Физические основы квантовых вычислений, страница 9

(5.4)x0Иными словами, можно суммирование обозначить какXbHxx0 ρx0 y = H(x)ρ(x,y).(5.5)x01В этом параграфе мы полагаем все константы единицами: ~ =1, m = 1 и т.д.77Совершенно аналогично записывается это соотношение в“обратном” порядке:Xb tr (x0 )ρ(x, x0 , t).ρxy Hyx0 = H(5.6)yТаким образом, уравнение Лиувилля в координатном представлении (5.3) принимает вид:∂bb tr (x0 )ρ(x, x0 , t) = 0 (5.7)ρ(x, x0 , t) + iH(x)ρ(x,x0 , t) − iH∂tГамильтониан частицы в координатном представлении имеет дифференциальную форму:p̂21 ∂2bH(x)=+ U (x) = −+ U (x)22 ∂x2(5.8)и в силу эрмитовостиb tr (x) = H(x),bHпоэтому уравнение (5.7) можно переписать в форме дифференциального уравнения:µ 2¶∂∂i∂20ρ(x, x0 , t)+ρ(x, x , t)−−∂t2 ∂x0 2 ∂x2¡¢+ U (x) − U (x0 ) ρ(x, x0 , t) = 0.(5.9)78Глава 4Представления матрицыплотности4.1Функция ВигнераВ предыдущих главах мы видели, что между классическими квантовым описанием систем существует принципиальное отличие: вместо физических величин, задаваемых числовыми функциями, определены операторы, подчиняющиеся определенной алгебре.

Физические величины определяются средними значениями соответствующих операторов.Принципиальное отличие заключается в том, что операторы между собой не всегда коммутируют, что означаетневозможность одновременной измеримости соответствующих физических величин. В классической механике такихпроблем нет. Однако в 1932 году Е. Вигнер открыл такоепредставление в квантовой механике, которое оказываетсянаиболее близким к классическим представлениям. ПодходВигнера затем в 1949 году был более полно развит Дж.Мойалем. Такое представление задается функцией Вигнера W (q, p), где q и p – обобщенные координаты и импульс79частицы (физические величины).Запишем (одночастичную) матрицу плотности в координатном представлении, считая спектр дискретным:Xρ(r, r0 ) =wn ϕn (r)ϕ∗n (r0 ).(1.1)nКак помним, диагональный элемент матрицы плотности вкоординатном представлении определяет вероятность обнаружить частицу в точке с координатой r).Совершенно аналогично в импульсном представлениидиагональный элемент ρ(p, p) определяет вероятность обнаружить частицу с значением импульса p.

Установим связьмежду этими величинами.Запишем матрицу плотности в импульсном представлении:Xρ(p, p0 ) =wn ϕn (p)ϕ∗n (p0 ) =n=Zdrdr0 ρ(r, r0 ) expµ¶i(pr − p0 r0 ) .~(1.2)Матрица плотности в координатном представлении удобна для вычисления средних значений функций координат:Rdrρ(r, r)V (r)T rVb ρ.(1.3)hV (r)i == RT rρdrρ(r, r)Импульсное представление удобно для вычисления средних значений функций импульсов (например, кинетическойэнергии):Rcρ(dp/(2π~)3 )ρ(p, p)W (p)T rWRhW (p)i ==.(1.4)T rρ(dp/(2π~)3 )ρ(p, p)В классической механике такая задача решалась бы с помощью одной функции распределения в фазовом пространстве F (p, r), которая имеет смысл плотности вероятности.80Причем распределение вероятности в координатном пространстве определяется просто частичным интегрированием по импульсному пространству:Zdpf (r) = F (p, r),(1.5)(2π~)3а распределение вероятности в импульсном пространстве,соответственно, интегрированием по координатной частифазового пространства:Zf (p) = F (p, r)dr.(1.6)Возникает естественное желание построить и в квантовой механике такую функцию распределения, котораябы удовлетворяла условиям (1.5) и (7.2).

Для этого рассмотрим диагональные компоненты матрицы плотности вимпульсном представлении (1.2), которые определяют вероятности и должны соответствовать функции распределения. Поскольку искомая функция должна одновременно зависеть как от импульсов, так и от координат, проведем “частичное” преобразование Фурье в формуле (1.2),рассматривая формально матрицу плотности в координатном представлении как функцию переменных (x + x0 )/2 и(x − x0 )/2. Переходя затем к новым обозначениям x/2 →r, x0 → u, и оставляя преобразование только по переменной u, получаем функцию Вигнера:Z³uu ´ −i~−1 pue.(1.7)W (p, r) = duρ r + , r −22Формула (1.7) обратима, и для матрицы плотности можнозаписать выражение через функцию Вигнера:¶µZdpr + r0−100ρ(r, r ) =ei~ p(r−r ) .(1.8)W p,3(2π~)281Упражнение.

Получить обратное преобразование (1.8).Убедимся, что функция Вигнера удовлетворяет необходимым условиям. Прежде всего проинтегрируем по импульсу:µZ¶ZZ³dpuu´du −i~−1 puW (p, r) = duρ r + , r −e=(2π~)322(2π~)3Z³u´uδ(u) = ρ(r, r) = f (r).= duρ r + , r −22Таким образом, получили, что первое условие (1.5) выполняется. Для проверки выполнения второго условия (7.2)проделаем выкладки в “обратном” порядке:µ¶Zif (p) =ρ(p, p) = drdr0 ρ(r, r0 ) exp − p(r − r0 ) =~ZZ³´uu −i~−1 pu= dxduρ x + , x −e= dxW (p, x).22При преобразовании интеграла мы сделали замену переменных:uur = x + , r0 = x − .22Легко видеть, что введенная таким образом функция Вигнера W (p, r) позволяет получать средние значения величин, зависящих только либо от координат, либо от импульсов.

Нельзя получить правильный результат для функций,зависящих одновременно и от импульсов, и от координат.В этом нет ничего удивительного, поскольку координатыи импульс в квантовой механике связаны соотношениемнеопределенностей. Рассмотрим этот вопрос более подробно.824.2Некоторые свойства преобразованияФурье. Уравнение Мойала для функции ВигнераДальнейшее изложение материала в той или иной степенибудет связано с преобразованием Фурье матрицы плотности, а также соответствующих операторов. Поэтому удобновспомнить некоторые полезные соотношения. Для простоты будем рассматривать одномерное преобразование.

Намногомерный случай все результаты можно легко распространить.Пусть дано преобразование Фурье некоторой функцииf (x), т.е. 1Z1f (x) = √f˜(k)eikx dk(2.1)2πи, соответственно,Z1˜f (x) = √f (x)e−ikx dx.(2.2)2πПродифференцируем выражение (7.3) по координате и получим:Z hi1∂f (x) = √ik f˜(k) eikx dk.∂x2πИными словами, мы можем формально установить соответствие:∂f (x) −→ ik f˜(k).(2.3)∂xУмножим теперь выражение (7.3) на x :Z1f˜(k)xeikx dk.(2.4)xf (x) = √2π1Мы здесь применяем так называемое симметричное преобразование Фурье, хотя в физике пре переходе от координатного к импульсному представлению чаще всего используется несимметричноепреобразование.83Поскольку можно представитьxeikx = −i∂ ³ ikx ´,e∂kвыражение (2.4) можно переписать ка굶Z∂1˜f (k) −ixf (x) = √eikx dk.∂k2π(2.5)Беря интеграл по частям и считая значение подынтегральной функции на бесконечно удаленных пределах равнымнулю, получаем:¶Z µ∂1i f˜(k) eikx dk.(2.6)xf (x) = √∂k2πСледовательно, имеет место соответствие:xf (x) −→ i∂ ˜f (k).∂k(2.7)Можно сказать, если имеется некоторое выражени嵶∂f (x),(2.8)Φ x,∂xего образ Фурье дается выражение춵∂Φ i , ik f˜(k).∂k(2.9)Применим теперь полученные соотношения для матрицы плотности в координатном представлении и функцииВигнера.

Действительно, как следует из формул (1.7) и(1.8), рассматриваемые функции связаны между собой преобразованием Фурье. Запишем указанные соотношения в84одномерном случае в безразмерной форме, как и все остальное в этом параграфе, в момент времени t = 0 :Z ³u ´ −ipuuedu(2.10)W (q, p) = ρ q + , q −22и обратное преобразование:¶µZx + x000, p eip(x−x ) dp.ρ(x, x ) = W2(2.11)Умножим соотношение (2.11)на x и занесем эту переменную под знак интеграла:µ¶Zx + x000xρ(x, x ) = W, p xeip(x−x ) dp.(2.12)2Возникает соблазн поступить так же, как и в предыдущемслучае: продифференцировать по p а затем проинтегрировать по частям.

Однако такая простая процедура в данномслучае привела бы к ошибке, поскольку функция Вигнеразависит от q и p, следовательно прежде, чем дифференцировать, следует перейти от переменной x к собственнымпеременным. Согласно определению мы должны под интегралом сделать замену: x = q + (x − x0 )/2, после чеговыполнить дифференцирование по импульсу p. Итак, перепишем соотношение 2.12) c учетом замечания:µ¶µ¶Zx + x0x − x000xρ(x, x ) = W,pq+eip(x−x ) dp =22¶µZi ∂0eip(x−x ) dp.(2.13)= W (q, p) q −2 ∂pТеперь в формуле 2.13) можно выполнить интегрированиепо частям и получить искомое соотношение:µ¶i ∂0xρ(x, x ) −→ q +W (q, p).(2.14)2 ∂p85Совершенно аналогично выглядит соотношение для второйпеременной x0 :¶µi ∂W (q, p).(2.15)x0 ρ(x, x0 ) −→ q −2 ∂pВыполним теперь дифференцирование матрицы плотности по координатам:¶¸· µZ∂x + x0∂0ip(x−x0 )ρ(x, x ) =,p edp.(2.16)W∂x∂x2Вновь, учитывая связь переменной x с собственными переменными функции Вигнера q = (x + x0 )/2, получаем:· µ¶¸∂x + x01 ∂0ip(x−x0 )W,p e=W (q, p)eip(x−x ) +∂x22 ∂q¶µ1 ∂00+ ip W (q, p)eip(x−x ) .

(2.17)+ipW (q, p)eip(x−x ) =2 ∂qПодставляя полученное соотношение (2.17) в формулу (2.16),имеем:µ¶∂1 ∂ρ(x, x0 ) −→+ ip W (q, p).(2.18)∂x2 ∂qДифференцирование по “штрихованной” переменной даетаналогичное соответствие:µ¶∂1 ∂0ρ(x, x ) −→− ip W (q, p).(2.19)∂x02 ∂qТеперь можно получить уравнение Мойала для функции Вигнера. Очевидно, полученные соотношения (2.12)(2.19) остаются справедливыми в произвольный момент времени t, поэтому уравнение Лиувилля-фон Ноймана для матрицы плотности в координатном представлении (см. формулу (5.9) глава 3) можно легко переписать для функцииВигнера.86Запишем уравнение (5.9), формально заменив соответствующие произведения и производные соотношениями (2.12)(2.19). При этом оператор потенциальной энергии, будучифункцией оператора координаты понимается, как обычнов квантовой механике, в смысле ряда Тейлора по степенямоператора. Имеем:"µ¶2 µ¶2 #1 ∂1 ∂1∂W (q, p, t)++ ip −− ipi W (q, p, t) =∂t22 ∂q2 ∂q· µ¶µ¶¸i ∂i ∂+ U q+−U q−W (q, p, t).(2.20)2 ∂p2 ∂pПервая квадратная скобка уравнения (2.20) сильно упрощается, и получаем:¶µ¶¸· µ∂i ∂∂i ∂i W = ip W + U q +−U q−W.