alimov-10-gdz (Алгебра - 10-11 класс - Алимов), страница 12

1) 2 2; ; yxyxyx = 2 x = 2.; ; 2 − 2 = 2 2 + 2 = 6 4 + 2 = 6 2x = 2 y = 178www.5balls.ru3x + 3y = 82 ⋅ 3 x = 63 x = 32) ; ; 3x − 5y = −2 3 x + 5 y = 8y5 x x243. 1) 5 − 5 = 100 ; 5 x −1 − 5 y −1 = 30 5 xx = 1  x = 1.; ; 3 + 5 y = 8 5x = 5  y = 1− 5 y = 100 2 ⋅ 5 x = 250; ;+ 5 y = 150 5 x + 5 y = 150x35 x = 125x = 35 = 5.; ;yy125 + 5 = 150 5 = 25 y = 22 x − 9 ⋅ 3 y = 72x = u ;8 ; yxy3 =v2 ⋅ 3 =9u − 9 v = 78 ;uv = 92) u = 7 + 9v8— не;; v=− 2981v + 63 ⋅ v − 8 = 0имеет действительных решений, значит,u = 7 + 9 v;1v = 9u = 8; y3 = 3 − 22 x = 2 3 x = 3.;  y = −2 y = −216 y − 16 x = 24 16 y − 16 x = 24  y = 2 − x3) ; ; 16 x + y = 256x + y = 2y = 2 − x 2t + 24t − 256 = 0; x16 = t y = 2 − x; x16 = 8x; 16 = t;t = −32 — посторонний корень, значит, t = 8 ;3 y = 2 − x y = 2 − x  x = 4;;. 4x2 = 23 4x = 3y = 1 14 x + x + y +1 = 5 3x = u4) 3 2;3x +1 − 2x + y = 1 2 x + y = vu = 1 3x = 1 x = 0; ;  x+y;=22v = 4 v = 2 25) 52−x− 16x − 24 = 016u + 2v = 5 u + 2v = 5 u + 2v = 5; ; ; ;3u − v = 16u − 2v = 2 7u = 7x = 0 x = 0.;  y2 = 2 y = 1x +1⋅3 y = 75; перемножая уравнения системы, получаем:3 ⋅5 y −1 = 3(3 ⋅ 5) x + y = 225 15 x + y = 15 2 x + y = 2 x = 2 − y;  2− y y;;  x y;  x yx y5⋅=5315⋅3 = 155 ⋅3 = 155 ⋅3 = 15xx = 2 − y;3 y25 ⋅ 5 = 15 x ⋅ y=6) 3 2 4;3x ⋅2 y = 9() x = 2 − y y = 1 y. 33;  5 = 5 x = 1x y3 x ⋅2 y = 43 ⋅2 = 4; ;(3 ⋅ 2) x + y = 36 6 x + y = 6 2()x + y = 2; x y3 ⋅ 2 = 4x = 2 − y; 2− y y3⋅2 = 479www.5balls.rux = 2 − yx = 2 − y;  2 y 4; 2 y9 ⋅ 3 = 4  3 = 952 x +1 > 625244.

1) ;2116 x −10 x = 11()()y = 2.x = 052 x +1 > 54; 26x − 10x = 9x − 152 x + 1 > 4; x = 1,5 — 26 x − 19 x + 15 = 0посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет первенству, значит, x = 1 2 .3 10x 2 −47 = 0,3−10x−72) 0,3;23,7x < 3,7410x 2 − 47x = −10x − 7; 2x < 410 x − 37 x + 7 = 0; x=3,5 —− 2 < x < 22посторонний корень, т.к. он не удовлетворяет неравенству, значит, x = 0,2 .(5 ) = 55 = 5xy = 21245. 1) 5x ⋅ 5y = 510 ; 5x + y = 510 ; x + y = 10;x y21xy21x = 10 − y210 y − y − 21 = 0;x > yx > y xx > yy3 > 3x = 10 − yx = 3x = 7 2y − 10 y − 21 = 0;  y = 7 — не удовлетворяет неравенству, значит,  y = 3 .x > y(0,2 y ) x = 0,0082) (0,4) y = (0,4) 3,5− x ; x2 ⋅ 0,5 y < 10,2 xy = 0,2 3 y = 3,5 − x ; x2 < 2 yxy = 3 y = 3,5 − x;x < y3,5x − x 2 = 3 y = 3,5 − x ;x < yx 2 − 3,5x + 3 = 0y = 1,5— не удовлетворяет неравенству, значит,;  y = 3,5 − xx = 2x < y246.

1) 4−3< 4−1,42, т.к. 4 > 1; − 3 < − 2 ; 2) 2π23< 21,7 , т.к. 2>1; 3 < 1,7 ;11 11 13)   <   , т.к. < 1; 1,4 < 2 ; 4)   <  2 2  29 9247. 1) 2 −35< 1 = 2 0 , т.к. 2 > 1; − 5 < 0 ;01112)   < 1 =   , т.к. < 1;2 2 2π3)  45 −214)   38 −33 >0;0ππ< 1 =   , т.к.

< 1;44 5 −2 > 0;011> 1 =   , т.к. < 1;338 −3< 0 .80www.5balls.rux = 1,5.y = 23,14, т.к.1< 1; π < 3,14 .9248. 1) y=0,78x; 0,78<1; значит, y=0,78x — убывающая;2) y=1,69x; 1,69<1; значит, y=1,69 — возрастающая;xx3) y =  1  = 2x ; 2 > 1 значит, y =  1  — возрастающая;22x4) y = 4 x =  1  ; 1 < 1 значит, y = 4 x — убывающая.44249. 1) y = 5x— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] ее зна-чения находятся в промежутке [ y(−1); y(2)] , т.е.

в промежутке  1 ;25 .52) y = 5 − x1= 5x— возрастающая функция, значит, при x ∈ [−1;2] еезначения находятся в промежутке [ y(2); y(−1)] , т.е. в промежутке  1 ;5 .252250. 1) 1,55x −7 =  3 12) 0,752x −3 = 1  33) 5x2−5 x − 614)  75− x= 1; 5xx 2 − 2x − 2x +125x − 73;  23;  4−5 x − 62x − 33= 23= 4− x −1x −5; 5x − 7 = − x − 1; x = 1 ;; 2 x − 3 = x − 5; x = −2 ;= 50 ; x 2 − 5x − 6 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 6 ;122= ; x − 2 x − 2 = 1; x − 2 x − 3 = 0; x 1 = −1 ; x 2 = 3 .791251.

1) 2 x − 2 x −3 = 18; 2 x (1 + ) = 18; 2 x ⋅ = 18; 2 x = 16; x = 4 ;882) 3x + 4 ⋅ 3x +1 = 13; 3x (1 + 12) = 13; 3 x ⋅13 = 13; 3 x = 1; x = 0 ;3) 2 ⋅ 3x +1 − 6 ⋅ 3x −1 − 3x = 9; 3 x (6 − 2 − 1) = 9; 3x ⋅ 3 = 9; 3 x = 3; x = 1 ;324) 5x +1 + 3 ⋅ 5x −1 − 6 ⋅ 5x + 10 = 0; 5x (5 + − 6) = −10; 5x ⋅ = 10;555x=25; 5x=52; x = 2 .252. 1) 52x–5x–600=0; 5x=t; t2–t–600=0; t=–24 — посторонний корень;t=25; 5x=52; x=2.2) 9x–3x–6=0; 3x=t; t2–t–6=0; t=–2 — посторонний корень; t=3; 3x=3; x=1.13) 3x–9x–1–810=0; t=3x; t + t 2 − 810 = 0; t2+9t–7290=0; t=–90 — посто9ронний корень; t=81; 3x=34; x=4.4) 4x+2x+1–80=0; t=2x; t2+2t–80=0; t=–10 — посторонний корень; t=8;2x=23; x=3.253. 1) 3x–2>9; 3x–2>32; x–2>2; x>4;81www.5balls.ru2) 2 2 x < 1 ; 2 2 x < 5−2 ; 2 x < −2; x < −1 ;253) 0,7x 2 +2x14)  x32>< 0,73 ; x 2 + 2 x > 3; x 2 + 2x − 3 > 0; x < −3 и x > 1 ;1 1;  81  3 x2412>   ; x < 4; −2 < x < 2 . 3254.

1) 2− x = 3x + 10 , из ри-−x12)   =2x+5, из рисунка видно, что 3сунка видно, что графики функций y = 2 − x и y = 3x + 10 пересекаются при x = −2 .−x1графики функций y =   31пересекаются при x ≈ −2 .3и y=2x+5255. y=2x; y=(1)=2; y=(2)=4; y=(3)=8;… действительно, при каждом натуральном х, большем предыдущего, значение функции y=2x увеличиваетсяв 2 раза, значит, данная функция при натуральных значениях х являетсягеометрической прогрессией.256. Искомая сумма вычисляется по формуле сложных процентовtP  , где t — число лет, в течение которых предприятие наращиS = a 1 + 100 вало свою прибыль, т.е.

t = n − 1 , а S = a 1 + P n −1100 .257.YYY1)2)258. 1) 0,6x ⋅  25  9 x 2 −123)3x 27   3   3 = ;   ⋅  125   5   5 24 − 2 x 282www.5balls.ru9 3=  ;53 5x + 24 = 2x 22) 24+ x −59223=   ; x + 24 − 2 x = 9; 2 x − x − 15 = 0; х1=–2,5; х2=3.5x +1=24;22x− 5 = x + 1; x − x + 1 = x + 1; x − 3 x = 0;416 216 2xx  − 3  = 0; x = 0 — посторонний корень, значит, x = 24.8259.

1) 2 ⋅ 33x −1 + 27x− 23x= 9x −1 + 2 ⋅ 32x −1; 2 ⋅ 33x + 1 = 1 32 x + 2 ⋅ 32 x ;3392 1   1 2  2 x 33x 32 x ; 3x = 2 x; x = 0.=3  +  =  + 3 ;3 9 9 3933x x +22) 2x2=2x +1= 12 + 2x −1; 2x1 4 − 2 −  = 12; 22x⋅3= 12; 22x= 8;= 23 ; x = 9 .3) 22 ⋅ 9x −1 − 1 ⋅ 3x +3 + 1 ⋅ 3x +2 = 4 ; 22 ⋅ 9x+3x(3–9)–4=0; 3x=t; 22t2–54t–36=0;9336—постороннийкорень,значит,t = 3; 3 x = 3; x = 1 .t=−114) 5 ⋅ 4x −1 −16x + 0,25⋅ 22x +2 + 7 = 0; 5 ⋅ 4x − 16x + 4x + 7 = 0; 4x=t t 2 − ( 5 + 1)t − 7 = 0;44x4 t 2 − 9 t − 28 = 0; t = −1,75 — посторонний корень, значит, t=4 4 = 4; x=1.x260. 1) 2x+4+2x+2=5x+1+3⋅5x; 2x(16+4)=5x(5+3); 2 x = 8 ;  2  = 2 ; x=1;205x5x02) 52x–7x–52x⋅17–7x⋅17=0; 52x(1–17)=7x(1–17);  2  = 1;  2  =  2  ; x=0;5223) 2 x −1 − 3x ⋅ 4 ;  3 3x255322=   ; x = 3; x1,2 = ± 3 ;34) 3 ⋅ 4 x + 1 ⋅ 9x + 2 = 6 ⋅ 4 x +1 − 1 9 x +1; 4 x (3 − 24) = 9 x ( − 9 − 27) ;34x9x=22x63  4 3 3;   = ;  42  9 2 2x −3−2 x=13 −2 x = 1;x=−;22.x −3261.

1) 8, 4 x 2 +1 < 1; 8, 4 x 2 +1 < 8, 40 ; x − 3 < 0;2x +1x22) x<3 2 ⋅ 5х3) 4 + 2x +11− x2x2−33− x 2< 10 (10+8) ; 10x2<106–2x–3; x2<3–2x; x2+2x–3<0; –3<x<1;xx3x−x< 8x ; 4 − 2 ⋅ 2 + 8 < 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ;22x–2⋅2x+8–2⋅22x<0; 22x+2⋅2x–8>0; t=2x; t2+2t–8>0; t<–4 — нет действительных корней, t>2; 2x>2; x>1;83www.5balls.ru4)1≤x3 +51x +133 ⋅ 3x − 1 ≤ 3x + 5; ;− 1 3x +1 −1 > 02 ⋅ 3x ≤ 6; x +13 −1 > 303x ≤ 3 x ≤ 0; –1<x≤1.; x +1 > 0 x > −12x − y = 27x − y = 7;;;x − 2y +11 3 1 x − 2y +1 1  1x − 2 y + 1 = 3==28222262. 1) x−y= 128()()x = 7 + yx = 7 + y;;; 7 + y − 2 y = 2  y = 5x x y2) 2 ⋅ 5 = 10; u = 2 ;yx5 − 2 = 3 v − u = 3()x = 12.y = 5v = 3 + u;3u + u 2 − 10 = 0u = 2 2 x = 2 x = 1u = −5 — посторонний корень; .; ; 263.

1)y = 1v = 5 5y = 5yy2)хх264. 1)0, 2x +0,51= 5 ⋅ 0,04x ;  55x +0,5+0,5−12x1 1=   ⋅   ; х+1=2х–1; x = 2 ;5 5xxxxx33 23 22) 4 ⋅ 3x − 9 ⋅ 2x = 5 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ; 4   − 5   − 9 = 0 ;   = t; 4t2–5t–9=0;22  2xt=–1 — посторонний корень; t =2⋅4x–3⋅10x–5⋅25x=0;3)x9  3  2 9  3  2  3 2 x;= 2; x = 4 ;= ;   =  ;24  2 4 2 2xx2 4 2  − 3  − 5 = 0;5 25 x22 52xx2− 3  − 5 = 0;5−1x25 222t =   ; 2t –3t–5=0 t=–1 — посторонний корень; t = ;   =   ; x=–1;2 555xx4) 4 ⋅ 9 x + 12 x − 3 ⋅16 x = 0; 4 ⋅  9  +  3  − 3 = 0 ; 16 4xx23 333  = t; 4t +t–3=0; t=–1 — посторонний корень, t = ;   = ; x=1.4 444265. 1) 3|x-2|<9; 3|x–2|<32; |x–2|<2; 0<x<4.2) 4|x+1|>16; 4|x+1|>42; |x+1|>2; x<–3 и x>1.3) 2|x–2|>4|x+1|; 2|x-2|>22|x+1|; |x-2|>2|x+1|.Если x ≥ 2 , то x – 2 > 2x + 2, x < – 4, следовательно, нет решений.Если – 1 < x < 2, то 2 – x > 2x + 2, 3x < 0, x < 0, следовательно, – 1 <x< 0.Если x≤–1, то 2–x>–2x–2, x>–4, следовательно, –4<x ≤ –1.

Ответ: (–4; 0).4) 5|x+4|<25|x|; 5|x+4|<52|x|; |x+4|<2|x|; x<–1 1 и x > 4.384www.5balls.ruГлава IV. Логарифмическая функция266. log = 1; log3 y = 2log3 9 = 2; log3 81 = 4 ⋅ log3 3 = 4; log 3  1  = −1;331113 1 1= −1,5; log 3 94 3 = 2 .log 3   = −2; log 3  = −5; log 3 3 = ; log3343 39 243 267. 1) log 2 16 = log 2 2 4 = 4 ⋅ log 2 2 = 4 ;3) log 2 2 = 1 ;62) log 2 64 = log 2 2 = 6 ⋅ log 2 2 = 6 ;4) log 2 1 = 0 .268.

1) log 2 1 = log 2 2 −1 = −1⋅ log 2 2 = −1 ; 2) log 2 1 = log 2 2 −3 = −3 ⋅ log 2 2 = −3 ;281113) log2 2 = log2 22 = ⋅ log2 2 = ;221−1114) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − .443269. 1) log 3 27 = log 3 3 3 = 3 ⋅ log 3 3 = 3 ;3) log 3 3 = 1 ;42) log 3 81 = log 3 3 = 4 ⋅ log 3 3 = 4 ; 4) log 3 1 = 0 .1111= log3 3−2 = −2 ⋅ log3 3 = −2 ; 3) log3 3 4 = log3 34 = − ⋅ log3 3 = ;9441−11112) log3 = log3 3 −1 = −1⋅ log3 3 = −1 ; 4) log3 4 = log3 3 4 = − ⋅ log3 3 = − .4433270. 1) log35111= log 1   = 5 ⋅ log 1 = 5 ;2 322  22 2271. 1) log 1−2112) log 1 4 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ;22  22 23) log 0,5 0,125 = log 0,5 (0,5)3 = 3 ⋅ log 0,5 0,5 = 3 ;4) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)1 = 1 ⋅ log 0,5 0,5 = 1 ;25) log 0,5 1 = log 0,5 (0,5)0 = 0 ⋅ log 0,5 0,5 = 0 ⋅1 = 1 ;6) log 12312 = log 1  22−13111= − ⋅ log 1 = − .332 2272.

1) log 5 625 = log 5 5 4 = 4 ⋅ log 5 5 = 4 ; 2) log 6 216 = log 6 6 3 = 3 ⋅ log 6 6 = 3 ;3) log 4 1 = log 4 4 −2 = −2 ⋅ log 4 4 = −2 ; 4) log 5 1 = log 5 5 −3 = −3 ⋅ log 5 5 = −3 .16125−311273. 1) log 1 125 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ;5555 5−3112) log 1 27 = log 1   = −3 ⋅ log 1 = −3 ;33  33 385www.5balls.ru33) log 14111= log 1   = 3 ⋅ log 1 = 3 ;644  44 4−2114) log 1 36 = log 1   = −2 ⋅ log 1 = −2 ;6666 6274. 1) 3log3 18 = 18 ;2) 5log5 16 = 16 ;3) 10log10 2 = 2 ;14)  45 log3 2275. 1) 3() =2log3 2 5= 35412)   2= 32 ;1log 0,3 6 23) 0,32log0,3 6 = (0,3log 1 6) = 62 = 36 ;4) 7 2=6.6 log 1 2log 7 926  1 log 1 2 =    2  = 26 = 64 ; 2 11= (7 log7 9 )2 = 9 2 = 3 .276.