Е.В. Кугушев - Курс лекций по классической механике, страница 2

Очевидно, r = R + ρ.ρ = ξeξ + ηeη + ζeζ . ξ, η и ζ — константы (B не движется относительно твёрдого тела). v A = Ṙ, v B = ṙ =Ṙ + ρ̇ = v A + ρ̇.−−→ρ̇ = ξ ėξ + η ėη + ζ ėζ = ξ[ω, eξ ] + η[ω, eη ] + ζ[ω, eζ ] = [ω, ξeξ + ηeη + ζeζ ] = [ω, ρ] = [ω, AB].Мы доказали формулу Эйлера:−−→v B = v A + [ω, AB].Заметим, что эта формула не зависит от выбора базиса eξ , eη , eζ .5Покажем, что вектор ω такой, что для любых A и B верна формула Эйлера, единствен. Пусть их два:−−→−−→−−→−−→v B = v A + [ω, AB], v B = v A + [ω1 , AB]. Отсюда для любого вектора AB [ω − ω1 , AB] = 0, поэтому ω = ω1 .Пример. Вращение вокруг неподвижной оси.Пусть ось l = OO1 — неподвижная.

Из формулы Эйлера получаем, что для двух точек A и B v A = v B тогда−−→и только тогда, когда AB k ω. Т.к. v O = v O1 = 0, ω k OO1 .−−→По формуле Эйлера для произвольной точки B получаем v B = [ω, OB]. В частности, если OB ⊥ ω (OB ⊥ l),−−→то v B = |ω||OB|τ , где τ — вектор, перпендикулярный как OB, так и l.В силу формулы для скорости движения по окружности ±|ω| = ϕ̇, то есть в данном случае |ω| и есть скоростьизменения угловой координаты (ω оправдывает название „угловая скорость”).1.2.3.

Распределение ускорений в твёрдом теле. Формула Ривальса−−→−−→−−→aB = v̇ B = v̇ A + [ω̇, AB] + [ω, (AB). ]. (AB). = ρ̇ = [ω, AB]. Получили формулу Ривальса:−−→aB = aA + [ω̇, AB] +| {z }угловоеускорение−−→[ω, [ω, AB]]|{z}центростремительноеускорениеПрименяя формулу „бац минус цаб”: [a, [b, c]] = bha, ci − cha, bi, получаем выражение для центростремитель−−→−−→−−→ного ускорения: ac = [ω, [ω, AB]] = ωhω, ABi − ABhω, ωi.1.2.4. Мгновенная ось винта при движении твёрдого телаПусть ω 6= 0.

Покажем, что существует O т.,ч. v O k ω. В этом случае назовём прямую l = {O+λω} мгновеннойосью винта (для любой B ∈ l v B = v O k ω: точки из l движутся вдоль этой прямой, а остальные (локально)−→совершают винтовое движение: v S = v O + [ω, OS]).−→Пусть такая точка существует. Тогда пусть S — произвольная точка твёрдого тела с OS ⊥ l. По формуле−→Эйлера v S = v O + [ω, OS]. Далее,−→−→ −→[ω, vS ] = [ω, v O ] +[ω, [ω, OS]] = ω hω, OSi −OS|ω|2 ,| {z }| {z }=0откуда=0−→ −[ω, vS ]OS =.|ω|2Теперь поступим так: зададим произвольно точку S в твёрдом теле и с помощью этой формулы определимточку O. Проведя выкладки в обратном порядке, получим требуемое: положим O такой, что−→[ω, vS ]OS = −.|ω|2−→Ясно, что OS ⊥ ω. Проверим, что O — та точка, которая нам нужна (т.е.

что v O k ω):−→[ω, [ω, vS ]]ωhω, vS i v S |ω|2hω, v S iv O = v S − [ω, OS] = v S +=v+−=ω k ω.S|ω|2|ω|2|ω|2|ω|2Из формулы Эйлера вытекает единственность оси винта. Действительно, пусть существуют две точки O′−−−→−−−→и O′′ со свойством v O′ k ω и v O′′ k ω. Тогда по формуле Эйлера v O′′ = v O′ + [ω, O′ O′′ ], откуда [ω, O′ O′′ ] =−−−→−−−→−−−→v O′′ −v O′ k ω. С другой стороны, [ω, O′ O′′ ] ⊥ ω, поэтому [ω, O′ O′′ ] = 0, то есть O′ O′′ k ω. Значит, l′ = {O′ +λω} ={O′′ + λω} = l′′ , что и требовалось.В данный момент времени произвольная точка S твёрдого тела совершает движение такое же, как точкавинта с осью l (вращение + поступательное движение).

Но сама ось l движется. В абсолютной системе координатона заметёт некоторую поверхность, называемую неподвижным аксоидом, а в относительной — подвижнымаксоидом.Частные случаи.1) Если v A = 0, то A ∈ l, т.к. v A = 0 k ω. Пример: качение без проскальзывания. Тело с границей ΣT T скользитпо поверхности Σ, соприкасаясь с ним в точке контакта P . Отсутствие проскальзывания (по определению; этомы ещё обсудим подробнее) означает, что v P = 0, то есть P ∈ l. В частности, если имеются 3 точки контакта,то они лежат на одной прямой (а именно, l).2) Если твёрдое тело вращается относительно неподвижной оси, то эта ось и есть ось винта.

В этом случаеаксоиды вырождаются в эту ось.61.2.5. Плоско-параллельное движение твёрдого телаДвижение называется плоско-параллельным (ППД), если существует плоскость Π такая, что для любойточки A твёрдого тела v A k Π. Обычно кинематику ППД рассматривают на плоскости.−−→−−→При ППД ω ⊥ Π: для всех A, B v B = v A + [ω, AB]; v A k Π, v B k Π, поэтому [ω, AB] k Π.

Если вдруг ω 6⊥ Π,−−→−−→возьмём AB неколлинеарным с ортопроекцией ω на Π, получаем, что [ω, AB] 6k Π.Существует винтовая ось l, перпендикулярная Π. Положим C = l ∩ Π. v C k Π, v C k ω, откуда v C = 0. Итак,если ω 6= 0, то существует такая точка C, что v C = 0 (мгновенный центр скоростей — определён только дляППД).При движении C описывает траекторию: в абсолютных координатах — неподвижную центроиду, в системекоординат твёрдого тела — подвижную центроиду. Вторая катится по первой.

В точке контакта C скоростьравна нулю, то есть это (по определению) качение без проскальзывания.−→−→−→Для произвольной точки A имеем v A = v C + [ω, CA] = [ω, CA], откуда v A ⊥ CA, то есть направление кцентру скоростей перпендикулярно скорости. Из этих соображений C легко построить: берём две точки A и B,находим их скорости и берём точку пересечения перпендикулярных им прямых.1.3. Относительное движение1.3.1.

Теорема о сложении скоростейOxyz — неподвижная (абсолютная) система координат, орты (ex , ey , ez ) не зависят от времени.O′ ξηζ — подвижная система координат, орты (eξ , eη , eζ ) зависят от времени.−−→−−→−→Пусть S — произвольная точка. Положим R = OO′ , ρ = O′ S, r = OS. Ясно, что R + ρ = r. Разложим ρ поортам подвижной системы координат: ρ = ξeξ + ηeη + ζeζ .Абсолютная скорость точки: v абс = ṙ (r = xex + yey + zez , ex , ey , ez = const).˙ ξ + η̇eη + ζ̇eζ .Относительная скорость точки (по определению): v отн = ξeПереносная скорость v пер — это скорость точки твёрдого тела, связанного с подвижной системой координат,которая в данный момент совпадает с S.По формуле Эйлера v пер = v O′ абс + [ω, ρ] = Ṙ + [ω, ρ].Теорема 1.1 (о сложении скоростей). v абс = v отн + v пер . Дифференцируем соотношение r = R + ρ по времени:v абс = ṙ = Ṙ + ρ̇ = v O′ абс + ξ ėξ + η ėη + ζ ėζ + ξ̇eξ + η̇eη + ζ̇eζ ={z}|=v отн= v O′ абс + ξ[ω, eξ ] + η[ω, eη ] + ζ[ω, eζ ] + v отн = v O′ абс + [ω, ρ] + v отн = v пер + v отн .1.3.2.

Теорема о сложении ускоренийАбсолютное ускорение: aабс = r̈ = ẍex + ÿey + z̈ez .¨ ξ + η̈eη + ζ̈eζ .Относительное ускорение: aотн = ξeПереносное ускорение aпер — это ускорение точки, в данный момент совпадающей с S и фиксированной вподвижной системе координат (ξ, η, ζ = const).Кориолисово ускорение: aкор = 2[ω, vотн ] (ω — угловая скорость подвижной системы координат как твёрдоготела).Теорема 1.2 (о сложении ускорений).aабс = aотн + aпер + aкорИз формулы Ривальса получаем:aпер = aO′ абс + [ω̇, ρ] + [ω, [ω, ρ]].Имеемr = R + ρ = R + ξeξ + ηeη + ζeζ .7Дифференцируем два раза по времени (многоточие обозначает слагаемые с η и ζ, аналогичные (выписанным)слагаемым с ξ):¨ ξ + . .

. = R̈ + ξ([ω, eξ ]). + . . . + 2ξ̇[ω, eξ ] + . . . + aотн =r̈ = R̈ + ξëξ + . . . + 2ξ̇ ėξ + . . . + ξe| {z }=aотн= R̈ + ξ[ω̇, eξ ] + . . . + ξ[ω, ėξ ] + . . . + 2[ω, vотн ] +aотн = R̈ + [ω̇, ρ] + [ω, [ω, ρ]] +aотн + aкор .|{z}| {z }=aкор=aпер. . . Далее была стандартная сказка про то, какой берег у реки обрывистый и почему это происходит.1.3.3. Ускорение в полярных координатахТочка движется в плоскости. На плоскости задана система координат Oxy. А мы рассмотрим полярныекоординаты r и ϕ.

В каждой точке движения нашей кривой задан локальный базис er , eϕ , где er — единичныйвектор, направленный по радиусу, eϕ ⊥ er . Наша цель — выразить ускорение в терминах r, ϕ и их производных.Мы воспользуемся теоремой о сложении ускорений. er , eϕ — базис подвижной системы координат (с центромв том же начале координат). Эта система координат вращается вокруг оси Oz: ω = ϕ̇ez . Имеем: aотн = r̈er (вбазисе er , eϕ точка имеет координаты (r, 0)); aпер = −ϕ̇2 rer + ϕ̈reϕ (это ускорение движения по окружности:точка, закреплённая на подвижной системе координат, как раз совершает такое движение); v отн = ṙer , aкор =2[ω, v отн ] = 2ϕ̇ṙ[ez , er ] = ϕ̇ṙeϕ . По теореме о сложении ускоренийaабс = aотн + aпер + aкор = r̈er − ϕ̇2 rer + ϕ̈reϕ + 2ϕ̇ṙeϕ .Упрощая, получаем формулу для ускорения в полярных координатах :aабс = (r̈ − ϕ̇2 r)er + (ϕ̈r + 2ϕ̇ṙ)eϕ .1.3.4.

Теорема о сложении угловых скоростейПусть у нас есть неподвижная система координат Oxyz, подвижная система координат O1 ξηζ и, наконец,твёрдое тело с вмороженной в него системой координат O2 αβγ (итого три системы координат: I, II и III).Нас интересует угловая скорость твёрдого тела, то есть угловая скорость III по отношению к I: ωабс = ωIII/I .Известны: относительная угловая скорость ωотн = ωIII/II (наблюдаем твёрдое тело в системе II) и переноснаяугловая скорость ωпер = ωII/I (скорость твёрдого тела, в данный момент совпадающего с нашим и неподвижнымотносительно системы II).Теорема 1.3 (о сложении угловых скоростей).