Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 15

Togda v silu|x(t′ ) − x(t)| = |x̃(τ̃ (t′ )) − x̃(τ̃ (t))|≤C̃|t̃(τ̃ (t′ )) − t̃(τ̃ (t))| = C̃|t′ − t|Lipxicevostь funkcii x(t) dokazana.Pustь ∆′ ⊂ [τ0 , τ1 ] - kako-nibudь otrezok postonstva monotonno funkciit̃(τ ) i pustь t̃(τ ) = t′ ∀τ ∈ ∆′ , t′ ∈ E0 . Togda soglasno (23) x̃(t) postonna na∆′ . Sledovatelьno, x(t′ ) = x̃(τ (t′ )) ne zavisit ot vybora znaqeni τ̃ (t′ ) ∈ ∆′ .Znaqit, na E0 funkci x(t) opredelena odnoznaqno. To жe verno na E+ . Znaqit,x(t) ne zavisit ot vybora τ̃ (t) na vsem [t0 , t1 ].114Dokaжem teperь, qto x(t̃(τ )) = x̃(τ ) ∀τ ∈ [t0 , t1 ]. Esli τ ∈ [τ0 , τ1 ] takovo,qto t̃(τ ) ∈ E+ , to τ̃ (t̃(τ )) = τ i togda x(t̃(τ )) = x̃(τ̃ (t̃(τ ))) = x̃(τ ).Esli жe τ ∈ [τ0 , τ1 ] takovo, qto t̃(τ ) ∈ E0 , to toqki τ i τ̃ (t̃(τ )) prinadleжatodnomu i tomu жe otrezku ∆′ postonstva funkcii t̃(τ ) i togda v зtih toqkahfunkci x̃ prinimaet ravnye znaqeni.

Sledovatelьno, ravenstvo x(t̃(τ )) =x̃(τ̃ (t̃(τ ))) = x̃(τ ). snova imeet mesto. Znaqit, x(t̃(τ )) = x̃(τ ) ∀τ .Dokaжem poslednee utverжdenie lemmy. Soglasno lemme 2 funkci ϕ(t) =ϕ̃(τ̃ (t)) vlets ograniqenno izmerimo i ne zavisit ot vybora τ̃ (t). Pokaжem,dqto dtx(t) = ϕ(t) p.v. na [t0 , t1 ].Pustь M estь mnoжestvo vseh toqek τ ∈ [τ0 , τ1 ] takih, qto suwestvutdx̃(τ ), dτd t̃(τ ) i vypolneno ravenstvodτddx̃(τ ) =t̃(τ )ϕ̃(τ )dτdτMnoжestvo M imeet polnu meru v [τ0 , τ1 ]. Pustь M+ estь mnoжestvo vsehτ ∈ M takih, qto dτd t̃(τ ) > 0 Poskolьku proizvodna lipxicevo funkciiestь izmerima funkci, to M+ - izmerimoe mnoжestvo. Soglasno lemme 1mnoжestvo t̃(M+ ) izmerimo imest̃(M+ ) =ZM+Zdt̃(τ ) dτ =dτ[τ0 ,τ1 ]dt̃(τ ) dτ = t̃(τ1 ) − t̃(τ0 ) = t1 − t0 .dτTakim obrazom, t̃(M+ ) imeet polnu meru v [t0 , t1 ].Otmetim, qto t̃(M+ ) ⊂ E+ , poskolьku esli τ takovo, qto t̃(τ ) ∈ E0 idsuwestvuet dτt̃(τ ), to oqevidno dτd t̃(τ ) = 0, ibo τ prinadleжit otrezku postonstvafunkcii t̃(τ ).dPustь Ex - mnoжestvo vseh t ∈ [t0 , t1 ], dl kotoryh suwestvuet dtx(t).Togda Ex - mnoжestvo polno mery v [t0 , t1 ], a, znaqit, i t̃(M+ ) ∩ Ex imeet v[t0 , t1 ] polnu meru.Pustь t∗ ∈ t̃(M+ ) ∩ Ex .

Togda t∗ ∈ E+ i sledovatelьno, suwestvuetedinstvenna toqka τ∗ taka, qto t̃(τ∗ ) = t∗ , priqem, τ∗ = τ̃ (t∗ ). Rassmotrimfunkcix̃(τ ) = x(t̃(τ ))Prodifferenciruem ee kak sloжnu funkci v toqkedddx̃(τ∗ ) =x(t∗ )t̃(τ∗ )dτdtdτ115(24)τ∗ :Proizvodnye suwestvut v silu vybora toqkisilu (24). Poskolьku τ∗ ∈ M+ , todx̃dt̃(τ∗ ) =(τ∗ )ϕ̃(τ∗ ),dτdττ∗ , a ravenstvo imeet mesto vdt̃(τ∗ ) > 0.dτOtsda i iz predyduwego ravenstva vytekaet, qtodx(t∗ ) = ϕ̃(τ∗ ).dtNoϕ̃(τ∗ ) = ϕ̃(τ̃ (t∗ )) = ϕ(t∗ ).

Sledovatelьno,dx(t∗ ) = ϕ(t∗ ).dtЗto ravenstvo imeet mesto nadokazana. ✷t̃(M+ ) ∩ Ex , a znaqit, p.v. na [t0 , t1 ] . Lemmaũ(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rm - ograniqenna izmerima funkci taka, qtoũ(τ ) ∈ U p.v. na [τ0 , τ1 ]Togda u(t) = ũ(τ̃ (t)) - ograniqenna izmerima funkci taka, qto u(t) ∈U p.v. na [t0 , t1 ]4. Pustь: Poloжim MU = {τ ∈ [τ0 , τ1 ] | ũ(τ ) ∈ U}. Togda MU - mnoжestvo polno mery v [τ0 , τ1 ] i, sledovatelьno, t̃(MU ) - mnoжestvo polno mery v [t0 , t1 ].Togda i E+ ∩ t̃(MU ) imeet polnu meru v [t0 , t1 ].Pustь t ∈ E+ ∩ t̃(MU ).

Togda τ = τ̃ (t) ∈ MU i, sledovatelьno, ũ(τ ) ∈ U .Znaqit, u(t) = ũ(τ̃ (t)) = ũ(τ ) ∈ U . Itak, u(t) ∈ U na E+ ∩ t̃(MU ), a znaqit,p.v. na [t0 , t1 ]. Izmerimostь i ograniqennostь ũ(τ ) byli dokazany ranee (sm.lemmu 1). ✷4. Dokazatelьstvo teoremy ob зkvivalentnosti zadaq pri v -zamene.Sledstvie iz teoremy зkvivalentnosti. My naqnem s dokazatelьstva teoremy.: Itak, pustьt̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ ), ṽ(τ ), τ ∈ [τ0 , τ1 ](25)(x(t), u(t) | t ∈ [t0 , t1 ])(26)- dopustima traektori v zadaqe B ′ , priqem t̃(τ0 ) < t̃(τ1 ).

Poloжim t0 ıt̃(τ0 ), t1 = t̃(τ1 ) i pustь τ̃ (t) : [t0 , t1 ] → [τ0 , τ1 ] - prava obratna k t̃(τ ).Poloжim u(t) = ũ(τ̃ (t)), x(t) = x̃(τ̃ (t)). Pokaжem, qto116- dopustima traektori v zadaqe B , priqem, sootvetstvuwie koncevye znaqeniu traektori sovpadat, a, znaqit, sovpadat i znaqeni funkci æ0 , æi , K .1.

Soglasno lemmam 2 i 4 u(t) - ograniqenna izmerima funkci taka,qto u(t) ∈ U p.v. na [t0 , t1 ].2. Soglasno lemme 3 x(t) - lipxiceva funkci, priqem,p = (t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) = (t̃(τ0 ), x̃(τ0 ), t̃(τ1 ), x̃(τ1 )).Znaqit, p ∈ P i znaqeni3. Pokaжem, qtoæ0 , æi , K ne ments.x(t) = f (t, x(t), u(t))p.v. na(27)(28)[t0 , t1 ]. Destvitelьno,dx̃(τ ) = ṽ(τ )f (t̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ ))dτ[τ0 , τ1 ], poskolьku traektori (25) dopustima v zadaqe B ′ . Funkciϕ̃(τ ) = f (t̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ )) vlets ograniqenno i izmerimo.

Pri зtomp.v. naϕ(t) = ϕ̃(τ̃ (t)) = f (t̃(τ̃ (t)), x̃(τ̃ (t)), ũ(τ̃ (t))) = f (t, x(t), u(t)).Soglasno lemme 3 p.v. na [t0 , t1 ] imeet mesto ravenstvo (28).4) Nakonec, poskolьku traektori (25) dopustima v zadaqe B ′ , to suwestvuetkompakt C ⊂ Q tako, qto (t̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ )) ∈ C p.v. na [τ0 , τ1 ]. Otsda v silulemmy 4 vytekaet, qto(t̃(τ̃ (t)), x̃(t̃(t)), ũ(t̃(t))) = (t, x(t), u(t)) ∈ Cp.v. na [t0 , t1 ].Teorema ob зkvivalentnosti polnostь dokazana.✷Itak, kaжdo dopustimo traektorii zadaqi B ′ (s ṽ(·) 6= 0) sootvetstvuetdopustima traektori v zadaqe B , no зto sootvetstvie ne vlets vzaimnoodnoznaqnym. Dadim sleduwee opredelenie.= (x(t), u(t)|t ∈ [t0 , t1 ]) - dopustima traektori zadaqi B . Traektoriγ ′ = (t̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ ), ṽ(τ )|τ ∈ [τ0 , τ1 ]) nazovem proobrazom traektorii γ , esliona dopustima v zadaqe B ′ i pri зtom: Pustь γt0 = t̃(τ0 ),t1 = t̃(τ1 ),117x(t) = x̃(τ̃ (t)),gdeu(t) = ũ(τ̃ (t)).τ̃ (t) - prava obratna k funkcii t̃(τ ).Iz teoremy ob зkvivalentnosti vytekaet sleduwa.

EsliB′.γ̂ estь rexenie zadaqi B , to lbo ee proobraz γ̂ ′ estь rexenie zadaqi: Pustь naxlasь traektori γ ′ , kotora dostavlet funkcionalu zadaqi B ′znaqenie menьxee, qem γ̂ ′ . Togda po teoreme ob зkvivalentnosti naxlasь bydopustima traektori γ v zadaqe B s tem жe znaqeniem funkcionala J , qto idl γ ′ , a znaqit s menьxim, qem dl γ̂ , poskolьku γ̂ i γ̂ ′ soobwat funkcionaluJ ravnye znaqeni.

Znaqit γ̂ ne vlets rexeniem zadaqi B . ✷My skaжem, qto traektori γ0 v zadaqe B globalьno stacionarna, eslikaжdy ee proobraz vlets stacionarno traektorie zadaqi B ′ . sno,qto globalьna stacionarnostь estь neobhodimoe uslovie minimuma v zadaqeB . My poluqim princip maksimuma v zadaqe B kak sledstvie iz usloviglobalьno stacionarnosti.118Lekcii 14-16.5. Prisoedinenna zadaqaB θ . Pustь traektoriγ̂ = (x̂(t), û(t) | t ∈ [tˆ0 , tˆ1 ])estь rexenie zadaqi B (i, sledovatelьno, ona dopustima).

S ne my svжemmnoжestvo prisoedinennyh zadaq B θ (novyh), i v kaжdo prisoedinenno zadaqeB θ vozniknet nova traektori, dostavlwa minimum.Zdesь θ – indeks zadaqi, opredelenny sleduwim obrazom:θ = {t1 , ..., tN , u1, ..., uN }t.e.θ – nabor znaqeni vremeni i upravleni, priqem, vypolneny uslovi:t̂0 ≤t1 ≤...≤tN ≤t̂1 ;gdeui ∈ U,(ti , x̂(ti ), ui ) ∈ Q,i = 1, ..., N,N = N(θ)– zavisit ot θ.Nezavisima peremenna v prisoedinenno zadaqe B θ oboznaqaets qerezτ , priqem τ ∈ [τ0 , τ1 ], gde koncy otrezka τ0 i τ1 fiksirovany i opredelenyravenstvami: τ0 = t̂0 , τ1 = τ1 (θ) = t̂1 + N .

Takim obrazom, pravy konecτ1 zavisit ot θ. My ne budem vski raz podqerkivatь zavisimostь ot θsootvetstvuwih veliqin, qtoby ne delatь oboznaqeni gromozdkimi.Otrezok [τ0 , τ1 ] budem rassmatrivatь kak rezulьtat primeneni sleduweprocedury: berem otrezok [t̂0 , t̂1 ] i v toqkah t1 , ..., tN vstavlem otrezki ediniqnodliny, sdvigasь kaжdy raz na edinicu vpravo.

V rezulьtate poluqaem otrezok[τ0 , τ1 ].119Poloжim∆1 = [t1 , t1 + 1],∆2 = [t2 + 1, t2 + 2],....................∆N = [tN + (N − 1), tN + N],M0 =NSi=1∆i , gde ∆i = [ti + (i − 1), ti + i].Itak, M0 sostoit iz koneqnogo qisla neperesekawihs otrezkov.Pustь M+ = (τ0 , τ1 )\M0 .Togda M+ sostoit iz koneqnogo qisla neperesekawihs intervalov.Opredelim funkciθv (τ ) =(i funkciθτ ∈ M0 ,τ ∈ M+ ,0,1,t (τ ) = t̂0 +Zτv θ (s)ds,τ0t.e.tθ opredelets uslovimi:dtθ (τ )= v θ (τ ),dτtθ (τ0 ) = t̂0(hot τ0 i t̂0 sovpadat, nam udobnee pisatь imenno tak).Togda tθ (τ1 ) = t̂1 .Takim obrazom, perehod ot t k τ estь ”zamena vremeni”, ili v-zamena, opredelema funkcie v θ (τ ).