П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 16

Это явствует сразу, если вместо и!йр — написать — — откуда видно, что размерность выражении ! Нл ат р дт относительно р равна нулю. лнллиз глзмвгноствй зо Выражения такого рода, в которых фигурирует логарифм от размерной величины, обычны в термодинамике и часто появляются при применении уравнений идеального газа.

Наличие этих логарифмических членов, мне кажется, трудно объяснимо для тех, кто склонен рассматривать фор,улу размерности, как выражение конкретной физической операции над конкретным физическим явлением. Отсутствие противоречия между такими выражениями и П-теоремой видно из преобразования †. †. . Наклон касательной 1 ар р" ар 1 ар — будет одной из переменных, через которые выряжается произведение без размерности, и этот случай не составляет какого-либо исключения. Наша теорема единственно утверждает, что результаты могут быть выражены в виде произведений без размерностей, У нас иет никаких оснований предполагать, чтобы человек, получивший формулу, сразу написал ее в таком виде, чтобы это достигалось без некоторой перегруппировки членов.

Закончим главу несколькими примерами из области электричества. Прежде всего рассмотрим электрическую цепь с емкостью и самоиндукцией; в ней возбуждается электрический разряд. Как зависит период разряда от постоянных пепит Решение этой задачи получается из подробного рассмотрения уравнений электрической цепи, написанных в обычной форме в электромагнитных единицах. В уравнении не учитываются электростатические действия тока и взаимодействия с магнитамн.

.Уравнение имеет такой вид: Т.—,+~" —.=О, ш г тат аг При установлении основных единиц лля этого уравнения, очевидно, достаточно рассмотреть только три величины, именно количество электричества, время и энергию. Ток определяется как количество электричества на единицу времени, коэффициент самоиндукцни определяется тем что при умножения гт Ф на —, он дает энергию; аналогично емкость, деленная на квадрат заряда, дает энергию. Приступаем к обычному анализу; пгимегы лнализл елзмвгноствй Тлали ил 1ч. Формула равмерноеямт с» с»т С» гТЕ (»гŠ— ! Т Символ гтавеание величины Количество электричества Тох .

Коэффициент свмоинаувции Емкость . Период Период колебания должен, очевидно, зависеть от констант цепи и начального заряда конденсатора. Иначе говоря, нужно иметь связь между тт, Т., с и 8. Нас интересует 1, поэтом» попробуем найти произведение без размерности такого вида: Ы С т»". Сразу получаем показатели: 1, 1.

а= — — й= — — Т=О, 2' ' 2' Зто правильно, так как приводит к прежнему ревультату, если положить г постоянной. Но такое решение дает меньше сведений чем прежнее. Теперь рассмотрим одну задачу нз электростатикн, Концепция среды, введенная Фарадеем, позволяет считать среду местом 6 Вриижмеа. откуда т = соп51 у г.с ° Это, разумеется, то же решение, которое мы нашли бы, действительно решая уравнение цепи, за исключением неопределенного значения постоянной нашего решения.

Заметим, что начальный заряд в решение не входит, Зта задача, очевидно, является электрическим аналогом механической задачи о маятнике. Полезно отметить еше раз, что для применения анализа размерностей с пользой и в этом случзе потребовались некоторые сведения о характере решения, Новичок, приступая к этой задаче впервые, пытался бы искать соотношение размерности времени с постоянными цепи, мгновенным током и зарядом в конденсаторе. Из таблицы переменных он нашел бы, что — также Я имеет размерность времени, н его решение имело бы такую форму; пРимеРы лиллизл РлзмеРностей зз лнллиз Рлзмегностзй Тлели цл 15, Формула размерности Р'Ь1 1тазеание аеличины Символ Зарез .

... Сила поля . Плотность энергии . Мы ищем связь между Е и и. Вообще говоря, такой связи не должно бы существовать, потому, что у нас имеются две основных величины при двух переменных. Но при специальных условиях этой задачи такая связь есе же существует, и результат, как явствует сразу, выражается так: и =сопз1 Е'. 1 В электростатике доказывается, что постоянная равна;,. Если бы вместо плотности энергии в пустом пространстве мы пожелали бы найти плотность энергии е среде с диэлектрической постоянной е, то приведенный результат изменился бы вследствие появления нового множителя, ие,оторой произвольной функции от з.

Анализ размерностей ие может раскрыть вил основных свойств электростатического поля, причем условия в среде в любой момент однозначно определяются электрическим вектором в этой точке. Найдем связь между пространственной плотностью энергии в электростатическом поле и силой поля. Поскольку эта задача статическая, явление может быть описано при помощи двух основных единиц — силы и длины.

Далее уравнения поля в электростатике не содержат размерных постоянных, и скорость света не должна входить в результат, как это наоборот было в задаче о массе сферически распреде. ленного заряда. На основе двух елиниц, силы и длины мы можем ввести следующие определения. Единица электростатического заряда есть заряд, который на расстоянии, равном единице от такого же заряда в пустом пространстве, проявляет силу, равную единице. Электрический вектор, есть вектор, который при умножении на заряд дает силу, действующую иа зарял.

Диэлектрическая постоянная есть отношение силы между двумя зарядами соответственно в пустом пространстве и в рассматриваемой среде. Размерность диэлектрической постоянной очевиано равна нулю. Размерность энергии при этой системе единиц разумеется равна силе, умноженной на расстояние. Формулируем теперь задачу: 1 этой функции. Из других источников мы знаем что функция равна самой диэлектрической постоянной, Эта задача поучительна тем, что показывает разнообразие способов, которыми могут быть выбраны основные единицы, Г!оскольку задача может быть сведена к формулировке в механических терминах (определение электрических величин даются непосредственно через механические везсичины), мы можем поль.

зоваться обычными тремя механическими единицами, как основными и писать формулы размерности в терминах массы, длины и времени, В таком случае, мы получили бы такую формулировку: Тлели ца 16. Формула размерности М'11. ЛТ г М1 1Т Символ ггазеание ветсчины Заряд . Сиза поля ..., Плотность энергии . Е и Снова ипгем соотношения между плотностью энергии и силой поля. Теперь у нас две переменные и три основных елиницы и по общим правилам произвеление без размерности невозможно, а следовательно, невозможно и искомое соотношение. Олнако, связь между показателями такова, что произведение без размерности осуществлвется, оно такое же, как н раньше. Новая формулировка в других основных единицах не изменяет результата, как этого и следовало ожидать.

Многие будут критиковать написанные формулы размерностей лля электростатических величин на том основании, что диэлек. тричесная постоянная пустого пространства прои~вольно положена равной единице, хотя мы ничего не знаем о ее природе. Вследствие этого мы опускаем некоторые размерности, которые существенны для полной постановки проблемы.

Такая точка зрения не собьет читателя этой книги, усвоившего, что в размерностях нет ничего абсолютного, что размерности могут быть любыии, лишь бы они согласовались с опрелелениями, соответствующими экспериментальным фактам. Разберем этот вопрос, однако, на конкретнои примере, включающем диэлектрическую постоанную Пустого пространства в явной форме как новый вил основной величины, которую нельзя выразить через массу ллнну, и время. Обозначим ее через д, применяя ту же букву и в формуле размерности, 84 аналнэ РазмеРностей 85 НРнмеРЫ лнллнза РазмяРностей Единица влектростатнческого заряда определятся теперь уравнением: е' сила = — . лг' ' Сила поля определится, как и раньше, выражением еЕ = сила.

Таблица !7. Формула размерности М "1. ЬТ гй !' МьЬ "Т гк '' МЬ гТ т Символ Тлазеание величины Заряд... Сила поля .... Плотность энергии . Днэлектрнческая постоянная пустого пространства . . .. . . . .. . е Е и Снова составляем произведение без размерности из величин Г, и, Й. Получаем результат: и=сопя! АЕз. Это сводится к прежнему выводу, если положить й = 1, как и делалось в предыдущей формулировке задачи. На первый взгляд новая форма кажется более общей, так как она содер.

жит множитель и. Однако, этот множитель ничего нового не говорит о природе постоянной, он показывает только, как меняется формальное выражение результата прн изменении определений, положенных в основу нашей системы уравнений. Включение множителя й в результат н в определения не имеет позтому лля нас преимуществ н не может нх иметь, если только наши соображения правильны.

Очень много писалось об „истинной" размерности й н было высказано не мало догадок о различных физических моделях механической структуры эфира, вытекающих из тех или иных предположений об „истинной" размерности. Но, насколько я осведомлен, ннкем ннкогдд не было предложено этим методом результата, который привел бы к открытию новых фактов, хотя н Если формулировать задачу в терминах этих основных вели.