Часть 2 (Ю.Л. Словохотов - Материалы по курсу кристаллохимии (2012)), страница 6

2.17 в такие же атомы, связанные осью 43, расположены наэнантиоморфной правой спирали. Наконец, ось 42 на рис. 2.17 г отвечает повороту на 900со сдвигом на половину трансляции (t=2t0). В модельной цепи (транс-PtCl2Br22-)∞ атомы Brзанимают положения на ахиральной двойной спирали, поэтому ось 42 не имеетэнантиоморфов.На основе определения 4 легко перечислить все одиннадцать винтовыхкристаллографических осей Np, которые получаются из кристаллографическихповоротных осей N=2, 3, 4 и 6 добавлением нижнего индекса p, принимающего значенияот 1 до n–1.

Все оси Np и Nn-p с p  n–p образуют энантиоморфные пары (31 и 32, 41 и 43, 61и 65, 62 и 64; тогда как оси 21, 42 и 63 (p=N/2) не имеют энантиоморфов,. Графическиесимволы всех винтовых осей показаны на Рис. 2.18. В отличие от учебной литературы, всправочниках по кристаллографии на графиках пространственных групп поворотную ось2, параллельную плоскости рисунка, обозначают двойной стрелкой, а такую же винтовуюось 21 – «половинной» стрелкой.Поскольку винтовые оси Np можно вывести из поворотных осей N того же порядка,все точки, связанные осью Np (симметрически эквивалентные позиции), в проекции вдольнаправления оси располагаются в вершинах правильного N-угольника.

В нижней частиРис. 2.17 показаны такие системы точек для осей 41, 43 и 42. Из рисунка можно видеть, чтодва последовательных винтовых поворота 41 эквивалентны вращению на 180о со сдвигомна половину трансляции, т.е. действию винтовой оси 21:412=21, или 4121(«винтовая ось 21 содержится в винтовой оси 41»). Два винтовых поворота 43эквивалентны вращению на 180о со сдвигом на полторы трансляции, т.е.432 = 21 + t, или снова 432122(«с точностью до трансляции»), а два последовательных винтовых поворота 42 приводят кповороту на 180о со сдвигом на одну трансляцию, т.е4222Построив системы эквивалентных позиций для винтовых осей 3-го и 6-го порядков,нетрудно убедиться, что61  31, 21; 65  32, 21; 62  32, 2; 64  31, 2, и 63  3, 21Эти математические соотношения родственны соотношениям между закрытымиэлементами симметрии 42 и 63, 2 (если не забывать, что вдоль винтовых осей всегдаимеются трансляции).2121 ||(2 ||:313232 ||414342616562)и т.

д.6463Рисунок 2.18. Кристаллографические винтовые оси (|| – параллельные плоскости рисунка).2.6. Взаимодействия открытыхпространственных группэлементовсимметрии.ГрафикинекоторыхОбсуждая плоские сетки, т.е. двумерные решетки, мы уже использовали для ихобозначения комбинацию типа решетки и точечной симметрии узла (р2, p2mm, c2mm идр.). Подобное сочетание символов решетки Браве и набора порождающих элементов(среди которых могут быть как закрытые, так и открытые) лежит в основе международнойсистемы обозначения симметрии любых двумерных и трехмерных кристаллов.

Внастоящем разделе мы рассмотрим общие правила построения символовпространственных групп и простейшие примеры их графиков.Определение 5. Совокупность всех преобразований симметрии, приводящих ксамосовмещениюатомнойструктурытрехмерногокристалла,называетсяпространственной группой. Пространственная группа любого кристалла содержитбесконечную подгруппу всех его трансляций: решетку. Симметрию кристалла какконечного трехмерного тела задает одна из 32 точечных кристаллографических групп(кристаллографических классов); всякая пространственная группа принадлежит копределенному кристаллографическому классу.23Полный символ пространственной группы трехмерного кристалла в системеГермана-Могена состоит из четырех позиций (для точечной группы – из трех позиций,см. ч.1). В первой позиции находится символ решетки (P, A, B, C, I, F или R).

Остальныетри позиции занимают порождающие элементы симметрии кристалла (закрытые иоткрытые) по правилам, аналогичным построению символа точечной группы (см. ч. 1).Если в координатных или диагональных направлениях, указываемых в символе, нетэлементов симметрии, в соответствующей позиции ставят 1. Так, например,пространственная группа примитивной решетки Браве в моноклинной сингонии(симметрия узла 1 2/m 1) имеет полный символ P 1 2/m 1 и краткий символ P2/m, аполный символ орторомбической пространственной группы P 21/b 21/c 21/a с открытымипорождающими элементами преобразуется в краткий символ Pbca.

Все пространственныегруппы имеют бесконечный порядок, поскольку любая из них содержит бесконечнуюподгруппу трансляций. Однако на элементарную ячейку любого кристалла приходитсяконечное число элементов симметрии.Общее число всех возможных пространственных групп конечно, хотя и довольновелико. Для их вывода можно применить тот же прием, которым мы пользовались в 1-йчасти, обсуждая точечные группы: вместо сотен тысяч известных на сегоднякристаллических структур надо рассмотреть лишь все комбинации их элементовсимметрии. Именно так пространственные группы и были выведены Е.С.Федоровым иА.Шенфлисом в 1890-92 г.г. – т.е. раньше открытия рентгеновских лучей, которое сделаловозможным экспериментальные исследования атомного строения кристалов.Заметим, что открытые элементы симметрии приводят к самосовмещению«внутренней» атомной структуры кристалла (которая по сравнению с размерами атомоввыглядит бесконечной), т.е.

действуют на микроскопическом уровне. Макроскопическойже форме кристалла как полиэдра с определенным (конечным) числом вершин, граней иребер соответствует точечная симметрия, по которой кристалл относится к одному из 32кристаллографических классов. В макроскопическом масштабе сдвиги идеализированноймикроструктуры кристалла на расстояния порядка долей нанометра, приводящие к еесамосовмещению, неотличимы от нуля. Поэтому для описания внешней симметриикристалла все рассмотренные выше открытые элементы симметрии надо заменить насоответствующие им закрытые кристаллографические элементы.Из этого не вполне строгого рассуждения следует совершенно точныйматематический рецепт построения пространственных групп: надо «всего лишь»перебрать все геометрически возможные и притом различные комбинации 14 решетокБраве сначала с 32 кристаллографическими точечными группами, а затем с наборамиэлементов симметрии, получаемыми из этих 32 групп заменой некоторых или всехзакрытых элементов открытыми.

В нашем пособии мы рассмотрим лишь некоторыекомбинации элементов симметрии вместе правилами их взаимодействия и построимграфики нескольких пространственных групп.Взаимодействия элементов симметрии с перпендикулярными трансляциямиПравила взаимодействия кристаллографических элементов с трансляциями оченьпросты, их легко доказать построением. Для этого достаточно выбрать в кристалле точку,не лежащую на рассматриваемом нами элементе, и отметить все точки, в которые онапереходит под действием этого элемента симметрии и трансляции t (Рис.

2.19). Еслинаправление трансляции совпадает с элементом симметрии R (плоскостью или осью),новые элементы не возникнут (Рис. 2.19 а). Если же трансляция t направленаперпендикулярно к элементу второго порядка, т.е. к плоскости (Рис. 2.19 б) или к оси 2(Рис. 2.19 в) либо 21, полученные наборы симметрически эквивалентных точек порождаюттакие же элементы R: один расположенный через трансляцию, другой – на ее середине.24Правило №1. Элемент симметрии порядка 2 переносится перпендикулярной трансляциейt, при этом такой же элемент возникает на середине трансляции.Это правило применимо для любых элементов симметрии 2-го порядка: как закрытых(показанных на рис. 2.19), так и родственных им открытых.(а)(б)(в)(г)Рисунок 2.19. Взаимодействие трансляций t (показаны красными стрелками) с элементамисимметрии 2-го порядка: (а) параллельными трансляции (новых элементов не возникает),(б, в) перпендикулярными к трансляции, (г) с центром инверсии.Центр инверсии1 взаимодействует с произвольно направленной трансляциейаналогично перпендикулярным элементам 2-го порядка: он переносится на t, а в точке t/2возникает новый центр инверсии (Рис.

2.19 г). В триклинных кристаллах из всех закрытыхопераций симметрии может присутствовать только инверсия. Это позволяет нампостроить графики пространственных групп триклинной сингонии Р1 и Р1.Элементарная ячейка триклинного кристалла (косоугольноый параллелепипед)изображена на Рис. 2.20 а. Начало координат в группе Р1 совмещают с одним из центровинверсии, которые находятся в вершинах ячейки, а также на серединах ее ребер (½, 0, 0),(½, 1, 0), … , в центрах всех граней (½, ½, 0), (½, 0, ½), …, (1, ½, ½), и в центре ячейки (½,½, ½).

Поскольку вершина параллелепипеда принадлежит восьми, ребро – четырем, агрань – двум соседним ячейкам, на одну элементарную ячейку триклинного кристалла вгруппе Р1 приходится восемь центров инверсии. Эти центры располагаются в четырехсистемах позиций, не связанных преобразованиями симметрии (так, все вершины ячейкисвязаны трансляциями, но центры в вершинах и на серединах ребер симметрическинезависимы, также независимы центры на серединах непараллельных ребер, и т.д.).(а)(б)(в)Рисунок 2.20.

(а) Расположение центров инверсий1 пространственной группы Р1 втриклинной элементарной ячейке (центр в положении ½ ½ ½ выделен цветом). (б)Косоугольная проекция ячейки: график пространственной группы Р1. (в) Графикпространственной группы Р 1.25В косоугольной проекции вдоль любого координатного направления«безразмерная» ячейка группы Р1 выглядит одинаково: это параллелограмм с центрамиинверсий, проектирующимися в вершины, на середины сторон и в центр фигуры (Рис.2.20 б). Поскольку элементы симметрии второго порядка всегда расположены черезполовины трансляций, на проекции это специально не отмечается. Группа Р 1 содержиттолько трансляции; ее график к любой координатной проекции – параллелограмм безкаких-либо дополнительных символов (Рис. 2.20 в).