Физические основы квантовых вычислений, страница 2

Соответственноb niH|E→bH|ni= En |ni.(2.7)Любой вектор состояния можно задать в "системе отсчета"(базисе) оператора fˆ :X|ψi =an |fn in|ψi =|ψi =ZXn(2.8)a(f )|f idfan |fn i +Za(f )|f idf.В таком случае говорят, что состояние |ψi задано в представлении f . Причемan = hfn |ψi,а a(f ) = hf |ψi.(2.9)Если для дискретного спектра все просто и очевидно, тодля непрерывного спектра возникает вопрос, а именно. Умножим скалярно вторую строчку выражения (2.8) слева набра-вектор hf |, чтобы определить соответствующий коэффициент Фурье:Za(f ) = hf |ψi = a(f 0 )hf |f 0 idf 0 .(2.10)Чтобы удовлетворить это равенство, Дираку потребовалось ввести δ-функцию. Таким образом, соотношение ортогональности для базисных векторов непрерывного спектрадолжно иметь видhf |f 0 i = δ(f − f 0 ).13(2.11)Напомним некоторые свойства δ-функции:Zf (x)δ(x − a)dx = f (a);Z11f (x)δ(ax)dx = f (0), т.е.

δ(ax) = δ(x);aaZ1f (x0 ),f (x)δ(ϕ(x))dx =(dϕ/dx)0(2.12)(2.13)(2.14)В последнем соотношении производная берется в точке x0 :ϕ(x0 ) = 0.Кроме того следует обязательно помнить интегральноепредставление δ-функции:+∞Zeiαx dx = 2πδ(α).(2.15)−∞Устроим теперь такую конструкцию:Pψ = |ψihϕ|.(2.16)Pψ |χi = (|ψihϕ|) |χi = c|ψi,(2.17)!(2.18)Умножение строки на столбец дает число, а умножениестолбца на строку – матрицу.

Таким образом составленное выражение поэтому представляет оператор. Посмотрим, как он действует на произвольное состояние:где c = hϕ|χi. Как видим, оператор (2.16) проектирует произвольное состояние на состояние |ψi с весом c – это проекционный оператор.Вернемся теперь к разложению (2.8) и подставим явныйвид коэффициентов Фурье:X|ψi =hfn |ψi|fn i =n=Xn|ψi|fn ihfn | =ÃX14n|fn ihfn | |ψi.Видно, что выражение в скобках – единичный оператор:X|fn ihfn | = 1̂.(2.19)n1.3Временная эволюция состояний.Как следует из постулата, определяющего эволюцию состояния системы, необходимо решить временное дифференциальное уравнение (2.2), а для этого следует задать начальное условие.

Выберем формально начальный моментвремени t0 = 0, тогда начальное условие запишется в виде|Ψ(t)i|t=0 = |Ψ0 i.(3.1)Рассмотрим сперва случай консервативной системы, когдагамильтониан явно от времени не зависит. Проинтегрируемформально уравнение (2.2) и учтем, что гамильтониан отвремени не зависит:Zi b t 0|Ψ(t)i = |Ψ0 i − Hdt |Ψ(t0 )i(3.2)~0Получившееся интегральное уравнение будем решать методом итераций. В нулевом приближении вектор состоянияот времени не зависит и совпадает с начальным условием:|Ψ(0) (t)i = |Ψ0 i.

Первое приближение получим, подставив вуравнение (3.2) вектор состояния в нулевом приближении:µ¶i bi b(1)|Ψ (t)i = |Ψ0 i − Ht|Ψ0 i = 1 − Ht |Ψ0 i~~Второе приближение получится после подстановки первогоприближения в исходное уравнение (3.2):"#µ¶2iib + −b 2 t2 |Ψ0 i.H|Ψ(2) (t)i = 1 − Ht~2!~15Продолжая так до ∞, получаем ряд:(n=∞ µ¶ )X 1i b n− Ht|Ψ(t)i =|Ψ0 i ≡ U (t, 0)|Ψ0 i.n!~(3.3)n=0Оператор U (t, 0) определяет эволюцию состояния от заданного начального значения, до значения в текущий моментвремени t и называется оператором эволюции. Обычно рядв формуле (3.3) записывают в виде операторной экспоненты:¶µi b(3.4)U (t, 0) = exp − Ht .~Таким образом, будем понимать под функцией от оператора ряд Тейлора по степеням оператора, а именно:F (fˆ) =n=∞Xn=01 (n)F (0)fˆn .n!(3.5)Пусть |φn i – собственная вектор оператора fˆ с собственным значением fn , тогда он будет и собственным векторомоператора F (fˆ).

Действительно, пусть fˆ|φn i = fn |φn i, тогда и fˆ2 |φn i = fn fˆ|φn i = fn2 |φn i. Соответственно, fˆk |φn i =fnk |φn i, иF (fˆ)|φn i ==n=∞Xn=0n=∞Xn=01 (n)F (0)(fˆn |φn i) =n!1 (n)F (0)f n |φn i = F (fn )|φn i.n!Теперь легко видеть, что для собственной функции гамильтониана выполняется соотношениеU (t, 0)|ψE i = e−i~16−1 Et|ψE i.Разлагая произвольное начальное состояние в ряд по собственным функциям гамильтониана (т.е. по решениям стационарного уравнения Шредингера), получаем общий видвременной зависимости волновой функции консервативнойсистемы:XX−1 b−1U (t, 0)|Ψ0 i = e−i~ HtaE |ψE i =aE e−i~ Et |ψE i.

(3.6)EEЛегко убедиться, что оператор, обратный к оператору эволюции совпадает с эрмитовски сопряженным:³´−1 b +−1 bb ++−i~−1 HtU (t) = e= ei~ H t = ei~ Ht ,поскольку U + U = 1. Такие операторы называются унитарными.Пусть есть fˆ – оператор некоторой физической величины2 . Тогда по определению среднее значение (наблюдаемая) равно:(3.7)hfˆi ≡ f = hΨ(t)|fˆ|Ψ(t)i.В общем случае полученная величина зависит от времени:f = f (t). Найдем производную по времени от выражения(3.7). Например, если в качестве рассматриваемой физической величины выбрать координату частицы r, тогдаdr=vdtdhri = hvi.dt−→Определим производную по времени от оператора какd ˆf,dtесли hd ˆdf i = hfˆi.dtdt2(3.8)Вообще говоря, может быть взят произвольный оператор, однако для физической величины дальнейшее изложение будет иметь нестоль абстрактный характер.17Перепишем выражение (3.7), определив временную зависимость волновой функции через оператор эволюции:hfˆi = hΨ0 |U + (t)fˆU (t)|Ψ0 iи продифференцируем по времени.

Получаем:µ½µ¶¶∂∂ +d ˆ+ˆˆhf i = hΨ0 |U (t) f U (t) + U (t)fU (t) +dt∂t∂t)à !ˆ∂fU (t) |Ψ0 i.(3.9)+U + (t)∂tПолучим частную производную по времени от оператораэволюции:или∂∂−1 bb (t),U (t) = e−i~ Ht = −i~−1 HU∂t∂t∂b (t).U (t) = HU(3.10)∂tУравнение (3.10) имеет вид, аналогичный уравнению Шредингера для волновой функции.

Для эрмитовски сопряженного оператора легко записать уравнение, эрмитовскисопряженное полученному:i~−1−i~−1∂ +bU (t) = U (t)H.∂tПодставим теперь полученное уравнение (3.10) в выражение (3.9) и получим:)(³´ ∂ fˆd ˆib fˆ − fˆHb +HU (t)|Ψ0 i =hf i = hΨ0 |U + (t)dt~∂thΨ(t)|()i ³ b ˆ ˆ b ´ ∂ fˆHf − f H +|Ψ(t)i.~∂t18Согласно принципу соответствия мы должны отождествитьс производной оператора по времени следующее выражениеdf̂∂ fˆ i ³ b ˆ ˆ b ´ ∂ fˆ i h b ˆiHf − f H ≡H, f .(3.11)=++dt∂t~∂t~Выражение в квадратных скобках называется коммутатором операторов. Итак, мы встретились с новым важнымпонятием.

Для любых двух операторов коммутатором называется оператор, который действует на произвольнуюфункцию так же, как действуют два оператора на эту жефункцию в разной последовательности:hi³´³´b Bb = Fb, причем Fb Ψ = Ab BΨbb AΨbA,−B. (3.12)Легко видеть, что в общем случае производная по времени от оператора отлична от нуля, даже если сам операторявно от времени не зависит.

В этом случае производная повремени есть просто коммутатор оператора с гамильтонианом:i h b ˆidfˆ=H, f .(3.13)dt~Производная по времени отлична от нуля лишь в том случае, когда оператор коммутирует с гамильтонианом. Этоочень важный случай, поскольку тогда и среднее значениевеличины (наблюдаемой) не зависит от времени.

Величина,сохраняющаяся во времени называется интегралом движения. Мы знаем, что интегралы движения в классическоймеханике играют важную роль. Не менее важную (можетбыть даже более важную) роль играют интегралы движения и в квантовой механике.Рассмотрим в качестве примера оператор скорости, который по определению есть производная по времени от оператора координаты. Поскольку последний явно от времени19не зависит, имеем:v̂ ≡dr̂i hb ii hb i i=H, r̂ =T , r̂ + [U (r̂), r̂] ,dt~~~где Tb – оператор кинетической энергии. Очевидно, второйкоммутатор равен нулю, поскольку оператор координатыкоммутирует сам с собой, с любой степенью и, соответственно, с произвольной функцией оператора координаты.Осталось вычислить коммутатор с оператором кинетической энергии:i · p̂2 ¸hp̂bT , r̂ =, r̂ = −i~ .2mmМы здесь воспользовались очень полезной формулой:hi hihibB,b Cb = A,b Cb Bb+Ab B,b CbA(3.14)Окончательно получаем:v̂ =1.4p̂.mГамильтоновы системы.

Квантование.Итак, мы видим, что оператор Гамильтона играет исключительную роль в описании эволюции квантовых систем.Однако, как мы знаем, функция Гамильтона играет оченьважную роль и в задачах классической механики. Действительно, как мы знаем, состояние классической системы полностью определяется заданием точки в ее фазовомпространстве, т.е.

заданием совокупности пар обобщенныхкоординат и импульсов:(q, p) = (q1 , q2 , . . . , qN ; p1 , p2 , . . . , pN ),20(4.1)где N – число степеней свободы системы.Все физические величины такой системы (энергия, импульс, момент импульса и т.п.) будут выражаться в виденекоторых функций обобщенных координат и импульсов,которые имеют вполне определенное значение в каждом состоянии системы (4.1). Это так называемые динамическиефункции, которые обозначим как b(q, p).

Если это аналитические функции, их можно представить в виде степенныхрядов вида:b(q, p) =∞∞∞∞XXXXn N m1N=......β̃n1 ...mN q1n1 . . .qNp1 . . . p mN , (4.2)n1 =0nN =0 m1 =0 mN =0где β̃n1 ...mN – некоторые вещественные постоянные. Функции такого вида всегда могут быть представлены в видеряда или интеграла Фурье:b(q, p) =" N#ZX= dk1 . . .dkN dl1 . . .dlN βk1 ...lN exp i (kn qn + ln pn ) , (4.3)n=1где βk1 ...lN – некоторые, вообще говоря сингулярные, функции k и l.В результате эволюции системы физические величиныклассической системы могут изменяться, поскольку изменяется положение точки в фазовом объеме.