alimov-10-gdz (Алгебра - 10-11 класс - Алимов)

Домашняя работа поалгебре за 10 класск учебнику «Алгебра иначала анализа10-11 класс»Алимов Ш.А. и др.,-М.: «Просвещение», 2001 г.СодержаниеГлава I. Действительные числа ……………………………….…….4Глава II. Степенная функция……………………………………….. 37Глава III. Показательная функция…………………………..……..65Глава IV. Логарифмическая функция……………………………..85Глава V.

Тригонометрические формулы……………………..…..123Глава VI. Тригонометрические уравнения………………….……157Глава VII. Тригонометрические функции………………….…….1933www.5balls.ruГлава I. Действительные числа1. 1) Воспользуемся алгоритмом деления уголком:− 2,0 3Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же цифра: 6.

Следовательно,18 0,662− 20...= 0,666... = 0, (6) .32) Воспользуемся алгоритмом деления уголком:− 8,0 3Остатки повторяются, поэтому в частном77 0,66повторяется одна и та же группа цифр: 72.− 30Следовательно,228= 0,7272... = 0, (72) .11…− 30...3) 3 = 2 ⋅ 3 = 6 = 0,62 ⋅ 5 10325 ⋅ 375− =−=−− 0,75425 ⋅ 4100256 + 258−8 = −=−77754)5)− −587– 8,2857142−56−− 20Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 285714. Сле-−14…−6 …6) − 13,099− 310990,131297…31...довательно, − 82= –8,2857142…=–8,( 285714).7Остатки повторяются, поэтому в частномповторяется одна и та же группа цифр: 13.13= 0,1313...

= 0, (13) .Следовательно,992. 1) 2 + 1 = 2 ⋅ 9 + 1 ⋅ 11 = 18 + 11 = 29 .11 99 ⋅ 119999− 29,099198− 9200,292891…92...Остатки повторяются, поэтому в частномповторяется одна и та же группа цифр: 29.29Следовательно,= 0,2929... = 0, (29) .994www.5balls.ru2)8 2 8 ⋅ 3 + 2 ⋅ 13 24 + 26 50.+ ===13 33 ⋅ 133939391,282051− 5039− 110цифр:…113)Остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа282051.Следовательно,50=39= 1,2820512...

= 1, (282051) .11 125 1 ⋅ 100 + 3 ⋅ 125 100 + 375 475 19+ 1,25 = +====.33 1003 ⋅ 100300300 12121,583−191270−60Остатки повторяются, поэтому в частномповторяется одна и та же цифра: 3. Следовательно,…19= 1,5833... = 1,58(3) .124...4) 1 + 0,33 = 1 + 33 = 1 ⋅ 50 + 33 ⋅ 3 = 50 + 99 = 149 .66− 149,01200− 29001003000,49663 ⋅ 2 ⋅ 50300Остатки повторяются, поэтому в частномповторяется одна и та же цифра: 6.

Следовательно,2700300…149= 0,4966... = 0,49(6)300200...5) 3 ⋅ 1,05 = 3 ⋅ 105 = 3 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 3 = 9 = 9 ⋅ 25 = 225 = 0,225 .2 ⋅ 7 100 2 ⋅ 7 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 4 40 40 ⋅ 25 10001477 ⋅ 17 1196) ⋅1,7 =.=99 ⋅ 1090− 11990290−270901,32Остатки повторяются, поэтому в частномповторяется одна и та же цифра: 2. Следовательно,119= 1,322... = 1,3(2) .90…20...3. 1) 0,(6).Пусть x = 0, (6) = 0,66...

(1)Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, находим10x = 6,66...(2)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = 6 .5www.5balls.ruОтсюда x = 6 = 2 .932) 1,(55).Пусть x = 1, (55) =1,5555…(1)Период этой дроби состоит из двух цифр, поэтому, умножая обе частиэтого равенства на 10 2 = 100, находим100x = 155,55...(2)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получим99x = 154 . Отсюда x = 154 = 14 = 1 5 .99993) 0,1(2)Пусть x = 0,1(2) =0,1222….Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем10x = 1, (2)(1)Период этой дроби состоит из одной цифры.

Поэтому, умножая обе части последнего равенства на 10, находим(2)100x = 12, (2)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 90x = 11 . Отсюда x = 11 .904) – 0,(8)Пусть x = −0, (8) =–0,888…(1)Период этой дроби состоит из одной цифры. Поэтому, умножая обе части этого равенства на 10, получаем(2)10x = −8, (8)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 9x = −8 . Отсюда x = − 8 .95) – 3,(27)Пусть x = −3, (27) =–3,2727…(1)Период этой дроби состоит из двух цифр.

Поэтому, умножая обе частиэтого равенства на 10 2 = 100 , получаем100x = −327, (27)(2)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 99x = −324 . Отсюдаx=−324363=−= −3 .9911116) – 2,3(82)Пусть x = −2,3(82) =–2,38282…Так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то, умножая на 10, получаем10x = −23, (82)(1)Период этой дроби состоит из двух цифр.6www.5balls.ruПоэтому, умножая обе части этого равенства на 10 2 = 100 , получаем1000x = −2382, (82)(2)Вычитая из равенства (2) равенство (1), получаем 990x = −2359 .Отсюда x = − 2359 = −2 379 .9909904.

1) (20,88 : 18 + 45 : 0,36) : (19,59 + 11,95) =  2088 + 45 ⋅100  : 100 ⋅ 1836 1959 1195   2088 + 4500 ⋅ 50   3154  227088 100 4.:+⋅===:100  50 ⋅ 2 ⋅ 12  100  100 ⋅ 18 3154 1009⋅57 11 1 193= + + ==4 .4 ⋅8 2 ⋅5⋅ 2 ⋅9 44 44443  2  79 ⋅ 4 24  21521)  3 + 0,24  2,15 +  5,1625 − 2  = ++ (5,1625 − 2,1875) ⋅ =⋅16  5  4 ⋅ 25 100  1005 252) 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 + 9 ⋅ 5 = 7 ⋅ 9 + 8 ⋅ 11 +365.=3210 184⋅9316 + 24 215 2975 2 35 ⋅ 215 595 ⋅ 5 ⋅ 2 7310 + 1190 8500⋅+⋅ =+=== 8,5 .1000 ⋅ 510001000100100 1000 5 10 ⋅ 1002) 0,364 : 7 + 5 : 0,125 + 2 1 ⋅ 0,8 = 364 ⋅ 25 + 5 ⋅ 8 =25 1621000 7 16 107 ⋅ 52 ⋅ 25 5 ⋅ 8 ⋅ 125 5 ⋅ 2 ⋅ 4 13 25 20 58=++=++== 5,8 .40 ⋅ 25 ⋅ 7 2 ⋅ 8 ⋅ 125 2 ⋅ 2 ⋅ 5 10 10 10 106.

1) 16, 9 — рациональное число.2) 7, 25(4) — бесконечная периодическая десятичная дробь — рациональное число.3) 1,21221222… (после каждой единицы стоит n двоек) — бесконечнаянепериодическая десятичная дробь — аррациональное число.4) 99,1357911…(после запятой записаны подряд все нечетные числа) —бесконечная непериодическая десятичная дробь — иррациональное число.7.

С помощью микрокалькулятора находим 31 = 5,5677643... ≈ ≈ 5,57 .Значит пара чисел 5, 4 и 5, 5 образует десятичное приближения числа31 с недостатком, а пара чисел 5, 5 и 5, 6 — с избытком.8. 1) x = 5 − 7 ;7 ≈ 2,6457513... , значит,7 < 5 . Следовательно,5 − 7 > 0 , значит, в данном случае является верным равенство |x|=x.2) x = 4 − 3 5 .

Нужно выяснить какое из чисел больше 4 или 3 5 , для этого возведем их в квадрат: 4 2 = 16 ; (3 5 ) 2 = 45 . Очевидно, что 45 > 16, следовательно, 3 5 > 4, а, значит, 4 − 3 5 < 0 , и верным в данном случае являетсяравенство x = − x .3) x = 5 − 10 . Возведем в квадрат числа 5 и10 , получаем: 5 2 = 25 ;( 10 ) = 10 , так как 25 > 10 , то и 5 > 10 , поэтому 5 − 10 > 0 , а, значит, в2данном случае верным является равенство x = x .7www.5balls.ru9. 1) ( 8 − 3)(3 + 2 2 ) = ( 4 ⋅ 2 − 3)(2 2 − 3)(2 2 + 3) = (2 2 − 3) ×× (2 2 + 3) = (2 2 ) 2 − 3 2 = 8 − 9 = −1 — рациональное число.2) ( 27 − 2)(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 )(2 − 3 3 ) = −(2 − 3 3 ) 2 == −( 4 + 27 − 12 3 ) = 12 3 − 31 — иррациональное число.3) ( 50 + 4 2 ) 2 = ( 52 ⋅ 2 + 4 2 ) 2 = (5 2 + 4 2 ) 2 = 9 2 ⋅ 2 = 18 —рациональное число.4) (5 3 + 27 ) : 3 = (5 3 + 32 ⋅ 3 ) : 3 = (5 3 + 3 3 ) : 3 = 8 3 : 3 = 8 —рациональное число.5) ( 3 − 1) 2 + ( 3 + 1)2 = 3 + 1 − 2 3 + 3 + 1 + 2 3 = 8 — рациональное число.6) ( 5 − 1)2 − (2 5 + 1) 2 = 5 + 1 − 2 5 − 20 − 1 − 4 5 = −15 − 6 5 — иррациональное число.10.

1)63 ⋅ 28 = 7 ⋅ 3 2 ⋅ 2 2 ⋅ 7 = 3 ⋅ 2 ⋅ 7 = 42 ;2)20 ⋅ 5 = 2 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 2 5 ⋅ 5 = 10 ;3)50 : 8 = 5 2 ⋅ 2 : 2 2 ⋅ 2 = 5 : 2 = 2,5 ;212 : 27 = 3 ⋅ 2 2 : 3 2 ⋅ 3 = 2 : 3 = .34)11. 1) Сравнить3,9 + 8 и 1,1 + 17 .( 3,9 + 8 ) = 3,9 + 8 + 2 31,2 = 11,9 + 2 31,2 ;2( 1,1 + 17 ) 2 = 11 + 17 + 2 18,7 = 28 + 2 18,7 .Вычислим знак разности ( 28 + 2 18,7 ) − (28 + 2 31,2 ) ,если он положительный, то 1,1 + 17 > 3,9 + 8 ,если отрицательный, то 1,1 + 17 < 3,9 + 8 .Допустим, что он положительный, т.е. 28 + 2 18,7 > 11,9 + 2 31,2 , проверимэто:28 − 11,9 + 2 18,7 > 2 31,2 ;16,1 + 2 18,7 > 2 31,2 ;259,21 + 74,8 + 64,4 18,7 > 124,8; 209,21 + 64,4 18,7 > 0 — верное неравенство, значит наше предположение было верным и 1,1 + 17 > 3,9 + 8 .2) СравнитьДопустим, что11 − 2,1 и 10 − 3,1 .11 − 2,1 > 10 − 3,1 ;11 + 2,1 − 2 23,1 > 10 + 3,1 − 2 31 ;− 2 23,1 > −2 31 ;2 23,1 < 2 31 ; 23,1 < 31 — верное неравенство, значит, наше предположение было верным и11 − 2,1 > 10 − 3,1 .8www.5balls.ru12.

1)= (=( 7 − 2 10 + 2 ) ⋅ 2 5 = (2 35 − 10 10 + 2 10) =7+37−3−+ 2) ⋅ 2 5 = ( 5 − 2 5) = 10 .2216 + 216 − 2−+ 7) ⋅ 3222)( 16 − 6 7 + 7) ⋅ 3 = (3)( 8 + 2 15 − 8 − 2 15 ) ⋅ 2 + 7 =(= 2= 3⋅3 = 3 .8 + 64 − 608 − 64 − 608 + 64 − 608 − 64 − 60+−+)⋅2+7 =22228− 48−2⋅2+7 = 2⋅2+7 =224 3 +7 =7 +17 −1+= 2+ 3 .2213. 1) b n = −52n , получим: b1 = −52 , b 2 = −5 4 , b3 = −56 .46Итак, q = b 2 = 5 = 25 = b 3 = 5 = 25 , значит, данная последователь24b1b255ность является геометрической прогрессией.2) b n = 23n , получим b1 = 23 , b 2 = 26 , b 3 = 2 9 .69Итак, q = b2 = 2 = 8 = b3 = 2 , значит, данная последовательность яв36b12b22ляется геометрической прогрессией.14. 1) b 4 = 88, q = 2; b 4 = b1 ⋅ q3 ; 88 = b1 ⋅ 8; b1 = 11.S5 =b1 (1 − q 5 ) 11(1 − 32)== 31 ⋅11 = 341 .1− q1− 22) b1 = 11, b 4 = 88; b 4 = b1 ⋅ q 3 ; 88 = 11 ⋅ q 3 ; q 3 = 8; q = 2.S5 =11(1 − 2 5 )= 31 ⋅11 = 341 .1− 21111b,, … Итак, b3 =, b 2 = ; q = 3 = 1 : 1 , q < 1 , зна5 25255b 2 25 5чит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.1 11112) , ,, … Итак, b 3 =, b2 = ;273 9 27915.

1) 1,q=b31 1 1 , q < 1 , значит, данная геометрическая прогрессия=: =b 2 27 9 3является бесконечно убывающей.3) – 27, – 9, – 3… Итак, b 3 = −3, b 2 = −9 ; q = b 3 = 3 = 1 , q < 1 , значит,b293данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.9www.5balls.ru4) – 64, – 32, – 16… Итак, b 3 = −16, b 2 = −32 ; q = b3 = 16 = 1 , q < 1 ,b2322значит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.16. 1) b1 = 40 , b 2 = −20 ; q =b 2 −201== − , так как q < 1 , то даннаяb1402геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.2)b 7 = 12 ,b11 =3;4b11 = b1 ⋅ q10 ;b7 = b1 ⋅ q 6 ,значит,1b11 b1 ⋅ q 1031== q 4 = : 12 = , откуда получаем, что q = < 1, значит, дан2b7416b1 ⋅ q 6ная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.3) b 7 = −30, b 6 = 15 ; q = b7 = −30 = −2 , q = 2 < 1 , значит, данная геоb615метрическая прогрессия не является бесконечно убывающей.1b5 = b1 ⋅ q 4 ;b10 = b1 ⋅ q9 ,значит,4)b5 = 9 ,;b10 = −2711b 10b ⋅q915= 1= q5 = −: 9, откуда q = − 5 , то есть q = − , q =< 1, зна43b5273b1 ⋅ qчит, данная геометрическая прогрессия является бесконечно убывающей.17.