Главная » Все файлы » Просмотр файлов из архивов » PDF-файлы » Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению

Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 14

PDF-файл Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению, страница 14 Вариационное исчисление (53317): Лекции - 7 семестрОсмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению: Вариационное исчисление - PDF, страница 14 (53317) - СтудИзба2019-09-18СтудИзба

Описание файла

PDF-файл из архива "Осмоловский Н.П. - Лекции по вариационному исчислению и оптимальному управлению", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "вариационное исчисление" из 7 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .

Просмотр PDF-файла онлайн

Текст 14 страницы из PDF

Зti zadaqi зkvivalentny v sleduwem smysle.зkvivalentnosti (Dubovicki i Miltin). Pustьt̃(τ ), x̃(τ ), ũ(τ ), ṽ(τ ), τ ∈ [τ0 , τ1 ]– dopustima traektori v zadaqe B ′ , priqem t̃(τ1 ) > t̃(τ0 ).Pustь τ = τ̃ (t) – proizvolьna funkci taka, qto t̃(τ̃ (t)) = t dl vseht ∈ [t0 , t1 ], gde t0 = t̃(τ0 ), t1 = t̃(τ1 ). (Takim obrazom, pri kaжdom t veliqinaτ̃ (t) estь proizvolьny korenь uravnenni τ̃ (t) = t).Poloжimx(t) = x̃(τ̃ (t)),u(t) = ũ(τ̃ (t)),t ∈ [t0 , t1 ].u(t) : [t0 .t1 ] → Rm – ograniqenna izmerima funkci,x(t) : [t0 , t1 ] → Rn – lipxiceva funkci, a traektoriTogda(x(t), u(t) | t ∈ [t0 , t1 ])vlets dopustimo v zadaqePri зtomB.(t0 , x(t0 ), t1 , x(t1 )) = (t̃(τ0 ), x̃(τ0 ), t̃(τ1 ), x̃(τ1 )),i, sledovatelьno,æi (i = 0, ..., k) i K ne ments.Dokazatelьstvo зto teoremy nosit tehniqeski harakter i opiraets nard vspomogatelьnyh utverжdeni.3. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih.

Itak, pustь t̃(τ ) :[τ0 , τ1 ] → [t0 , t1 ] – monotonno neubyvawa funkci, udovletvorwa usloviLipxica na [τ0 , τ1 ], gde τ0 < τ1 , t0 < t1 , t̃(τ0 ) = t0 , t̃(τ1 ) = t1 i, sledovatelьno,t̃(τ ) otobraжaet [τ0 , τ1 ] na [t0 , t1 ].106Pustьdt̃(τ )= ṽ(τ ).dτ(8)ṽ(τ )≥0, ṽ(·) ∈ L∞ ([τ0 , τ1 ]).(9)C = kṽkL∞ .(10)TogdaPoloжimTogda dl lbyhτ ′ , τ ′′ , τ0≤τ ′ < τ ′′≤τ1 imeem:′′′t̃(τ ) − t̃(τ ) =Zτ ′′τ′ṽ(τ )dτ ≤C(τ ′′ − τ ′ ).(11)Sledovatelьno, C > 0 – konstanta Lipxica funkcii t̃(τ ).Poskolьku funkci t̃(τ ) nepreryvna i monotonno neubyvaet, to obrazlbogo otrezka ∆′ = [τ ′ , τ ′′ ] ⊂ [τ0 , τ1 ] estь otrezok (ili toqka) [t̃(τ ′ ), t̃(τ ′′ )]v [t0 , t1 ]. Pri зtom v silu (11)mes t̃(∆′ )≤C mes ∆′ .: Pustь(12)A ⊂ [τ0 , τ1 ] – izmerimoe mnoжestvo mery Lebega mes A.

Togdames∗ (t̃(A))≤C · mes(A),gdemes∗ (t̃(A)) – vnexn mera Lebega obraza t̃(A).: Dl lbogo ε > 0 suwestvuet pokrytie mnoжestva A ne bolee qemSsqetno sistemo otrezkov {∆k }, takih, qto A ⊂∆k , ∆k ⊂ [τ0 , τ1 ] ∀k ,summa dlin kotoryh ne prevoshodit veliqiny mes(A) + ε. Otrezki {t̃(∆k )}kobrazut pokrytie mnoжestva t̃(A), priqem, soglasno (12), summa ih dlin neprevoshodit veliqiny C mes(A) + Cε. Poskolьku ε > 0 – proizvolьno, tovnexn mera mes∗ (t̃(A)) obraza t̃(A) ne prevoshodit veliqiny C mes(A).✷: Pri otobraжeniinulь.t̃(·) mnoжestvo mery nulь perehodit v mnoжestvo mery: Pri otobraжenii t̃ izmerimoe po Lebegu mnoжestvo perehodit v izmerimoepo Lebegu mnoжestvo.107: Kak izvestno, mnoжestvo A ⊂ [τ0 , τ1 ] izmerimo po Lebegu togda i tolьkotogda, kogda suwestvuet ne bolee qem sqetna sistema zamknutyh mnoжestvFn ⊂ A taka, qto[mes∗ (A\Fn ) = 0,n(14)t.e.

v A imeets mnoжestvo tipa Fσ , otliqawees ot A na mnoжestvomery nulь (napomnim v svzi s зtim, qto esli vnexn mera ravna nul, tomnoжestvo izmerimo i imeet meru nulь). Poskolьku funkci t̃ nepreryvna, akaжdoe Fn – kompakt, to i t̃(Fn ) – kompakt ∀n. Poskolьkut̃(A\[Fn ) ⊃ t̃(A)\[t̃(Fn ),(15)i, soglasno sledstvi 1,mes(t̃(A\[Fn )) = 0,to imes(t̃(A)\St̃(Fn ) estь mnoжestvo tipaNoimoe mnoжestvo.

✷: Esli A ⊂i pri зtom[t̃(Fn )) = 0.(16)Fσ v t̃(A). Sledovatelьno, t̃(A) – izmer-[τ0 , τ1 ] – izmerimoe mnoжestvo, to i t̃(A) – izmerimoe mnoжestvo,mes t̃(A) =Zṽ(τ )dτ,(17)Agdeṽ =dt̃.dτ: Esli A – otrezok, to formula imeet mesto. Pustь A – proizvolьnoe izmerimoe mnoжestvo v [τ0 , τ1 ]. Izmerimostь obraza t̃(A) byla ustanovlena vyxe.Dokaжem formulu (17).Pustь zadano ε > 0. Nadets pokrytie mnoжestva A ne bolee qem sqetnosistemo otrezkov {∆n } tako, qto nikakie dva otrezka sistemy ne imetobwih vnutrennih toqek, i pri зtommes[n!!∆n \A < ε,108∆n ⊂ [τ0 , τ1 ] ∀n.(18)Sistema otrezkov {t̃(∆n )} obrazuet pokrytie mnoжestva t̃(A), priqem nikakiedva otrezka зto sistemy ne imet obwih vnutrennnih toqek (v silu monotonnostit̃). Imeem:[[[∆n \A ⊃ t̃t̃∆n \t̃(A) =t̃(∆n )\t̃(A).Otsda v silu (18) i predloжeni 1 i 2 poluqaem:[[mest̃(∆n )\t̃(A) ≤ mes t̃Nomes[t̃(∆n ) \t̃(A) = mesSledovatelьno,0≤ mesPoskolьku otrezki∆n \A ≤C · mes[[[∆n \A ≤C · ε.t̃(∆n ) − mes t̃(A)≥0.t̃(∆n ) − mes t̃(A)≤C · ε.(19)t̃(∆n ), n = 1, 2, ...

ne imet obwih vnutrennih toqek, tomes[Xt̃(∆n ) =mes t̃(∆n ) =XZṽdτ.∆nMy vospolьzovalisь tem, qto dl otrezka formula (17) imeet mesto. Dalee,poskolьku ∆n ne imet obwih vnutrennih toqek, toZXZṽdτ.ṽdτ =S∆n∆nMy vospolьzovalisь σ -additivnostь integrala kak funkcii mnoжestva. Itak,iz (19) vytekaet, qtoZ0≤S drugo storony,ZZṽdτ =S∆nSṽdτ +ASledovatelьno,SZ∆n \A∆nṽdτ − mes t̃(A)≤Cε.ṽdτ ≤−Cε≤ZAZṽdτ + C mesAṽdτ −ZS109∆n[ṽdτ ≤0.(20)∆n \A ≤Zṽdτ + Cε.A(21)Skladyva neravenstva (20) i (21), poluqaem:−Cε≤ZAṽdτ − mes t̃(A)≤Cε.Ostaets vospolьzovatьs proizvolьno malostь: Pri otobraжenii t̃ mnoжestvo polno mery vpolno mery v [t0 , t1 ].ε.

✷[τ0 , τ1 ] perehodit v mnoжestvoDestvitelьno, pustь A ⊂ [τ0 , τ1 ] – mnoжestvo polno mery, t.e.[τ0 , τ1 ]\A imeet meru nulь. Togda soglasno lemme 1mes t̃(A) =ZAṽ(τ )dτ =Z[τ0 ,τ1 ]ṽ(τ )dτ = t̃(τ1 ) − t̃(τ0 ) = t1 − t0 .Vproqem, зto vytekaet takжe iz vklqenit̃(A) ⊃ [t0 , t1 ]\t̃(B)i togo fakta, qtomes t̃(B) = 0.110B =Lekci 13.3. Lemmy o monotonnyh lipxicevyh funkcih (prodolжenie).po-preжnemunat̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] −→ [t0 , t1 ],Pustь imeets nekotoroerazreximosti uravnenidt̃ = ṽ ∈ L∞ [τ0 , τ1 ], ṽ≥0.dτt ∈ [t0 , t1 ]. Rassmotrim vopros ob odnoznaqnot̃(τ ) = tPolny proobrazPustьt̃−1 (t) toqki t estь otrezok ili toqka v [τ0 , τ1 ].Ris 13.1111Vse proobrazy-otrezki poparno ne peresekats, i ih moжno pronumerovatь(naprimer, postaviv v sootvetstvie kaжdomu takomu otrezku, soderжawus vnem racionalьnu toqku).

Znaqit, mnoжestvo toqek t ∈ [to , t1 ], dl kotoryht̃−1 (t) - otrezok, ne bolee, qem sqetno. Oboznaqim зto mnoжestvo qerez E0 . Nadopolnenii k зtomu mnoжestvu, t.e. na mnoжestve [t0 , t1 ] \ E0 polno mery v[t0 , t1 ] uravnenie t̃(τ ) = t odnoznaqno razreximo. Зto dopolnenie oboznaqimqerez E+ . Takim obrazom,E0 ∪ E+ = [t0 , t1 ] E0 ∩ E+ = ∅,mesE0 = 0,mesE+ = t1 − t0 .Pustь funkci τ̃ (t) : [t0 , t1 ] → [τ0 , τ1 ] takova, qto t̃(τ̃ (t)) = t ∀t ∈ [t0 , t1 ].Takim obrazom, τ̃ (t) - prava obratna funkci k t̃(τ ).

Kak my uжe otmeqali,ona opredelena odnoznaqno na mnoжestve E+ polno mery v [t0 , t1 ].2. Pustь ϕ(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rm - ograniqenna izmerima funkci. Togdafunkci ϕ(τ̃ (t)) : [t0 , t1 ] → Rm - izmerima, ograniqena i ne zavisit ot vybora pravo obratno τ̃ (t) s toqnostь do зkvivalentnosti (s toqnostь domnoжestva E0 nulevo mery).: Pustь snaqala m = 1 i ϕ(τ ) =funkci izmerimogo mnoжestva A ⊂XA (τ ), τ ∈ [τ0 , τ1 ] - harakteristiqeska[τ0 , τ1 ].

Rassmotrim funkciXA (τ̃ (t)) = ω(t).Pustь t ∈ E+ ∩ t̃(A), to estь t ∈ E+ i t = t(τA ), gdei, sledovatelьno, ω(t) = XA (τ̃ (t)) = XA (τA ) = 1.Poloжim CA = [τ0 , τ1 ] \ A. Pustьustanavlivaets, qto ω(t) = 0.τA ∈ A. Togda τ̃ (t) = τAt ∈ E+ ∩ t̃(CA). Togda analogiqnoMnoжestva t̃(A) i t̃(CA) izmerimy (predloжenie 2) i ih obъedinenie estь[t0 , t1 ]. Sledovatelьno, mnoжestva B1 = t̃(A) ∩ E+ i B0 = t̃(CA) ∩ E+ izmerimy, B1 ∪ B0 = E+ imeet polnu meru v [t0 , t1 ] i pri зtom ω(t) = 0 naB0 i ω(t) = 1 na B1 .

Takim obrazom, s toqnostь do mnoжestva mery nolь,ω(t) sovpadaet s harakteristiqesko funkcie XB1 izmerimogo mnoжestva B1 .Sledovatelьno, ω(t) izmerima.Pustь teperьϕ(t) =NXk=1ck XAk (t)112(22)Ak- linena kombinaci harakteristiqeskih funkci izmerimyh mnoжestv⊂ [τ0 , τ1 ], k = 1, . . . , N . Togda funkciϕ(τ̃ (t)) =NXk=1ck XAk (τ̃ (t))izmerima, poskolьku, kak tolьko qto bylo dokazano, izmerima kaжda iz funkciXAk (τ̃ (t)). Зto verno i v tom sluqae, kogda ck ∈ Rm , k = 1, .

. . , N .Nakonec, pustь ϕ(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rm - proizvolьna ograniqenna izmerima funkci. Togda, kak izvestno, ϕ moжno predstavitь kak predel (ravnomerny)posledovatelьnosti funkci ϕs (τ ) vida (22),ϕ(τ ) = lim ϕs (τ ) ∀τ,s→∞gde koзfficienty pri harakteristiqeskih funkcih v (22) estь зlementy prostranstvaRm .

No togdaϕ(τ̃ (t)) = lim ϕs (τ̃ (t)) ∀ts→∞Soglasno predyduwim rassmotrenim, kaжda iz funkci ϕs (τ̃ (t)) izmerima.Togda, kak izvestno, izmerimo vlets i predelьna funkci ϕ(τ̃ (t)).Suwestvenna ograniqennostь funkcii ϕ(τ̃ (t)) vytekaet iz suwestvennoograniqennosti ϕ. (Destvitelьno, suwestvut izmerimoe mnoжestvo polnomery M ⊂ [τ0 , τ1 ] i konstanta C̃ takie, qto |ϕ(τ )|≤C̃ ∀τ ∈ M .Mnoжestvo t̃(M) imeet polnu meru v [t0 , t1 ]. To жe verno i dl mnoжestvat̃(M) ∩ E+ . Esli t ∈ t̃(M) ∩ E+ , to τ = τ̃ (t) ∈ M ⇒ |ϕ(τ̃ (t))|≤CTakim obrazom, зto neravenstvo vypolneno na mnoжestve t̃(M) ∩ E+ polnomery v [t0 , t1 ]).Razliqnye funkcii τ̃ (t) otliqats drug ot druga lixь na mnoжestve E0 ,ne bolee, qem sqetnom.

Na mnoжestve E+ funkci opredelena odnoznaqno.Poзtomu s toqnostь do зkvivalentnosti (s toqnostь do znaqeni na mnoжestveE0 nulevo mery) ϕ(τ̃ (t)) ne zavisit ot vybora τ̃ (t). ✷3. Pustьx̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rn - lipxiceva funkci taka, qtodx̃(τ ) = ṽ(τ )ϕ̃(τ ),dτgdeṽ(τ ) =dt̃(τ )dτ,aϕ̃(τ ) : [τ0 , τ1 ] → Rn - ograniqenna izmerima funkci.113Togda funkci x(t) = x̃(τ̃ (t)) vlets lipxicevo na [t0 , t1 ] i ne zavisitot vybora pravo obratno τ̃ (t).

Krome togo, vypolnets ravenstvo x(t̃(τ )) =x̃(τ ) ∀τ ∈ [τ0 , τ1 ]. V qastnosti,x(t0 ) = x(t̃(τ0 )) = x̃(τ0 ),x(t1 ) = x(t̃(τ1 )) = x̃(τ1 ).Nakonec, pustьϕ(t) = ϕ̃(τ̃ (t)). Togdadx(t) = ϕ(t) p.v. na [t0 , t1 ].dt: PustьC̃ = kϕ̃kL∞ Togda dl proizvolьnyh τ∗ , τ∗∗ ∈ [τ0 , τ1 ], τ∗ < τ∗∗ imeem:x̃(τ∗∗ ) − x̃(τ∗ ) =Zτ∗∗τ∗Zτ∗∗dx̃(τ ) dτ = ṽ(τ )ϕ(τ )dτ.dττ∗Sledovatelьno,|x̃(τ∗∗ ) − x̃(τ∗ )|≤Zτ∗∗τ∗ṽ(τ )|ϕ̃(τ )| dτ ≤C̃Sledovatelьno, dl lbyhZτ∗∗τ∗ṽ(τ ) dτ = C̃(t̃(τ∗∗ ) − t̃(τ∗ ))τ, τ ′ ∈ [τ0 , τ1 ]|x̃(τ ′ ) − x̃(τ )|≤C̃|t̃(τ ′ ) − t̃(τ )|Pustь teperь imets proizvolьnye dve toqki(23) imeem:(23)t, t′ ∈ [t0 , t1 ].

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Нашёл ошибку?
Или хочешь предложить что-то улучшить на этой странице? Напиши об этом и получи бонус!
Бонус рассчитывается индивидуально в каждом случае и может быть в виде баллов или бесплатной услуги от студизбы.
Предложить исправление
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
5076
Авторов
на СтудИзбе
455
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее