alimov-9-gdz (Алгебра - 9 класс - Алимов), страница 11

b11 = b7⋅q4 , то = 12⋅q4.41111Тогда q4 =иq=или q = – , |q| = <1, значит, прогрес162222) b7 = 12; b11 =сия бесконечно убывает;1423) b7 = – 30; b6 = 15;…q=b2−30== −2 ; |q| = 2>1, значит, прогрессия не бесконечноb115убывающая;1;…271Т.к. b9 = b5⋅q4 , то –= – 9⋅q4.271Отсюда q4 =.24311Тогда q = ± 4 , |q| = 4 <1, значит, прогрессия бесконечно333 34) b5 = – 9; b9 = –убывает.433.1) 1;q=1 1; …3 9b11, т.к. |q|<1, то S = 1 ; S =31− q1− 1=3;26b1, т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е. S =1− q61− 1=312) 6; 1; …6q=66 ⋅ 6 36=;553) – 25; – 5; – 1…q=b1, т.к. |q|<1, то S = 1 , т.е.1− q5S=125−25−25 ⋅ 5;==−441− 154) – 7; – 1; –1…7q=b1, т.к.

|q|<1, то S = 1 , т.е.71− qS=49−7−7 ⋅ 7==−.1661−7143434.1) b1 =b11,q= , S = 1 ;821− q18 =2=81− 1213) b5 =,q=81S=1;41.32) b1 = 9, q = –b1, S= 1 ;31− q9⋅339==6 ;1441+3114) b4 = – , q = – .82S=Т.к. b5 = b1⋅q4 , тоТ.к. b4 = b1⋅q3 , то1 41= b1⋅   , b1 = 1.813–Тогда S =31= = 1,5 ;121−3311= b1⋅  −  , b1 = 1.8 2Тогда S =12= .131+2435.1) bn = 3⋅( – 2)n;b1 = – 6; b2 = 12;q=b212== – 2. Т.к. |q| = 2>1, то bn – не бесконечно убыb1−6вающая геометрическая прогрессия;2) bn = – 3⋅4n; b1 = – 12; b2 = – 48;q=b2−48== 4. Т.к.

|q| = 4>1, то bn – не бесконечно убываюb1− 12щая геометрическая прогрессия;13) bn = 2⋅  − n −1 3b1 = 2; b2 = –Т.к. |q| =;−2b23 = −1 .;q= 2 =3b1231<1, то bn – бесконечно убывающая геометрическая3прогрессия;14) n = 5⋅  −  2b1 = 5; q = –n −1;11. Т.к. |q| = <1, то bn – бесконечно убывающая22геометрическая прогрессия.144436.1;3b12 ⋅ 312S = 1 ; S=== 18 ;21− q1− 1312) b1 = 100, q =;10b100010100S = 1 ; S=== 90 .11111− q1+ 1101) b1 = 12, q =437.1) Т.к.

b5 = b1⋅q4 , тоb1 =2 . Тогда S =21b= b1 ⋅ 4 = 1 , значит,1616221− 1=2 2.2Ответ: S = 2 2 .32) Т.к. b4 = b1⋅q3 , тоотсюда b1 =и S=9 8⋅= 3;8 3 331− 3 39= b1⋅   ,8 2 =22 32− 3=2 3 (2 + 3 )( 2 − 3 )(2 + 3 )=4 3+6= 4 3 +6.1Ответ: S = 4 3 + 6.438.а) Т.к. S =bb12, то 150 = 1 , 150 ⋅ = b1;1− q31− 13b1 = 100;б) Т.к. S =b175111, то 150 =. Тогда 2 =;1–q= ,q= .1− q1− q1− q22439.Т.к. b1 = a; q =а1, то получим S =21− 1= 2а.2145440.Так как все окружности вписаны в угол, то их центры лежат набиссектрисе угла А.RR= 2R, AD = AB + R1 + R2.= 2R =sin 30°1/ 2АВ R 1Т.к. ∆ADE ∼ ∆АВС, то получаем.=AD R 2Тогда АВ =2R 1R1= 1 , R 2 = R1 .R1 − R 2 R 23Действуя аналогично, рассматривая подобные треугольники, по-Тогда1лучим что Rn = R 1 ⋅  n −1 3.Покажем, что R1 + 2(R2 + R3 + …Rn + …) = 2R1 .

Пусть bn = Rn + 1,q = 1/3.Тогда S =b1.1− qR23R 2Значит S ===21− 13отсюда R1 + 2S = R1 + 213⋅ R1R3= 1 ,22R1= 2R1.2441.1) 0,(5) = 0,5555…Обозначим черезу = 0,(5). Умножим обе части равенства на 10.Тогда 5 + 0,(5) = 10у, но y = 0,(5), следовательно,5 + у = 10у,5 = 9у.Итак, у =14655, ⇒ 0,(5) = .992) 0,(9) = 0,999…Обозначим через y = 0,(9),умножим на 10,9 + 0,(9) = 10у;9 + у = 10у;9 = 9у, тогда у = 1; 0,(9) = 1;3) 0,(12) = 0,1212…Обозначим черезy = 0,(12), умножим на 100:12 + 0,(12) = 100у, 0,(12) = y, значит,12 + у = 100у;12 = 99у;у=124.=99 33Отсюда 0,(12) =4.334) 0,2(3) = 0,2333…Обозначим через0,(3) = у, 0,2(3) = 0,2 + 0,0(3) = 0,2 + 0,(3) ⋅ 0,1.Вычислим 0,(3), затем искомое3 + 0,(3) = 10у;3 = 9у;у=111 17. Тогда 0,2(3) = 0,2 + ⋅ 0,1 = +.=335 30 30446.1) an = n(n + 3) ;n = 1, a1 = 1⋅(1 + 3) = 4; n = 2, a2 = 2 ⋅(2 + 3) = 2 ⋅ 5 = 10;n = 3, a3 = 3 ⋅(3 + 3) = 3 ⋅ 8 = 18;2) an = 4n;n = 1, a1 = 4; n = 2, a2 = 16; n = 3, a3 = 64;3) an = 5 ⋅ 2n;n = 1, a1 = 5⋅ 2 = 10; n = 2, a2 = 5⋅ 22 = 5 ⋅ 4 = 20;n = 3, a3 = 5⋅ 23 = 5 ⋅ 8 = 40;4) an = sinπ;nn = 1, a1 = sinπ = 0; n = 2, a2 = sinn = 3, a3 = sinπ= 1;23π.=42147447.n −1;n +11) an =10 − 1 9; n = 30,=10 + 1 1130 − 1 29a30 =;=30 + 1 31n+92) an =;2n − 110 + 91930 + 939n = 10, a10 =;== 1 ; n = 30, a30 ==2 ⋅ 10 − 1 192 ⋅ 30 − 1 59n = 10, a10 =3) an = |n – 15| – 5;n = 10, a10 = |10 – 15| – 5 = 0; n = 30,a30 = |30 – 15| – 5 = 10;4) an = 10 – |n – 20|;n = 10, a10 = 10 – |10 – 20| = 0; n = 30, a30 = 10 – |30 – 20| = 0.448.а2 = 1 – 0,5⋅а1 = 1 – 0,5⋅2 = 0;а4 = 1 – 0,5⋅а3 =1;2а6 = 1 – 0,5⋅а5 = 1 – 0,5 ⋅33 5= 1− = ;48 8а3 = 1 – 0,5⋅а2 = 1;1 3= ;4 455 11а7 = 1 – 0,5⋅а6 = 1 – 0,5 ⋅ = 1 − = .816 16а5 = 1 – 0,5⋅а4 = 1 –449.13231) 4; 4 ; 4 ;… а1 = 4; d = a2 – a1 =1;3111⋅ 3 = 5; а5 = 4 + ⋅ 4 = 5 ;333112) 3 ; 3; 2 ;…2211а1 = 3 ; d = a2 – a1 = – ;221111а4 = 3 – ⋅ 3 = 2; а5 = 2 – = 1 ;2222а4 = 4 +1483) 1; 1 + 3 ; 1 + 2 3 ;…а1 = 1; d = a2 – a1 = 3 ;а4 = 1 + 3 ⋅3 = 1 + 3 3 ; а5 = 1 + 3 3 + 3 = 1 + 4 3 ;4) 2 ; 2 – 3; 2 – 6;…а1 = 2 ; d = a2 – a1 = – 3;а4 = 2 – 3 ⋅ 3 = 2 – 9; а5 = 2 – 9 – 3 = 2 – 12.450.Найдем an + 1 = – 2(1 – (n + 1)) = – 2( – n) = 2n;an + 1 – an = 2n – ( – 2(1 – n)) = 2n + 2(1 – n) = 2n + 2 – 2n = 2.Т.к.

an + 1 – an – не зависит от n, то an – арифметическая прогрессия.451.1) а1 = 6; d =1.2Т.к. a5 = a1 + 4d, то a5 = 6 + 4 ⋅132) а1 = – 3 ; d = –1= 6 + 2 = 8;21.3Т.к. a7 = a1 + 6d, тоa7 = – 31111+ 6 ⋅  −  = – 3 – 2 = – 5 .333 3452.1) а1 = – 1; а2 = 1;d = a2 – a1 = 1 – ( – 1) = 2.Т.к. S20 =S20 =2а 1 + 19d⋅ 20 , то2−2 + 38⋅ 20 = 360;22) а1 = 3; а2 = – 3;d = a2 – a1 = – 3 – 3 = – 6.Т.к.

S20 =S20 =2а 1 + 19d⋅ 20 , то26 − 114⋅ 20 = −1080 .2453.1) а1 = – 2; аn = – 60; n = 10.Т.к. S10 =a 1 + a 102⋅ 10 , тоS10 = ( – 2 – 60) ⋅ 5 = – 310;11; аn = 25 ; n = 11.22a 1 + a 11Т.к. S11 =⋅ 11 , то21 + 25 12 ⋅ 11 = 13⋅11 = 143;S11 = 222) а1 =149454.а1 = – 38; d = 5; an = 12.Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то12 = – 38 + (n – 1)5;50 = (n – 1)⋅5.Значит n – 1 = 10, n = 11;S11 =26−38 + 12⋅ 11 = − ⋅ 11 = −143 .22Ответ: S11 = – 143.2) а1 = – 17; d = 3; an = 13.Т.к. an = a1 + (n – 1)d, то13 = – 17 + (n – 1)⋅3;30 = (n – 1)⋅3;n – 1 = 10;n = 11 S11 =−17 + 13⋅ 11 = −2 ⋅ 11 = −22 .2Ответ: S11 = – 22.455.1…31q = b2:b1 = .31) 3; 1;311 111Тогда b4 = 3 ⋅   = ; b5 = ⋅;=992733 2)1 1; ;4 81…16q = b2:b1 = –11⋅4 = − .823Тогда b4 =3) 3;1  111  11; b5 = –;⋅ −  =⋅−  = –3232  2 644  23 ; 1…q = b2:b1 =13 /3 =33. 333331 =3⋅Тогда b4 = 3⋅ =; b5 == ;⋅3393331504) если 5; – 5 2 ; 10…q = b2:b1 = – 5 2 :5 = – 2 .Тогда b4 = 5 ⋅ ( – 2 )3 = – 10 2 ;b5 = – 10 2 ( – 2 ) = 20.456.1; 1; – 2;21b1 = – ; q = – 2.21) – 2; 4; – 8;2) –b1 = – 2; q = – 2.Т.к.

bn = b1⋅qn – 1,Т.к. bn = b1⋅qn – 1 , тоbn = – 2⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n;bn = –1⋅( – 2)n – 1 = ( – 2)n – 2.2457.1; q = 5; n = 4.81) b1 = 2; q = 2; n = 6.2) b1 =Т.к. b6 = b1⋅q5 , тоТ.к. b4 = b1⋅q3 , тоb6 = 2⋅25 = 2⋅35 = 70;b4 =1 3 125.⋅5 =88458.1) b1 =1; q = – 4; n = 5.22) b1 = 2; q = –5Т.к. S 5 =b 1 (1 − q ), то1− qS101; n = 10;2  1 5 2 ⋅ 1 −  −    2 ==11+23) b1 = 10; q = 1; n = 6;1 4 ⋅ 1 −1024 = =34 ⋅ 1023 34185===13 ⋅ 1024 2562564) b1 = 5; q = – 1; n = 9.S6 = b1⋅6 = 10⋅6 = 60;Т.к.

S 9 =1 ⋅ (1 − (−4) 5 )S5 = 2=1+ 41 + 1024== 102,52⋅5S9 =b 1 (1 − q 9 ), то1− q5 ⋅ (1 + 1)=5.1+1151459.1) 128; 64; 32; … n = 5;64b21= .=2b1 128b1 = 128; q =1 128 ⋅ 1 − b (1 − q ) 64  = 2(128 − 2) = 2 ⋅ 126 = 252 ;Тогда S6 = 1=11− q11−262) 162; 54; 18; … n = 5;54b21= ;=3b1 162b1 = 162; q =1162 ⋅ 1 − 3511−3− 81 ⋅ ( −242) ⋅ 3== 242243b (1 − q 5 )S5 = 1=1− q1 = −81 ⋅ 1 −⋅3 = 243 2 1 3; ; ; … n = 5;3 2 8b1⋅ 323b1 = ; q = 2 == ;34b1 2 ⋅ 23)5S5 ==b1 (1 − q )=1− q52   3  ⋅ 1−  3   4  1−34243 2 ⋅ 4 ⋅ 1 − 1024  8 ⋅ 781===33 ⋅102478113;=23843844)b1⋅ 43 1 132; ; ; … n = 4; b1 = ; q = 2 == ;4 2 343b1 2 ⋅ 3b (1 − q 4 )=S4 = 11− q1523   2  4 ⋅ 1−  4   3  1−23 16 3 ⋅ 3 ⋅ 1 − 29 81  9 ⋅ 65 65====1 .481 ⋅ 4 3636460.1 1 1; ; ;…2 4 81 11q = b2:b1 = – : = – .4 221Т.к. − <1, то bn – беско21)нечно убываети S=1 1;;…4 1611q = b2:b1 = : – 1 = – .441Т.к.

− <1, то bn – бесконеч42) – 1;но убывает12 = 2 =1;2⋅3 31+ 12и S=−1−1 −4.==1551+44461.n = 1, а3 =n = 2, а4 =n = 3, а5 =a1 + a2 −1 + 3==1;22a2 + a32=3 +1=2;2a 3 + a 4 1+ 2 3== .222462.Т.к. а8 = a1 + 7d, то2311= 2 + 7d и d = 3.22463.1) а1 = 5; а3 = 15.Т.к.

3 = а1 + 2d, то15 = 5 + 2d;d = 5;a2 = 10;a3 = 15; a4 = 20; a5 = 25;Ответ: 5; 10; 15; 20; 25.2) а3 = 8; а5 = 2.Т.к. а5 = а3 + 2d, то2 = 8 + 2d;d = – 3;a4 = 5; a2 = 11; a1 = 14.Ответ: 14; 11; 8; 5; 2.464.Чтобы a1, а2, а3 были членами арифметической прогрессии,а + а3надо, чтобы а2 = 1,2тогда а2 =5−10 + 5= − = −2,5 .22153465.1) а13 = 28; а20 = 38.2) а18 = – 6; а20 = 6.Т.к. а20 = а13 + 7d, тоТ.к. a19 =38 = 28 + 7d.a19 =Значит 10 = 7dОтсюда d = a20 – a19 = 6.3иd=1 ;7Т.к. a20 = a1 + 19d, тоa19 = a20 – d;6 = a1 + 19 ⋅ 6;34a19 = 38 – 1 = 36 .77а 18 + а 202, то−6 + 6=0.2a1 = 6 – 19 ⋅ 6 = – 108.Т.к.

a13 = a1 + 12d, то3=716= 28 – 12 – 5 = 10 .7764Ответ: а1 = 10 ; а19 = 36 .77a1 = 28 – 12⋅1Ответ: а1 = – 108; а19 = 0.466.1) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо,чтобы( 3 x + 2 x-1 )х+25х − 1==;222х + 2 = 5х – 1;4х = 3;х=3;42) Для того, чтобы это была арифметическая прогрессия надо,чтобы3 x 2 + 11x;2=223х + 11х – 4 = 0.Решим:2 1−24= ; х2 == – 4.6 361Ответ: ; – 4.3х1 =154467.1) b1 = sin(α + β); b2 = sinα⋅cosβ; b3 = sin(α – β).Если b2 =b1 + b 3, то b1, b2, b3, — арифметическая прогрессия;2sin(α + β ) + sin(α − β )2 sin α ⋅ cos βsin α ⋅ cos β === sin α ⋅ cos β .22Верно.2) b1 = cos(α + β); b2 = cosα⋅cosβ; b3 = cos(α – β).Если b2 =b1 + b 3, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия2cos(α + β ) + cos(α − β ) 2 cosα ⋅ cos βcosα ⋅ cos β == cosα ⋅ cos β .=22Верно.3) b1 = cos2α; b2 = cos2α; b3 = 1.Если b2 =cos 2 α ==b1 + b 32, то b1, b2, b3 – арифметическая прогрессия2222cos 2α + 1 cos α − sin α + cos α + sin α==222 cos 2 α= cos 2 α .2Верно.4) b1 = sin5α; b2 = sin3αcos2α; b3 = sinα.Нужно b2 =b1 + b 32, чтобы b1, b2, b3 были арифметическойпрогрессиейsin 5α + sin α2 sin 3α ⋅ cos 2α; sin 3α ⋅ cos 2α =;22sin 3α ⋅ cos 2α = sin 3α ⋅ cos 2α .

Верно.sin 3α ⋅ cos 2α =468.d = a2 – a1 = 7 – 5 = 2.2a 1 + ( n − 1)d⋅n ;210 + ( n − 1) ⋅ 2252 =⋅n ;2Тогда S n =504 = (8 + 2n)⋅n; 252 = (4 + n) ⋅n; n2 + 4n – 252 = 0. Решим:n1 = 14; n2 = – 32 – не натуральное число.Ответ: 14.155469.1) а1 = 40, n = 20, S20 = – 40.Т.к. S 20 =a 1 + а 202⋅ 20 , то– 40 = (а1 + а20)⋅10.Значит – 4 = (40 + а20);а20 = – 44.Т.к. d =d=a 20 − a 119, то– 16 = 120d;−44 − 40 −848== −4 .191919Ответ: а20 = – 44, d = −412, n = 16, S16 = – 10 .33a 1 + а 16Т.к. S16 =⋅ 16 , то22a + 15dS16 = 1⋅ 16 .22 + 15d 2  ⋅ 16 ;Значит − 10 =  33 22 2− 10 =+ 15d ⋅ 8 ;332) а1 =8.19d=−2.15Т.к.