Физические основы квантовых вычислений, страница 7

Видно, что вероятности обнаружения соответствующего состояния осциллятора определяются распределением Пуассона:¡ 2 ¢n|α|22wn = |Cα,n | =e−|α| .(5.7)n!Согласно свойствам распределения Пуассона среднее значение возбужденного n-го уровня (или энергии) определяется какn = |α|2 .(5.8)Система когерентных состояний |αi неортогoнальна, но полна. Действительно,X αn (α0 ∗ )n0 22√hn0 |ni =hα0 |αi = e−(1/2)(|α | +|α| )0n !n!n0 ,n0 2 +|α|2 )= e−(1/2)(|α |∞X(αα0 ∗ )nnn!= e−(1/2)(|α|2 −2α0 ∗ α+|α|2 )=0 2= e−(1/2)|α−α | .Проверим теперь свойство полноты системы состояний. Параметр-переменная α = <α + i=α принимает все возможные значения в комплексной плоскости, поэтому условиеполноты выглядит какZ 2d α|αihα| = 1̂.(5.9)π60Действительно, убедимся, что оператор (5.9) единичный.Проделаем стандартные выкладки из теории представлений:Z 2Z 2d αd α|αihα||ni =hm|αihα|ni.hm|ni = δmn = hm|ππДалее воспользуемся выражением (5.6) и подставим его вподынтегральное выражение:Z m ∗ nα (α ) −|α|2 d2 α√ √ ehm|ni =.πm! n!Сделаем в комплексной плоскости стандартную замену переменных:α = |α|eiϕ ;|α|2 = y;d2 α = |α|d|α|dϕ =1dydϕ.2Продолжая выкладки, получаем:Z ∞Z 2π1(m+n)/2 −y√ √ye dyei(m−n)ϕ dϕ =2π m! n! 00Z ∞δmn=y n e−y dy = δmn .n! 0Таким образом показали, что неортогональная система когерентных состояний полна.Когерентные состояния широко используются для описания свободного электромагнитного поля в квантовой механике, однако убедиться в этом мы сможем после того, какувидим, как описывается квантованное электромагнитноеполе.61Глава 3Матрица плотности3.1Определение матрицы плотностиВернемся к формуле (1.7) главы 1, определяющей среднеезначение оператора, но перепишем ее в дираковских обозначениях, полагая, что можно выбрать какой-либо дискретный базис |ni :XXXf=hn0 |c∗n0 fˆcn |ni =c∗n0 cn hn0 |fˆ|ni =fn0 n c∗n0 cn .

(1.1)n,n0n,n0n,n0В формуле (1.1) произведение коэффициентов разложения(параметров, определяющих состояние в данном базисе)можно рассматривать как матрицу. Обозначим ее так:ρnn0 = cn c∗n0 ,(1.2)тогда определение (1.1) перепишется в виде следа произведения матриц оператора и вновь введенной (1.2):XXf=fn0 n ρnn0 ≡ρnn0 fn0 n = T rfˆρ̂c ,(1.3)n,n0n,n062где введен новый оператор:ρ̂c :ρnn0 = hn|ρ̂|n0 i.(1.4)Вспомним, что произведение векторов состояния в “обратном” порядке (вектор кет слева от вектора бра), представляет собой оператор, и перепишем определение оператораρ̂c в другом виде:XXXρ̂c =cn c∗n0 |nihn0 | =cn |nic∗n0 hn0 | = |ΨihΨ|. (1.5)nn,n0n0Действительно, для так введенного оператора получаем:XXck c∗k0 δn0 ,k δk0 ,n = cn c∗n0 .hn|ρ̂c |n0 i =ck c∗k0 hn0 |kihk 0 |ni =k,k0k,k0Заметим, что выполняется условие нормировки состояния:X|cn |2 = 1.nВведенная нами матрица ρ̂c эрмитова, действительно:XXc∗n cn0 |n0 ihn| = ρ̂c .

(1.6)(cn c∗n0 )∗ (|nihn0 |)+ =ρ̂+c =n,n0n,n0Видно, что след матрицы оператора ρ̂c равен единице:XXXT rρ̂c =cn c∗n |nihn| =|cn |2 hn|ni =|cn |2 = 1, (1.7)nnnсоответственно, диагональные матричные элементы определяют вероятности обнаружения системы в данном собственном состоянии.Если квантовая система может быть описана векторомсостояния |Ψi, говорят, что она находится в чистом состоянии. Для замкнутых систем такая ситуация имеет место63всегда по определению.

Введенная выше матрица (1.2) называется матрицей плотности чистого состояния, а оператор (1.4), соответственно оператором плотности или статистическим оператором, который удовлетворяет условию чистого состояния:ρ̂2c = (|ΨihΨ|)2 = |Ψi (hΨ||Ψi) hΨ| = |ΨihΨ| = ρ̂c .(1.8)Вообще говоря, для чистого состояния введение матрицы плотности совершенно не обязательно, поскольку приводит к переписыванию привычных выражений в другомвиде.

Однако ситуация радикально изменяется, если мырассматриваем незамкнутую систему или статистический ансамбль одинаковых систем. В этом случае систему(ансамбль) уже нельзя описать вектором состояния. Представим себе ансамбль совершенно одинаковых замкнутыхсистем. Мы понимаем, что состояние каждой системы определяется вектором состояния |Ψi. В собственных состояниях этой системы определен полный набор квантовых чисел, однако само состояние может быть и несобственным,а некоторой суперпозицией:X|Ψi =cn |ni,(1.9)nгде n обозначает полный набор величин, определяющихсобственное состояние системы.

Иными словами, в данномсостоянии |Ψi, вообще говоря значения физических величин не определены, а получаются в результате измерений сопределенными вероятностями |cn |2 . Соответственно, каждая система в рассматриваемом ансамбле одинаковых систем тоже может находиться в своем состоянии |Ψa i с некоторой вероятностью wa , уже не имеющей отношения к чисто квантовым свойствам системы, а определяемой способом создания (приготовления) данной системы в ансамбле.64Если мы теперь зададимся вопросом: чему равно среднеезначение данной физической величины по ансамблю?, мыдолжны будем усреднить выражение (1.1) по всему ансамблю, т.е. просуммировать средние значения данной величины в каждой системе ансамбля с вероятностью существования системы в данном состоянии в ансамбле:XXXf ans =wa f a =wa hΨa |fˆ|Ψa i,wa = 1.

(1.10)aaaПодставим в определение (1.10) разложение вектора |Ψi пособственным состояниям (1.9):XXf ans =wa(1.11)c∗n0a cna hn0a |fˆ|na i.ana ,n0aПоскольку все системы ансамбля совершенно одинаковы,это означает, чтоhn0a |fˆ|na i = hn0a0 |fˆ|na0 i = hn0 |fˆ|ni = fn0 n .Следовательно матричный элемент оператора не зависитот суммирования по системам ансамбля, но зависит толькоот состояния, в котором находится данная система, и егоможно вынести из-под знака суммирования по ансамблю:XXXf ans=hn0 |fˆ|niwa c∗n0a cna =fn0 n ρnn0 = T r(fˆρ̂). (1.12)an,n0n0 ,nЗдесь введено обозначения для матрицы плотности ансамбля систем (подсистем):X(1.13)wa c∗n0a cna ,ρnn0 =aСоответственно,ρ̂ =XXn,n0awa c∗n0a cna |nihn0 |.65Вычислим, как и в случае чистого состояния, след матрицы(1.13):XXXX|cna |2 =wa = 1.(1.14)T rρ̂ =ρnn =wannaaЗдесь мы учли условие нормировки состояния каждой системы в ансамбле и вновь получили условие (1.7).Вычислим теперь квадрат матрицы (1.13):X X Xρ̂2 =wa wa0 c∗n0a cna c∗m0 0 cma0 |na ihn0a ||ma0 ihm0a0 |.aa,a0 na ,n0a ma0 ,m0 0aПоскольку состояния в различных системах ансамбля ортогональны hn0a |ma0 i = δn0 m δaa0 , получаемXXc∗ma cna c∗m0a cma |nihm0 | =ρ̂2 =wa2a=Xna ,ma ,m0awa2a=XaXna ,m0awa2Xna ,m0acna c∗m0a |nihm0 |Xm|cma |2 =c∗m0a cna |nihm0 | 6= ρ.Возьмем теперь след от квадрата матрицы плотности:XXXwa2 ≤ 1(1.15)|cna |2 =T rρ2 =wa2aanaКак видим, при определении различных физических величин ансамбль систем можно теперь рассматривать какодну систему находящуюся в некотором состоянии, которое, однако нельзя выразить в виде суперпозиции (1.9),и поэтому оно не может быть определено в виде некоторого вектора.

Действительно, при исследовании системы66мы получаем не просто собственные значения с определенными квантовыми вероятностями, но еще с вероятностями статистическими, определяющими вклад данной системы в ансамбль. Такие состояния называют смешанными, их можно описать матрицей плотности, которую всегдаможно представить в виде:ρ̂ =Xawa |χihχ|,(1.16)где |χi собственные состояния подсистем – суперпозиции(1.9). Если все wa = 0 за исключением одного, приходим кпредставлению матрицы плотности для чистого состояния(1.5).Смешанные состояния возникают и при рассмотрениинезамкнутых систем, т.е.

подсистем некоторых систем. Естественно, в общем случае рассматриваемая подсистема взаимодействует со всей системой, однако вектор состоянияполной системы можно всегда представить в виде суперпозиции состояний двух невзаимодействующих систем: интересующей нас подсистемы и остальной части полной системы. Обозначим состояния подсистемы латинскими буквами |ni, а состояния остальной части системы – греческими|αi, тогда состояние всей системы можно записать в виде:X|Ψi =cnα |ni|αi.(1.17)n,αПусть теперь нам нужно определить значение какой-либовеличины f , описывающей подсистему, тогда этой величине соответствует оператор, действующий только на состояния подсистемы.

Однако среднее значение данного67оператора мы должны взять по состоянию всей системы:Xf = hΨ|fˆ|Ψi =c∗n0 α0 cnα hα0 |hn0 |fˆ|ni|αi =n0 ,α0 ,n,α=Xn0 ,n|hn0 |fˆ|niXα0 ,αc∗n0 α0 cnα hα0 |αi.(1.18)Во второй сумме формулы (1.18) стоит скалярное произведение ортогональных векторов, поэтому ее можно рассматривать как усреднение коэффициентов суперпозиции(1.17) по состояниям части системы внешней, по отношению к подсистеме. В результате такого усреднения остаетсяматрица, зависящая только от состояний подсистемы:Xc∗n0 α cnα ,(1.19)ρn,n0 =αкоторую теперь можно также рассматривать как матрицуоператора ρ̂ по состояниям подсистемы:ρn,n0 = hn|ρ̂|n0 i.Соответственно, перепишем выражение (1.18) с помощьютак введенной матрицы плотности подсистемы:Xf = hfˆi =hn|fˆ|n0 ihn0 |ρ̂|ni =n0 ,nXnhn|fˆÃXn0!|n ihn | ρ̂|ni ≡ T r(fˆρ̂).00(1.20)Здесь мы воспользовались свойством полноты системы состояний:Xˆ|n0 ihn0 | = I.n0Как из формулы (1.19), так и из определения (1.20) легкополучить, чтоXT rρ =|cnα |2 = 1,(1.21)n,α68и для fˆ = 1 :h1i = 1 = T rρ1̂ = T rρ.3.2Свойства матрицы плотностиСформулируем полученные результаты в виде общей сводки свойств матрицы плотности.1.