П.У. Бриджмен - Анализ размерностей (1934), страница 14

е. массы. При 'такои способе решения мы могли бы связать о и ат в одну вели- в 69 ПРИМЕРЫ АНАЛИЗ* РАЗМЕРНОСТЕЙ ТАзлнцА 9. АнАлиз РАзмеРнОстей Формула размерности Название величины Символ Время колебания . Масса на конце пружины . Упругость пружины Размерная постоянная снвы . .. Размерная постоянная скорости . Т М Р~ — 1 ЕМ ~ТЧ ' ТЧ г=сопз1 з/ Г (условие лля М) Е в Т Р Ч х — Т=Π†Р†у+В+1=0 ~+Т=0 Т+а-0 чину и имели бы пело только с четырьмя величинами и тремя основными единицами, Мы получили бы прн этом прежний результат.

Таким образом, пользуясь специальнымн данными, каса. ющимися задачи, часто можно получить более детальные свелення, чем при помощи общего анализа Если выбрать массу, как одну нз переменных, результат принимает форму: Еще раз мы получаем произведение без размерности с числом множителей, меньшим нормального, Рассмотрим теперь задачу, иллюстрирующую неизменность результата при увеличении числа единиц, если одновременно увеличивается число размерных постоянных, Возьмем ту же задачу, как и раньше, с тем рааличием, что теперь мы будем говорить просто о массе на конце пружины, не детализируя ее как произведение плотности на объем.

Переменными будут масса ай время колебания г и упругость пружины л. Ускорение тяжести можно опустить, так как мы уже видели, что оно не влияет на результат. Возьмем пять основных единкц, выбрав помимо обычных массы, длины и времени еще силу и скорость. Задача — очевидно механическая, и взаимоотношение между частями системы должно определяться экспериментальным законом пропорциональности силы массе, умноженной на ускоренке. Формулируя уравнения движения, мы должны, следовательно, ввести фактор пропорциональности, который появится в виде новой размерной постоянной. Этот фактор связывает силу, массу и ускорение. Но ускорение должно быть определено по-новому, если мы пользуемся скоростью, как основной единицей, его размерность будет ЧТ .

Уравнение движения, написанное так, выражает связь между силой, скоростью н временем. Но сила связана со смещением через упругую постоян. н> ю и для решения уравнения требуется соотношение между смещением, скоростью и временем. Разумеется можно исходить нз экспериментального факта наличия пропорциональности между скоростью и отношением путн ко времени. В окончагельном результате фактор пропорциональности появится в виде размерной постоянной. Теперь наша таблица величин закончена, она состоит нз трех физических переменных и двух размерных постоянных.

. Здесь Р— размерный символ силы, измеряемой в единицах силы и Ч вЂ” размерный символ скорости. формулы размерности составлены по обычным правилам, можно отметить только, что упругость пружины определена как сила, проявляемая пружиной при растяжении на единицу. Мы должны теперь найти произведения без размерности, составленные из этих пяти переменных. Прежде всего замечаем, что у нас пять переменных прн пяти основных единицах, т. е.

вообще говоря, не может быть произведения без размерности. Можно убедиться, однако, составив детерминант показателей формул размерности, что он равен нулю, т. е. в данном частном случае существует произведение без размерности с числом множителей меньшим нормального. Разумеется, мы знали об этом заранее, на основании предшествующего анализа. Как и прежде, нас наиболее интересует величина Г, и мы выписываем проиввеление без размерности в такой форме: г еп' аз уч Ов Налагая условие отсутствия размерности, находим: Решая эти уравнения, получаем: 2' ' 2' Т 2' 2' Произведение без размерности принимает вид: гт я у о ПРимеРМ АнАлизА РАзмеРностей Анализ РАзмеРностей откуда окончательно ТАБлицА 1О.

Формула размериости 1Т М! -З М — ! Р1 гг Вы — ! Название Реличины Символ Скорость падения Диаметр сферы Плотность сферы Плотность жалкости . Вязкость жндиостн . Ускорение силы тяжести г=сопз! 1/ 'л.ги, а Если положить размерные постоянные у и и равными еаи. нице, как зто имеет место в обычной механической системе единиц, мы получим прежний результат. Хотя этот пример не дал новых результатов, но он поучителен тем, что показывает допустимость любой системы основных еди. ниц при условии введения соответствующих размерных посто.

янных. Теперь рассмотрим задачу, в которой выгодно рассматривать силу, как первичную величину. Это — залача Стокса о маленькой сфере, падающей под действием тяжести в вязкой жидкости. Сфера настолько мала, что движение всюду медленное, и нигде в жндкосги не возникает турбулентности. Элементы, с которыми приходится иметь дело в этой задаче, это — скорость падения, плотность сферы, диаметр сферы, плотность жидкости, вязкость жидкости и ускорение силы тяжести.

Задача, очевидно, механьческая и, применяя обычные механические елиницы, мы не будем иметь размерных постоянных. Мы замечаем, однако, что задача для механики несколько необычная. Движение медленное н скорость постоянная, силы, действующие на сферу и жидкость, всюду уравновешиваются силами, вызываемыми вязкостью жидкости, т. е., хотя мы имеем дело с движением, однако, задача относится к случаю неускоренного движения, когла силы всюду чравновешиваются.

Поэтому, по существу, задача — статическая и, разрешая ее, мы не обязаны пользоваться фактом пропорциональности силы произведению массы на ускорение. Мы можем рассматривать, стало быть, в этой задаче силу, как первичную величину, не вводя компенсирующей размерной постоянной. Переходим к анализу: Формула размерности вязкости получается непосрелственно нз ее определения как силы на единицу площади и на единицу гралиента скорости.

Ускорение силы тяжести входит с указанной размерностью, потому что в уравнениях движения, очевидно, не найлет отражения ускорнтельный характер действия тяжести, и войдет только сила, проявляемая тяжестью на единицу массы. Мы имеем теперь 6 переменных и 4 основных единицы. Слеговательно существуют два произведения без размерно:тн. Олио а, из них сразу очевидно и равно —.". Изостаю!цихсявеличинмы особо заинтересованы в скорости о, Для получения произведения без размерности мы должны только комбинировать ее с че.

тырьмя другими величинами. Выберем В, с!!, и и и и составим произведение в форме: П,Э !Г! !А' Сразу видно, что показатели равны: и= — 2' 3= — 1! А =1; 8= — 1 и про !введения без рззмерности принимают зил д! пй а!! ил и Окончательное решение таково: П' Д! й ~(4) Функцияу неопределенна, и мы не можем сказать, как зависит результат от плотностей сферы и жидкости, но мы видим, что скорость падения пропорциональна квадрату диаметра сферы, ускорению силы тяжести и обратно пропорциональна вязьостн жидкости. Эта задача, разумеется, давно решена методами гндродинамики, причем ответ имеет вид(ср. напр. М!1!1Иап, Р1!уз. Кеч.

2, 110, 1913): Точное решение получается из более общего, если положить функцию / равной — ! 1 — — р 8 ! а'ч! 9 ! й1,р Если бы мы решали эту задачу с обычнымн мехадическимн единицами, в которых сила определена, как масса, умноженная на ускорение, мы имели бы вместо двух три произведения без АНАЛИЗ РлдМЕРИОСГЕй ТАБлицА 11.

Формула ралмериоелги МТ Символ Нале:иие величины ! сила Л Жесткость ! †) !,прогиб) Длина, . Ширина.... Высота Модуль Юнга Модуль сдвига 8 ь Е ! !Т м!. !т Имеются б переменных и три основных елиницы, Соответ. огненно общему правилу должно быть три произведения безраэмерности. Онн могут быть составлены сразу в результате простого рассмотрения: размерности, и окончательный результат выразился бы в такой форме: о = Ь 9 ! ( а' )л Егза, И Конечно по такому результату нельзя было бы сказать ничего о влиянии на скорость каждого злемента з отдельности, так как все элементы входят аргументами неопределенной функции. Есть много залач, в которых конкретные добавочные сведения о природе физической сисгемы тэк пополняют' результаты анализа размерностей, что может быть получена более опрелеленная форма решения, чем на основе олного только анализа размерностей, и несомненно никто нам не запрещает комбинировать анализ размерностей с другими данными, имеющимися в нашем распоряжении.

В виде простого примера рассмотрим вопрос о прогибе балки. Это задача из теории упругости. Попытаемся найти как зависит „жесткость" балки от ее размеров и других величин. Уравнения упругое!и†частный случай уравнений обычной механики, этим определяется механическая система единиц. Уравнения упругости, из которых может быть получено решение, лолжны включать в себе постоянные упругости материала. Если материал изотропный, то войдут две упругие постоянные, каковыми можно выбрать модуль Юнга и модуль сдвига, Приступаем к анализу.