− =, ВЕ = 48.AC CDABBE4 BE28.DE = 5,14BD 2= ;DA 3DE || αпо утверждению из учебника DE || BC.DE ⊂ пл. ABC ∆ВАС ~ ∆DAE (по двум углам).

Из подобия имеем:BC ABDB== 1+;DE ADADBC2 51= 1 + = , BC = 8 .53 3329.По теореме I AD || BMC (т.к. ВС ⊂ ВМС, AD || BC);по утверждению из учебника пеAD || пл. BMCресечение плоскостей ВМС и ADK –AD ⊂ пл. ADK прямая KH – параллельна AD.ADK ∩ BMC = K Рассмотрим плоскость ВМС:Н – середина МС (по теореме о пропорциональных отрезках)KH – средняя линия ∆ВМС;1KH = BC = 6 .21530.Плоскость ABCD пересекает α попрямой, проходящей через т. С.По доказанному в учебнике утверждению линия пересечения проходит через т. С и параллельна ВА, а,значит, совпадает с основанием трапеции CD.Значит, CD ⊂ α.MN || CD, поэтому MN || α (по теореме I).Утверждение доказано.31.BC || α.По утверждению, доказанному в учебнике, MN || BC.ВМ = МА, значит, MN – средняя линия ∆АВС (по теореме о пропорциональных отрезках), и плоскость α проходит через серединустороны АС.32.Решение приведено в учебнике.33.Пусть а не параллельна b, тогда a пересекается с b в некоторойточке K.K ∈ γ, K ∈ α.16Тогда плоскость γ пересекается с плоскостью α не только попрямой с, но еще по второй прямой, проходящей через т.

К.То есть точка K ∈ c. Получили, что либо плоскости имеют общую точку K (т.к. K ∈ a, K ∈ b, K ∈ c), либо наше допущение неверно, то есть a || b. Если a || b, то a || α ⇒ а не пересекается с с, но лежит с ней в одной плоскости γ. Тогда по определению a || c || b.В случае, когда плоскостиимеют общую точку, они попарно пересекаются, образуяфигуру, называемую трехгранным углом.34.а) ND ∩ AB = т. В;б) PK ∩ BC, поскольку PK не параллельна ВС;в) MN || AB, поскольку MN – средняя линия;г) MP || AC, поскольку МР – средняя линия;д) KN и АС – скрещиваются, так как не параллельны и не пересекаются;е) MD и ВС – скрещиваются, так как не лежат в одной плоскости.35.Так как прямые не имеютобщих точек с а, то они либопараллельны ей, либо скрещиваются с ней.

Но обе они параллельны а быть не могут, таккак имеют общую точку. Значит, по крайней мере одна изних скрещивается с а.1736.Т.к. a || b, то существует пл. α, что а ⊂ α, b ⊂ α.Пусть с пересекает а в т. М. а || b, значит, М ∉ b.По признаку скрещивающихся прямых, c и b скрещиваются.37.а)Так как АС и m не имеют общих точек и лежат в одной плоскости, то АС || m; так как АС пересекается с ВС, то и m пересекается сВС.б)ВС и m скрещиваются, потому что т.

М ∈ АВ, М ∉ ВС (по теореме п. 7).38.a) а || BD;BD и CD – пересекаются;а ⊂ α, BD ⊂ α.18Следовательно, а не параллельна BD, а, значит, пересекает ее.б) а ∈ α;а и b не лежат в одной плоскости, b ∩ α = С, С ∉ а.Следовательно, а и b скрещиваются (по признаку).39.Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости (т.к. АВ и CDскрещиваются). Следовательно, AD и ВС тоже не лежат в однойплоскости, то есть не параллельны и не пересекаются ⇒ скрещиваются.40.а) Скрещивающиеся прямые не лежат в одной плоскости. Следовательно, b ⊄ α.б) α и β имеют две общие точки: М и N, значит, прямая MN –общая для плоскостей α и β, значит, это линия их пересечения (поаксиоме А2).Ответ: а) b ⊄ α; б) MN – прямая, по которой плоскости α и β пересекаются.41.Пусть а и b скрещиваются.Предположим, a || c и b || c,тогда а || b, но а и b – скрещиваются.Предположение неверно.